Analisi Matematica: proprietà dei numeri reali e integrali impropri

Proprietà di Archimede

Per ogni x, y E R con x > 0 esiste n E N tale che nx ≥ y.

Proprietà di densità

Siano x, y E R tali che x < y.

• Esistono infiniti numeri razionali z E Q tali che x < z < y.
• Esistono infiniti numeri irrazionali z E R \ Q tali che x < < < y.

Assioma di completezza di IR

Siano Ø £ A, B C R tali che a ≤ b Va E A, Vb E B. Esiste almeno un elemento separatore, cioè esiste almeno un numero reale s E R tale che a≤s≤b VaE A, Vb E B.

Definizione di intervallo

Un insieme I C IR è un intervallo se per ogni coppia di elementi x, y € I tutti i numeri reali compresi fra x ed y sono elementi di I, ovvero Vz ER tale che x < z < y => ZE I. Gli intervalli sono tutti e soli gli insiemi seguenti:

• Ø, R,
• il singoletto di a, ovvero {a} che è l'insieme costituto dal solo elemento a € IR,
• gli intervalli limitati, ovvero se a, b E R con a < b (a, b) = {x ER : a
• le semirette, ovvero se a, b E IR (a, +00) = {x ER : x > a}, (-0,b) = {x ER : x

Definizione: Minorante di un insieme

Sia A C IR non vuoto. Si dice che l E R è un minorante di A se l ≤ a Va E A.

Definizione: Insieme limitato inferiormente

Si dice che un insieme A C IR non vuoto è limitato inferiormente se ammette almeno un minorante.

Definizione: Insieme limitato

Si dice che un insieme A C R non vuoto è limitato se è sia limitato superiormente che inferiormente.

Caratterizzazione degli insiemi limitati

Un insieme A C R, A £ Ø, è limitato se e solo se 3C > 0 tale che la| SC VaEA (2) Osservazione. La (2) è equivalente a 3C > 0 tale che - C < a ≤ C Va E A.

Dimostrazione della caratterizzazione degli insiemi limitati

Se A è limitato allora . A è limitato superiormente, ovvero EL > 0 tale che a ≤ L Va E A, · A è limitato inferiormente, ovvero 3l < 0 tale che l < a Va E A. Quindi laSL VaE A, e (2) è soddisfatta ad esempio se C = max{L,-{} >0. Viceversa, se vale la (2) allora C è un maggiorante di A e -C è un minorante di A. Dunque A è limitato.

Definizione: Massimo e minimo di un insieme

Sia A C R non vuoto.

• Un maggiorante di A che appartiene ad A si dice massimo di A.
• Un minorante di A che appartiene ad A si dice minimo di A.

Definizione: Maggiorante di un insieme

Sia A C R non vuoto. Si dice che L E R è un maggiorante di A se La Va E A.

Definizione: Insieme limitato superiormente

Si dice che un insieme A C R non vuoto è limitato superiormente se ammette almeno un maggiorante.

Teorema: Unicità di massimo e minimo di un insieme

Sia A C R non vuoto. Se esiste massimo di A, questo è unico e si indica con max A. Se esiste minimo di A, questo è unico e si indica con min A.

Dimostrazione dell'unicità di massimo e minimo

Siano M' ed M" due massimi di A, allora O M' ≥ a Va E A, M" za Va E A, M', M" € A. Poichè M" E A, vale la 1 con a = M" ovvero M' ≥ M". Poichè M' E A, vale la 2 con a = M' ovvero M" ≥ M'. Riassumendo, abbiamo sia M' > M" che M" > M' e quindi M' = M". L'unicità del minimo si dimostra in modo analogo.

Definizione: Estremo superiore

Sia A C R non vuoto. Se A è limitato superiormente, si dice estremo superiore di A sup A il minimo dei maggioranti di A, ovvero sup A = L E R se e solo se L è un maggiorante di A: Lza VaEA, 2 non esiste un maggiorante più piccolo di L: 2 NON È PIÙ UN MAGGIORANTE SE SOTTRAI E AD L IL RISULTATO VE > O Jag E A tale che L - &

Teorema: Relazione fra estremo superiore e massimo di un insieme

Sia A C R non vuoto e limitato superiormente. Se 3max A allora 3sup A e sup A = max A. 2 Se Esup A e sup A E A allora 3max A e max A = sup A.

Dimostrazione della relazione tra estremo superiore e massimo

Sia L = max A allora L è un maggiorante di A e L E A. Quindi per ogni & > 0 basta prendere de = L E A per garantire che L - E < QE, e concludere che L = sup A. @ Sia L = sup A e supponiamo che L E A. Allora L è un maggiorante di A che appartiene ad A e dunque L = max A. C

Definizione: Estremo inferiore

Sia A c R non vuoto. Se A è limitato inferiormente, si dice estremo inferiore di A inf A il massimo dei minoranti di A, ovvero inf A = l E R se e solo se 1 l è un minorante di A: la Va E A, 2 non esiste un minorante più grande di l: VE > O Fac E A tale che a

Teorema: Relazione fra estremo inferiore e minimo di un insieme

Sia A C R non vuoto e limitato inferiormente. Se 3 min A allora Finf A e inf A = min A. Se inf A e inf A E A allora 3min A e min A = inf A.

Teorema: Proprietà di completezza di R

Sia A C R non vuoto. Se A è limitato superiormente allora Esup A E R. @ Se A è limitato inferiormente allora Einf A E R.

Dimostrazione della proprietà di completezza

Dimostriamo la prima parte dell'enunciato, la seconda parte si dimostra in modo analogo. Se A è limitato superiormente allora ammette almeno un maggiorante, ovvero l'insieme dei maggioranti B= {bER: a≤b Va{A}}Ø Si vuole dimostrare che 3 min B. Per definizione di B si ha che a Sb Va E A, Vb E B, e quindi si può applicare l'assioma di completezza di R agli insiemi A e B. L'assioma di completezza garantisce l'esistenza di un elemento separatore s E R tale che a≤s≤b VaE A, VbE B In particolare: Oa≤s VaEA s è un maggiorante di A= SE B @ s≤b VbEB s è un minorante di B IL MINORE DEI MAGGIORANTI (DEFINIZIONE DI SUP) Quindi s è un minorante di B che appartiene a B, ovvero s = min B.

Definizione di funzione

Siano A, B C R non vuoti. Una funzione (reale di variabile reale) f da A a B f : A -> B è una legge che associa ad ogni x E A uno ed un solo elemento y € B. Tale elemento y è detto valore della funzione in x e si scrive f(x) = y. In altre parole, f : A -> B è una funzione se Vx E A Bly E B tale che f (x) = y. Si scrive anche f : A -> B xE AH f(x) = y DI PARTENZA L'insieme 'A si dice dominio della funzione f, e si scrive dom f = A. L'insieme B si dice codominio di f. DI ARRIVO

Definizione di grafico di funzione

Sia f : A -> B una funzione. Il grafico di f è l'insieme graf f = {(x, f(x) ) € A x B : xe A} Cammin 1 (x,y) L C

Definizione di immagine di funzione

Sia f : A -> B una funzione. L'immagine di f è l'insieme dei valori della funzione, ovvero Im f = f(A) = {f(x) : x € A} = {y E B : Ex E A tale che f(x) = y}

Esempio 3

f : R ->R f(x) = x2 Vx ER

Esempio 4

f : R -R f(x) = sinx Vx ER

Definizione di restrizione di funzione

Sia f : A -> B, e sia D C A. Si dice restrizione di f a D la funzione fp : D -> B TEDH fp(x) = f(x)

Esempio di restrizione

La restrizione della funzione f : R -> R DERH f(x) = x2 alla semiretta [0, +00) è la funzione g(x) = x2 Va € [0, +00)

Definizione: Funzione limitata

Si dice che una funzione f : A CR -> R è . limitata superiormente in A se f(A) è un insieme limitato superiormente, ovvero se EL ER tale che f(x) ≤ L Vx E A, · limitata inferiormente in A se f(A) è un insieme limitato inferiormente, ovvero se HER tale che es f (x) VIE A, · limitata in A se è sia limitata superiormente che inferiormente. Osservazione. Una funzione f : A CR -> R è limitata in A se e solo se 3C > 0 tale che |f(x)|

Definizione: Massimo e minimo globali di una funzione

Sia f : ACR -> R. . Se f(A) ammette massimo M := max f(A) allora il numero reale M si dice massimo globale (o assoluto) di f in A ed esiste IM € A detto punto di massimo globale (o assoluto) di f in A tale che f(M)= M e f(x) ≤M VxE A; si usano le notazioni max f = max f(x) == max f(A). A xEA · Se f(A) ammette minimo m := min f(A) allora il numero reale m si dice minimo globale (o assoluto) di f in A ed esiste I'm € A detto punto di minimo globale (o assoluto) di f in A tale che f(Im) =m e m≤f(x) Vx € A; si usano le notazioni min f = min f(x) := min f(A).

Definizione: Estremo superiore e inferiore di una funzione

Sia f : A CIR -> IR, si definiscono rispettivamente l'estremo superiore e l'estremo inferiore di f in A: · sup f = sup f(x) == A TEA sup f(A) se f è lim. superiormente in A, +00 altrimenti; · inf f = inf f(x) == A TEA inf f(A) se f è lim. inferiormente in A, -00 altrimenti. Osservazione. Per definizione di estremo sup. e inf. di un insieme: · se f è limitata superiormente si ha che DEFINIZIONE MAGGIORANTE L = sup f II f(x) ≤L Vx E A, A VE >O Gre E A tale che L - E < f(x) OMINIMO DEI MACCIORANTI · se f è limitata inferiormente si ha che es f ( x ) VIEA, l = inf f A VE > O FIE E A tale che f(x)

Definizione: Funzione strettamente monotona

Siano A, B C R non vuoti. Una funzione f : A -> B si dice monotona · strettamente crescente in A se Vx1,x2 € A con x1 < x2 f(x1) f(x2).

Esempio 1: Funzione monotona strettamente crescente

Funzione monotona strett. crescente

Esempio 2: Funzione monotona strettamente decrescente

Funzione monotona strett. decrescente

Definizione: Funzione monotona

Siano A, B C IR non vuoti. Una funzione f : A -> B si dice monotona · crescente in A se Wx1, x2 E A con x1 < x2 = f(x1) ≤f(x2); · decrescente in A se Wx1, x2 € A con x1 < x2 => f(x1) ≥f(x2).

Esempio 4: Funzione monotona crescente

Funzione monotona crescente

Esempio 5: Funzione monotona decrescente

Funzione monotona decrescente

Proposizione sulle funzioni monotone

Siano a, b E R con a < b. Se f : [a, b] -> R è monotona crescente allora [a,b] max f = f(b) ed Emin f = f(a) [a,b] @ Se f : [a, b] -> R è monotona decrescente allora 3max f = f(a) ed Emin f= f(b) [a,b] [a,b] Se f : (a,b) -> R è strettamente monotona allora Amax f e #min f (a,b) (a,b)

Dimostrazione della proposizione

Dimostrazione. La dimostrazione di 1 e 2 è immediata e segue dalle definizioni di monotonia e di massimo e minimo globale di una funzione. Ad esempio, per ottenere la 1, basta osservare che se f : [a, b] -> IR è monotona crescente allora max f(a) ≤ f(x), ≤ f(b) Vx € [a, b]. min La dimostrazione di 3 si può ottenere per assurdo. Sia f : (a,b) -> R monotona strettamente crescente e supponiamo per assurdo che 3xM E (a,b) tale che max f = f(xM). (a,b) Allora f(x) ≤ f(IM) Va € (a,b). D'altra parte, dato che f è monotona strettamente crescente si ha f(xM) < f(x) Vx € (¥M,b) e quindi si arriva ad una contraddizione. XM NON PUÒ ESSERE UGUALE A 6, E NELLA FUNZIONE TRA XM € 6 ESSA CONTINUA A CRESCERE

Definizione: Successioni

Si dice successione (numerica) una funzione reale il cui dominio è N: f : N ->R nENHf(n) = an I valori della funzione f(n) = an si dicono termini della successione, ed n si dice indice del termine an. Le notazioni {anIn, {anÌnEN, {an}não si usano per indicare la successione con termini an-

Successione limitata

Una successione {an}n definita per ogni n ≥ no è . limitata superiormente se esiste L E R tale che an ≤ L Vn ≥ no, . limitata inferiormente se esiste l E R tale che l ≤ an Vn ≥ no, · limitata se è sia limitata superiormente che inferiormente, ovvero se 3C > 0 tale che Jan| SC Vn ≥ no. Per indicare l'estremo superiore /inferiore ed il massimo/minimo di una successione {an}n si usano rispettivamente le notazioni: sup an == sup f, nEN N inf an := inf f, nEN N max an := max f, nEN N min an := min f. nEN