Límites y Continuidad de Funciones en Bachillerato del Colegio Jesús Nazareno

Límites y Continuidad

lim f (x) = L1 x-x0 ^ Y L1 >X XO 0 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO JESÚS NAZARENO GETAFE 0

Límites y Continuidad: Índice

Tema 7: Limites y Continuidad 1 Índice

• Límite de una función en un punto
• Límite de una función en el infinito
• Propiedades
• Indeterminaciones
• Asíntotas
• Continuidad de una función
• Teorema de Bolzano Y b+ε b b- & 1 0 a - 8 ª a + 8x limf(x)=b <> limf(x)=by limf(x)=b x->a x->a x->a+ „ + 1

Funciones Reales de Variable Real

Tema 7: Limites y Continuidad 2 Funciones reales de variable real. Dominio de una función Definición: Una función real de variable real es una aplicación o correspondencia entre un subconjunto de R, llamado dominio de la función (Dom(f)),y otro subconjunto de R llamado conjunto imagen o recorrido de la función (Im(f)), tal que a cada elemento de Dom(f) le corresponda un único elemento de Im(f). Una forma habitual de expresar las funciones es: − = = = f :R->R x->y= f(x) 2 1 : R x = = − 3 -1 3 6 -2 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO JESÚS NAZARENO GETAFE 2

Función Real: Un Ejemplo

Tema 7: Limites y Continuidad 3 Función real: un ejemplo Y 1 f(x) (x, f(x)) + Recorrido -1 O x 1 X Dominio Entrada Ley de asociación Salida x: variable independiente f y = f(x): variable dependiente Entradas válidas: dominio D=[-1, 1] f(x) = \/1 - x2 Salidas posibles: recorrido f([-1, 1]) = [0, 1] DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO JESÚS NAZARENO GETAFE y 3 y = = = − 3 2 f -3 -2 -1 2 2 x 3x

Dominio de las Funciones Más Usuales

Tema 7: Limites y Continuidad 4 Dominio de las funciones más usuales

Funciones Polinómicas

· Funciones polinómicas: Son funciones del tipo y=f(x)=a0+a1x+ ... +anx", es decir, f(x) es un polinomio. El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales, ya que para cualquier valor de x, por ejemplo x=2, la función tiene sentido siendo su imagen y= ao+a12+ ... +an2". Luego en estas funciones Dom(f)=R

Funciones Racionales Fraccionarias

• · Funciones racionales fraccionarias: Son del tipo y=f(x)= P(x) , siendo P(x) y Q(x) Q(x) polinomios. El dominio de la función son todos los número reales, excepto aquellos que anulan el denominador (soluciones de Q(x)=0), ya que no se puede dividir entre cero. Así en estas funciones Dom(f)=R-{x:Q(x)=0} x Ejemplo: f(x) = (x)=12-3×4 2-3x+4 > Dom(f)=R-{0,1,-1} , -

Funciones Irracionales

· Funciones irracionales: Son del tipo f(x)=" g(x) ; dos casos: - o Si n es impar el dominio de f(x) es el mismo que el de g(x), pues las raíces impares de números negativos son valores reales. Así tenemos que Dom(f(x))=Dom(g(x) o Sin es par el dominio de f(x) es el conjunto de números del domino de g(x), tales que g(x)≥0, ya que las raíces pares de números negativos no son números reales. Así Dom(f(x))={x=Dom(g(x): g(x)≥0} DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO JESÚS NAZARENO • 4 x - + - + GETAFE

Dominio de las Funciones Más Usuales (Continuación)

Tema 7: Limites y Continuidad + + Dominio de las funciones más usuales

Funciones Exponenciales

· Funciones exponenciales: son funciones del tipo y=a8(x), su dominio es el mismo que el dominio del exponente g(x). Así en estas funciones Dom(g(x))=Dom(f(x))

Funciones Logarítmicas

• · Funciones logarítmicas: f(x)=loga(g(x)) el dominio es el conjunto de puntos del dominio de g(x) en los que se cumple g(x)>0, pues no existe solución real para los logaritmos cuando el argumento es negativo o cero. Así en estas funciones Dom(g(x))={x=Dom(f(x)):f(x)>0} Ejemplo: y=f(x)= log 2 -1 1 el dominio de g(x) es R-{2}, veamos el x+2 2 dominio de f(x) > x2 -1 x+2 2 x+2 2 >0: = = (x+1)(x-1) Dom(f(x))=(-2,-1) U (1,0%) - + (x+2) -2 - + + (x+1) 3 + 4 + + = 3 x x 1 - + + - (x+1).(x-1) -2 -1 1 1 COLEGIO JESÚS NAZARENO GETAFE , + 1 + - 1 • • x+2 2 − x x + 1 2 2 x − − x + x = + x + 2 + + - - 2 -1 - x − - (x-1) 1 + - + DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS , 2 3 2 + + + + - • GETAFE o + + • + + 5 1 ( 2 x + - . - - − 2 - 5 x

Límite de una Función

Tema 7: Limites y Continuidad 6 Límite de una función La idea intuitiva de límite de una función en un punto es fácil de comprender: es el valor hacia el que se aproxima la función cuando la variable independiente, x, se aproxima a dicho punto. Ejemplo: sea f(x)= (x-1)2 1 el límite de la función cuando x tiende a 1 es infinito, ya que cuanto más se aproxima x a 1 entonces (x-1)2 más próximo a cero (positivo), y por tanto la función se hace más grande (1/0.00000001=100000000). Definición: Matemáticamente una función f tiene límite L cuando x tiende a un valor xo, y se denota lim f (x) = L si se cumple: X->X0 x>x0 El significado de la definición es la siguiente: sea cual sea el entorno de y=L, existe un entorno de x=X0 tal que en este entorno la función cae dentro del entorno de L. x x 0 2 2 ≠ 1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS g = COLEGIO JESÚS NAZARENO GETAFE 6 L

Límite de una Función Convergente

Tema 7: Limites y Continuidad 7 Límite de una función convergente Definición: Dada una función f(x), se dice que es convergente en xo si, existe el límite lim f (x) = L. x->x0 x → x ε 0 Para que f(x) sea convergente en xo no es necesario que xo pertenezca al dominio, por ejemplo = g(x)=x2+2 si xER-{1} (es decir x1) > lim g(x)=3, 1¢ Dom(g(x)) f ( x → 1 x 3 2 L x → x 0 -2 -1 1 2 Cuando x se aproxima a 1 la función se acerca a y=3 (tanto antes de x=1 como x después), aunque justo en x=1 la función no definida. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO JESÚS NAZARENO GETAFE 9 7 x → 1 = = 3 f − = L L x + L = 4 1 f

Límite de una Función en un Punto y Límites Laterales

Tema 7: Limites y Continuidad Límite de una función en un punto y límites laterales Y b+& b b- ε 0 a - 8 9 a + 8 x limf(x)=b<>limf(x)=by limf(x)=b x->a x->a x>a+ x a

Límites Infinitos y en el Infinito

Límites infinitos y en el infinito Y Y a 0 X ( ) 0 X f a 0 = , x a limf(x)=+00 limf(x) =- 00 lim f(x)=a lim g(x) = b x->a x a DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO JESÚS NAZARENO GETAFE 8 x a a

Gráficos de Límites

Tema 7: Limites y Continuidad 9 Y I +2 1 -2 -1 0 1 2 3 I -1 F 1 2 n DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO JESÚS NAZARENO GETAFE 3 4 x a = x a f x a x a = x a a x a x ( x->a x->+00 X->-00 x a , Y g +b [ ] ] X , 9 8 x a

Propiedades de los Límites

10 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES1 ∞ ∞ x x 1º) «El límite -en caso de existir- es único» 2°) lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) 3º) lim [f(x) g(x)] = lim f(x) · lim g(x) es decir, «El límite de la suma (diferencia) es la suma (diferencia) de los límites». es decir, «El límite del producto es el producto de los límites». f(x) lim f(x) 4º) lim g(x) lim g(x) (siempre y cuando lim g(x)=0) 5º) lim k = k es decir, «El límite de una constante es igual a dicha constante» 6º) lim [k . f(x)] = k . lim f(x) es decir, «Las constantes multiplicativas pueden salir (o entrar) en el límite». = 7º) Límite de una potencia: lim [f(x)]9(x) = [lim f(x)] lim g(x) Ejemplo: lim ex = e" = 00 8º) Límite de una raíz: k k lim f(x) = Vlim f(x) 9º) Límite de un logaritmo: lim log f(x) = log lim f(x) e ∞ x 1 Todas estas propiedades son válidas independientemente de que x->o o a un valor finito. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO JESÚS NAZARENO GETAFE 10 ∞ ∞ - - =

Comparación de Infinitos

Tema 7: Limites y Continuidad = Tema 7: Limites y Continuidad 11 2 2 COMPARACIÓN DE INFINITOS Algunos de estos resultados se justificarán en el tema siguiente, dedicado a las derivadas y sus aplicaciones. En este apartado, f y g verifican lím f(x) = +o y lím g(x) = +00. x++00 ∞ Se dice que f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si lím f(x) = +00. Tambien se dice que f x++00 g(x) crece más rápidamente que g cuando x tiende a oo. Se dice que f (x) es un infinito de orden inferior a g(x) si lím f(x) = 0. También se dice que f crece x-++00 g(x) más lentamente que g cuando x tiende a oo. 1 x 2 1 x − ->+00 ∞ ∞ x = = Sin > m, x" es un infinito de orden superior a x™. Si a > 1, az es un infinito de orden superior a x™ para cualquier n. Esto es cierto en particular para ex. x 2 11 = ■ − 2 −

Casos de Comparación de Infinitos

Si 1 <b<a, az es un infinito de orden superior a br. 0 xn es un infinito de orden superior a loga (x) para cualquier a > 1. Dos polinomios del mismo grado son infinitos del mismo orden. ≈ = = Se dice que f(x) es un infinito del mismo orden que g(x) si lím f(2) =k =0. . x-++00 g(x) Si f(x) es un infinito de orden mayor que g(x) entonces se tiene lim (f(x)-g(x)) = +00. Si f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) entonces se tiene lím > (f(x)- g(x)) = - 00. = k x-++00 0 ∞ < DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO JESÚS NAZARENO GETAFE > 0 Casos similares con distintos signos resultarán fáciles de deducir. k = = 0 − = ⇒ x + x 2 = +

Operaciones con Infinito

Tema 7: Limites y Continuidad 12 K Suma y diferencia: 1) VkER kto=100 2) 00+8=8 3) -8-8 =- 80 Producto: 1) VkER+ (k>0) k.o= > ejemplo lim 3x = +00 x->+00 2) V-KER (-k<0) -k·00 =- 00 -> ejemplo lim - 3x =- 00 x->+00 3) VkER+ (k>0) k·(-00) =- - > ejemplo lim 3x = - 00 = X->-00 4) V-kER (-k<0) -k.(-)= > ejemplo lim -3x = +00 3 = − M ⇒ K Cociente: 1) VkER k =0 > ejemplo lim == 0 + 3 1 + 00 2) VkER+ +00 -x 2) VkER 0 <<< 1 k+ = 0 > ejemplo lim 1 =0 = −∞ k = t > ejemplo lim x-+00 4 x 3) VkER k>1 k- = 0 >ejemplo lim 2* = 0 X->-00 -x 4) VkER 0 <<< 1 k- = +00 -> ejemplo lim x->+00 2 = +00 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO JESÚS NAZARENO GETAFE 12 K

Operaciones con Límites: Indeterminaciones

Tema 7: Limites y Continuidad x 2 13 Operaciones con límites. Indeterminaciones OPERACIONES CON INFINITO ) (+00) + (+) = +00 (+00) - (+00) = Indeterminado k 1 00 · k = (si k # 0) 00.00 = 00 0 - 0 = Indeterminado 0 =0 0 0 = 0 0 x = Indeterminado → 0 x + 2 k 00 = 0 x x x x 8/2 k = 1 0 = 1 1 = Indeterminado 1 0k = 100 si k < 0 si k > 0 0+00 = 0 0° = Indeterminado kº = 1 k+00 = { 0 00 si k > 1 si 0<k <1 1º = Indeterminado (+00) +00 = +00 00 = Indeterminado DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO JESÚS NAZARENO GETAFE - k = = x 2 0 = 0 1 0 x x k = 0 x → 0 x x 2 x 2 x 2 x x = 00 ん 10 k = 0 x − x 1 x x = 3 x x x x = K < x M Exponente: 1) VIER k>1 k+ =+00 > ejemplo lim 2x = +00 x->+00 x->+00 2 3) V-kER -= Too > ejemplo lim x = 00 - k x->+00 - 4 x 1 0 2 = x = − x 00 1 k = 00 0 1 0 1 = x->-00 Operaciones con límites. Indeterminaciones 13− − n n 1 0 n DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO JESÚS NAZARENO b x + + b a GETAFE a 0 n 1 + a a 0 n = n = n − x + x + + nota: cuando el límite tiende a 0 en vez de Ruffini sacamos factor común, pues la raíz es cero, y por tanto el factor es x. − 1 n n x 3 x = 0 x

Tipos de Indeterminaciones

Tema 7: Limites y Continuidad m = Indeterminaciones: 1) 00-00, -00+00 > ejemplo lim x- x2 x 1 x- x- 2 3) > ejemplo lim - 1 x->0 x 1 9) > ejemplo: lim(x)* x700 x ( + x 2 1 10) 0° -> ejemplo: lim(x) x x->00 x ∞ x 2 x n + b x n 1 0 Existen en total 7 indeterminaciones que son: + x − a 1 0 x a m [][][0], [0.00], [0], [0] > [1] k DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO JESÚS NAZARENO GETAFE 14 2 5 3 2 x x 5 3 1 + − 2 x x x 3 1 + + − x x 1 x + + 1 + 3 − x 2 x = 2 2 3 3 x x 5 2 x 2 − 2 2 x x 2 + 3 x 5 x 2 x + a m m − 1 0 x 1 0 1 + a 0 x3 +3x2 +3x+1 0 (x+1)(x2 + 2x+1) = lim = = lim (x2 + 2x+1) n + x + + n m m − 1 + a m − 1 = lim = lim = =0 (x-2) -3 + x n b x n n m a x + a x a m m − 1 0 = 1 n x + n n n − x 1 + a + 0 b a 0 1 b − 1 x->-1 x' -3x-2 0 x->-1 (x+1)(x2-x-2) x->-1 x-x-2 + a m (x+1)(x+1) (x+1) m 1 − n n − + + 0 = n − 1 + + 0 m − 1 + n n − n + b a x − 1 + n − 1 − x + x + 2 2 2 + x + 2 = 2 1) Cociente de funciones polinómicas: Se resuelven descomponiendo factorial- mente numerador y denominador (aplicando Ruffini con raíz la del límite, ya que es el valor donde sea anulan los dos polinomios), simplificando los factores comunes. Ejemplos: x + x-6 (x-2)(x+3) x lim = lim = lim (x+3) n − x → 2 (x2 -5x+4) -2 n − + a x a + + 1 0 0 n − b b = = − 1 0 0 0 + a b 0 − ∞ m x a x + x 1 x->-1(x+1)(x-2) x lim = lim x3 -3x x(x2-3) = lim (x2-3) == 3=3 x-0 2×2 -x x-0 x(2x-1) x->0 (2x-1) -1 : 5 3 x + 2 x 2 x x x − 5 2 3 = 3 x 5 x + 3 − x + 3 x + 15 2 2 5 2 Resolución de indeterminaciones del tipo 0 0 - x + x + 2 = 2 x x − − − x x 5 3 3 2 3 x x + + + − 2 x − m − a x + a x + b x3 -7x2 +14x-8 2 (x-2)(x2-5x+4) x → x → x + x m − + b − b m 0 = = m m 1 − n + b a n x − 1 a a a − ∞ k ∞ 14 x2 +2x 0 = x 2 + x k 0 1 x 2) 0.(+) > ejemplo lim (x2 +3x) 7) 1° > ejemplo: lim(1+x)* x->0 1 x 8) 0" > ejemplo: lim(x)} x->0 2 x x x , 2 x 4) > ejemplo lim x2 a x->0 = ( k > +00 x2 +2 5) > ejemplo lim = ( k > 10, 00, 00, 00 Regla de L'Hôpital x 2 x m n − − x 1 6) => ejemplo lim x->0 k k = x 0 2 2 x = = = 2 x 1 1 x x 1 ∞ − − 1 b b − − 2 x = 2 + 3 5 x x + 2 3 Aparece este tipo de límites principalmente en 2 casos diferentes: x x x x x x − x − − x − − + + x + 2 x x 3 − 3 5 Tema 7: Limites y Continuidad = 5 x 3 x + x x = x x x = 3 2 x 3 3 + + x − 5 x x + 2 x + 3 − 5 3 3 x x x + = k > 5 x − 3 x − 3 = 3 k 0 x = x 4 x = − m − 1 n lim n x m n 1 m 3 − − − − = − a + 15 a n x-> b x 0 x 1 x k 0 1 ∞ x x − x x = x = k 0 x x → 0 + x x 3 3 − −