Problemas en la enseñanza de la matemática, Universidad Virtual Quilmes

Evolución de la Didáctica de la Matemática

Para abordar este punto, tomamos algunos de los aspectos del análisis realizado por Josep Gascón (1998), quien describe la evolución de la didác- tica de la matemática.

Como señala este autor, por mucho tiempo, las principales cuestiones a las que se buscaba respuesta giraban en torno a la tarea específica del pro- fesor. Así se consideraba la enseñanza como un arte y se suponía que el aprendizaje dependía de las condiciones personales del docente y de la ca- pacidad de los alumnos para dejarse moldear.

Con el tiempo, y en coincidencia con un creciente interés por el tema, es- ta concepción evolucionó y comenzó a considerarse el aprendizaje de la ma- temática como un proceso psico-cognitivo fuertemente influenciado por dis- tintos factores (motivacionales, afectivos y sociales).

En tal sentido, la didáctica de la matemática fue cobrando fuerza como disciplina y la problemática abordada se vio condicionada por las ideas do- minantes de cada cultura escolar. Se centró la atención en torno de los co- nocimientos previos que debían poseer los alumnos, en cómo lograr motivar- los, en cuáles son los recursos que resultan más adecuados para la ense- ñanza, en cómo enseñar a resolver problemas, en cómo evaluar a los alum- Leer desde aquí. 17Universidad Virtual Quilmes nos, y en los conocimientos que debe tener el docente para favorecer el aprendizaje, entre otros aspectos.

Naturalmente, las posibles respuestas a tales interrogantes, también es- tuvieron influenciadas por las ideas dominantes y se expresaron, en gene- ral, tal como señala este autor (1989), en eslóganes pedagógicos tales co- mo: "enseñanza personalizada", "motivación a través de materiales relacio- nados con la realidad y los intereses de los alumnos", "enseñanza a través de la resolución de problemas" o "utilización de medios informáticos".

En esta didáctica, denominada didáctica clásica, el saber didáctico no es ex- plicativo sino normativo puesto que se supone que debe proporcionar al pro- fesor recursos profesionales para desarrollar su labor de manera satisfactoria.

Desde esta perspectiva se identifican dos enfoques, uno de ellos toma el conocimiento del alumno como objeto primario de investigación y el funda- mento científico lo constituye la psicología educacional; y el otro, adopta el pensamiento del profesor como objeto primario de investigación (sus conoci- mientos disciplinares, sus conocimientos pedagógicos y sus prácticas), sin descuidar las cuestiones pertinentes al alumno. En este enfoque la funda- mentación científica es compartida por la psicología, la sociología, la histo- ria de la matemática y la epistemología de la matemática.

Pero la característica fundamental de la didáctica clásica es que no pro- blematiza acerca de "los saberes matemáticos" ni tampoco sobre nocio- nes tales como "enseñar matemática" o "aprender matemática". De esta manera, debido a la falta de respuesta a múltiples cuestiones, los especia- listas en didáctica de la matemática transformaron estos conceptos en obje- tos científicos.

A principios de los años 70, Guy Brousseau, investigador en Didáctica de la Matemática de la escuela francesa, publica las primeras formulaciones de la Teoría de Situaciones, incluyendo el conocimiento matemático como obje- to primario de investigación. En este contexto se reivindica el status de "sa- ber científico" para la didáctica de la matemática y nace la llamada "Didácti- ca Fundamental".

La teoría de las situaciones didácticas de Brousseau se propone funda- mentar un cuadro explicativo, interpretativo y predictivo concerniente a situa- ciones organizadas para provocar el aprendizaje.

Directamente vinculado con esta teoría, M. Artigue presenta en 1984 un trabajo acerca de la Ingeniería didáctica, que aborda la preparación, experi- mentación y el análisis de las situaciones didácticas.

La noción de transposición didáctica fue propuesta por Yves Chevallard en 1980.

La Teoría de la Transposición Didáctica constituye, como lo señala Chevallard, la aproximación antropológica de la Didáctica de la Matemática y ha suscitado gran interés en el campo de esta última como así también en el campo de otras didácticas específicas.

En 1981 Gérard Vergnaud propone las primeras aproximaciones a la no- ción de campo conceptual. La Teoría de los Campos Conceptuales se intere- sa especialmente en las relaciones entre el alumno y el saber matemático desde una perspectiva cognitiva.

Desde sus formulaciones iniciales, las mencionadas teorías han sufrido un enriquecimiento en su evolución. Algunos aspectos de estas teorías y de sus modificaciones serán profundizados en las unidades en las que se las estudiará específicamente.

Problemas de la Enseñanza de la Matemática

• Que la matemática constituye un lenguaje en el que se expresan las si- tuaciones-problemas y las soluciones encontradas. Los sistemas de sím- bolos, dados por la cultura, tienen una función comunicativa y un papel instrumental, ya que cambian a las propias personas que usan los símbo- los como mediadores. Este supuesto asume los planteamientos psicoló- gicos de Vigostsky y los semióticos de Rotman.
• Que la matemática constituye un sistema conceptual lógicamente organi- zado y socialmente compartido. Los objetos matemáticos son entidades culturales cuya naturaleza sistémica y compleja no puede ser descripta sólo con definiciones formales.
• Que las abstracciones o generalizaciones, tanto en su faceta psicológica como epistemológica son emergentes de los sistemas de las prácticas realizadas por una persona o en el seno de una institución ante cierta cla- se de problemas. Los sistemas de prácticas significativas -esto es, efica- ces para el fin pretendido- son considerados como el origen genético de los distintos "objetos matemáticos personales". La especificidad de tales sistemas de prácticas respecto a los contextos institucionales particula- res determina, asimismo, la emergencia de objetos matemáticos perso- nales u objetos matemáticos institucionales específicos. Se postula, por tanto, una relatividad intrínseca de los objetos matemáticos emergentes respecto a las distintas instituciones involucradas, y dependiente, asimis- mo, de los lenguajes disponibles.
• Que " ... variaciones de las condiciones del medio producen como respuesta comportamientos del sujeto que tienen como efecto modificar el medio, y también modificar al sujeto, para finalmente obtener el mantenimiento de ciertos equilibrios internos o la optimización de ciertos parámetros." (G. Brousseau, 1975, citado por M.J. Perrin) (Las investigaciones efectuadas por G. Brousseau se refieren a los trabajos de Piaget, y se ubican en el marco del supuesto de un modelo de aprendizaje por adaptación)
• Que un conocimiento nuevo se construye apoyándose en conocimientos antiguos, pero también contra estos mismos conocimientos antiguos.

Didáctica Fundamental y Fenómenos de Aprendizaje

18Problemas de la Enseñanza de la Matemática Con el surgimiento de la Didáctica Fundamental se pasó, entonces, del es- tudio clínico al estudio de fenómenos ligados al aprendizaje de las matemá- ticas en diferentes medios, como por ejemplo en la clase. Se refinaron los métodos de investigación, se elaboraron marcos teóricos para explicar es- tos fenómenos y se definieron nuevos objetos, como, por ejemplo, la noción de obstáculo en el aprendizaje, y el papel de los sistemas semióticos de re- presentación en el aprendizaje de conceptos, entre otros, sobre los que vol- veremos más adelante.

Se comenzaron a abordar, cuestiones tales como el papel de la resolu- ción de problemas en la enseñanza de la matemática, cuál es la relación en- tre el aprendizaje de la aritmética, el álgebra y la geometría, qué significa ad- quirir el concepto de proporcionalidad, o qué significa adquirir el concepto de función.

Esta perspectiva permite estudiar fenómenos que hasta entonces perma- necían inexplicados, como por ejemplo, que ciertos conceptos matemáticos muestran una gran resistencia a ser comprendidos por los alumnos ( tal es el caso de las nociones de función, de proporcionalidad, de área, de volumen, de límite, de probabilidad condicional, entre otros); también permite analizar otros fenómenos tales como: la ausencia de demostraciones en las clases de geometría, la algebrización del cálculo diferencial escolar, entre otros.

En los últimos trabajos de Chevallard se ha reconocido que la actividad matemática escolar se integra en la problemática de las actividades mate- máticas institucionales, las que pasan a constituir un nuevo objeto primario de la investigación didáctica.

En este marco y como consecuencia natural de la teoría de la transposi- ción didáctica se configura el enfoque antropológico en el que la actividad matemática es interpretada como una actividad humana, junto con las otras actividades.

Este paso de la institución escolar a cualquier institución en la que se ma- nipulan conocimientos matemáticos es la última ampliación de la problemá- tica didáctica, y el modelo que se corresponde con este enfoque es, según Chevallard, Gascón y Bosch (1997) el del "proceso de estudio de una obra matemática en el seno de una institución". La noción de proceso de estudio de una obra matemática es abarcativa puesto que incluye no sólo los proce- sos de enseñanza y aprendizaje en el sentido habitual sino toda la actividad del hombre haciendo matemática.

Esto no significa que se hayan eliminado los análisis cognitivos referidos a las concepciones de los estudiantes y el análisis de los obstáculos que condicionan su evolución, sino que, gracias a este enfoque, en los debates teóricos actuales, todos estos análisis parciales se integran, tal como lo ve- remos a lo largo de este curso.

El sistema didáctico

Como ya lo señalamos, los comienzos de los años 70 marcan el nacimien- to de la denominada Didáctica Fundamental cuya característica esencial es integrar la especificidad de los contenidos matemáticos a su problemática.

Desde esta perspectiva, los análisis de las interacciones entre el saber matemático, los alumnos y el docente incluyen dimensiones epistemologi- cas, sociales y cognitivas, que analizaremos a lo largo del texto.

Al distinguir tres lugares: docente- alumno- saber y considerar la relación didáctica como una relación ternaria se pone de manifiesto la diferencia con 19