Fondamenti di Matematica e Fisica per Scienze Infermieristiche

Fondamenti di Matematica e Fisica

lezione I
Prof. Marta Ruspa
ruspa@med.uniupo.it

UP
UNIVERSITÀ DEL PIEMONTE ORIENTALEFondamenti di Matematica e Fisica

Corso di Matematica a Scienze Infermieristiche

Perché un corso di Matematica
a Scienze Infermieristiche?

La posologia di un farmaco è 15mg/kg di massa
corporea al giorno. Si raccomandano 3 somministrazioni
a distanza di 8 ore. Si calcoli la dose per ciascuna
somministrazione raccomandata per un paziente di
massa 35 kg.

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Matematica di Base

MATEMATICA DI BASE che
OCCORRE CONOSCERE

• Numeri relativi ed operazioni con i medesimi
• Frazioni
• Potenze e relative proprietà
• Monomi, polinomi, espressioni algebriche
• Potenze di dieci e notazione scientifica
• Soluzione di equazioni di primo grado
• Proporzioni
• Percentuali
• Richiami di geometria piana e solida
• Angoli
• Equivalenze e conversioni tra unità di misura

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Numeri Relativi

NUMERI RELATIVI
-3
1/2
0.4
102
V2
4a2b

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Algebra dei Numeri Relativi

ALGEBRA DEI NUMERI RELATIVI
Numeri relativi: numeri preceduti dal segno + o dal segno -
a= > 5,2
segno
modulo o valore assoluto (si
indica con |a|)
Due numeri relativi sono

• concordi se hanno lo stesso segno es: (-3 ; - 7,15 ; - 6001);
• discordi se hanno segno contrario es: (+73,6 ; - 12,2);
• opposti se hanno stesso modulo e segno contrario es: (-2,13 ; +2,13)
• reciproci (inversi) se hanno lo stesso segno e modulo inverso
  es: (-4/5 ; - 5/4)

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Le Quattro Operazioni

Addizione e Sottrazione

LE 4
OPERAZIONI
Addendi concordi:somma dei moduli
stesso segno

• Addizione (somma)
  (-2)+(-6) =- 8
  (-13) + (+9) =- 4
  Addendi discordi:differenza dei moduli
  segno dell'addendo di modulo maggiore
  Si ottiene sommando al primo numero (minuendo)
  l'opposto del secondo (sottraendo)

· Sottrazione (differenza)
(-4)-(-9)=(-4)+(+9)=+5
Nota: per lo scioglimento delle parentesi in una espressione

• si elimina la parentesi se preceduta dal segno +
  + (4x-2y+3z)=4x-2y+3z
• si elimina la parentesi cambiando segno a tutti i fattori al suo interno se
  preceduta dal segno -
  -(4x-2y+3z) =- 4x+2y-3z

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UNIVERSITÀ DEL PIEMONTE ORIENTALEFondamenti di Matematica e Fisica

Moltiplicazione e Divisione

LE 4
OPERAZIONI
Addendi concordi:somma dei moduli
stesso segno

· Addizione (somma)
(-2)+(-6) =- 8
(-13) +(+9) =- 4
Addendi discordi:differenza dei moduli
segno dell'addendo di modulo maggiore
Si ottiene sommando al primo numero (minuendo)
l'opposto del secondo (sottraendo)

· Sottrazione (differenza)
(-4)-(-9)=(-4)+(+9)=+5

· Moltiplicazione (prodotto)
(-4)(-3)(-7) =- 84
Il modulo è il prodotto dei moduli
Il segno è positivo -> numero pari di segni -
negativo -> numero dispari di segni -

· Divisione (quoziente o rapporto)
(-21) : (+7) = (-21) +-
1
7
=- 3
Si ottiene moltiplicando il dividendo per il
reciproco del divisore

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UNIVERSITÀ DEL PIEMONTE ORIENTALEFondamenti di Matematica e Fisica

Frazioni

FRAZIONI
Una frazione è un rapporto tra due numeri a e b
a
numeratore
b
denominatore
Frazioni equivalenti
Dividendo o moltiplicando numeratore e denominatore per un fattore
comune, la frazione non cambia.
a
x · a
=
b x.b
Es:
6
12
Riduzione ai minimi termini
Esprimere una frazione in una forma equivalente con valori minimi del numeratore e
denominatore (divisione per tutti i fattori comuni)
10
4
2.5
=
2.2 2
=
5
378
315
7.2.33
7.5.32
3
=
2-3=6

UP
UNIVERSITÀ DEL PIEMONTE ORIENTALE
3
2
1
6
sono frazioni equivalentia

Fondamenti di Matematica e Fisica

Operazioni con le Frazioni

-
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI
Moltiplicazione di due frazioni
a c
ac
×
=
bd bd
Divisione di due frazioni:
a
b
æ
ç
è
ö
ø
a
d
=
×
æ
c
bc
ç
è
d
Somma/differenza di frazioni:
c
ad + bc
-
+
- =
b
d
bd
a c
ad - bc
b d
bd
1
b
=
æ
a
ç
è
b
ö
ø
÷
a
Es:
1
3
=
2/3
2
Inverso di una frazione:
=
UP
UNIVERSITÀ DEL PIEMONTE ORIENTALE
ö
÷
ø
÷Esercizi: operazioni con le frazioni

Fondamenti di Matematica e Fisica

Esercizi sulle Frazioni

5 3 _?
2 2
1
2/3
=?
1 2
-+ ==?
2 3
1
3
7
9
= ?
3
-+ -=?
4 6
9
2
-=?
10 5
=?
2
3
4
3
= ?

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UNIVERSITÀ DEL PIEMONTE ORIENTALE
(7):(2-3) +( 2) : 1-3) -?
4Fondamenti di Matematica e Fisica

Elevamento a Potenza

ELEVAMENTO A POTENZA
ab
b
· una potenza di esponente pari e'sempre
positiva;
· una potenza di esponente dispari e` negativa
se la base e negativa.
a = base, b = esponente
a-b = 1/ab
aº = 1
potenza a esponente negativo
potenza a esponente nullo

UP
UNIVERSITÀ DEL PIEMONTE ORIENTALEPROPRIETA' DELLE POTENZE

Fondamenti di Matematica e Fisica

Proprietà delle Potenze

• Somma di potenze di ugual base e uguale esponente
  an + an -> (nessuna particolare proprietà, sono pero' monomi simili)
  a2 + a2 =2a2
• Somma di potenze di ugual base e diverso esponente
  an + am - (nessuna particolare proprietà)
  a3 + a2 = (a·a·a) + (a·a)
• Prodotto di potenze di ugual base e diverso esponente
  an. am = antm
  a3 . a2 = (a.a.a) .(a'a) = a'a'a'a'a = a5
• Rapporto di potenze di ugual base e diverso esponente
  an/am = an-m
  a3/a2 = (a·a·a)/(aa) = a = a1
• Potenza di potenza (an)m = an*m
  (a3)2 = (a'a'a) .(a.a.a) = aa a a'a'a'a = a6

UP
UNIVERSITÀ DEL PIEMONTE ORIENTALEFondamenti di Matematica e Fisica

Radice

RADICE
a = radicando, n = indice
E' l'operazione inversa dell'elevamento a potenza:
è quel numero la cui potenza n-esima è uguale ad a
n
a
· la radice di indice pari di un numero negativo non esiste
· la radice di indice dispari di un numero esiste ed è unica
· esistono sempre due radici di indice pari di un numero positivo
Nota: una potenza con esponente frazionario è uguale ad un radicale che ha per
indice il denominatore della frazione
mvan = an/m
Infatti an/m. an/m. an/m ... (m volte) = amn/m= an

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UNIVERSITÀ DEL PIEMONTE ORIENTALEEsercizi: proprieta' delle potenze

(-)(-) =
(-2)(+2)' =
(+2)'(-3)' =
(-) /(-)
-
-3
(-3)/(
-
=

1)
3
27"
[-]

UPO
Fondamenti di Matematica e FisicaEsercizi: radicali

Esercizi sui Radicali

3
Fondamenti di Matematica e Fisica
6
1
212
=
42 .4-2 =
3
-
(-4)2 .(-4)-2 =
4.104 .2.10-2
3
1
10-4

UPOPotenziamento formativo, Infermieristica, M. Ruspa

Potenze di 10

POTENZE DI 10
Che cosa vuol dire 10n?
10000 ..... 00000 n zeri
Che cosa vuol dire 10-n?
1/10000 ..... 00000 n zeri
Valgono le proprietà delle potenze

UP
UNIVERSITÀ DEL PIEMONTE ORIENTALEPotenziamento formativo, Infermieristica, M. Ruspa

Esempi di Potenze di 10

POTENZE DI 10
100= 1
101= 10
102= 10.10 = 100
103 = 10.10.10=1000
106 = 1000000
105
(si legge "dieci alla quinta")
è uguale a 1 moltiplicato per 105 1*100000
= 100000
è uguale a 1.0 spostando la virgola a destra di
5 posti
10-1 = 1/101 = 0,1
10-2 = 1/102 = 0,01
10-3 = 1/103 = 0,001
10-6= 0,000001
10-5
(si legge "dieci alla meno 5")
è uguale a 1 diviso per 105
1/100000 =
0.00001
è uguale a 1.0 spostando la virgola a sinistra
di 5 posti

UNIVERSITÀ DEL PIEMONTE ORIENTALEE' possibile esprimere qualsiasi numero come il prodotto di un fattore per una potenza
di dieci. Il fattore numerico è ottenuto spostando la virgola del numero iniziale di un
numero di posizioni pari al valore assoluto dell'esponente, verso sinistra se l'esponente
è positivo, verso destra se negativo.
Consideriamo un numero, ad es. 12,43
Questo numero lo posso scrivere in varie forme equivalenti:
12,43 -
(12,43)-10
10
.10 -1,243-10 - 1,243.10'
Posso spostare la virgola di una posizione verso sinistra
moltiplicando il numero risultante per 101
12,43
100
.100 - 0,1243.100 - 0,1243.102
12,43 -
Virgola spostata di due posizioni verso sinistra
numero risultante moltiplicato per 102
Fattore moltiplicativo: 103
12,43 = 0,01243-103
Virgola spostata di 3 posizioni a sinistra
12,43 =
(12,43.10)
10
124,3
10
= 124,3-10-1
=
Virgola spostata di una posizione verso destra
numero risultante moltiplicato per 10-1
12,43 = 1243-10-2
12,43 - 12430-10-3
Fattore moltiplicativo: 10-3
Virgola spostata di 3 posizioni a destra

UPCPotenziamento formativo, Infermieristica, M. Ruspa

Notazione Scientifica

NOTAZIONE SCIENTIFICA
Notazione scientifica (forma esponenziale)
Si usa nei calcoli scientifici per esprimere numeri molto grandi e molto piccoli
5,213. 10-7
parte numerica
numero compreso tra
1 e 9,999 ..
prodotto
si usano anche i
simboli * e x
potenza di 10
l'esponente rappresenta il
numero di posti decimali di
cui occorre spostare la virgola
Esempi:

UP
UNIVERSITÀ DEL PIEMONTE ORIENTALE
l = 345000 m = 3,45.105 m
l = 0,00038 m = 3,8.10-4 m
t = 972000000000 s = 9,72.1011 sPotenziamento formativo, Infermieristica, M. Ruspa

Conversione in Notazione Scientifica

NOTAZIONE SCIENTIFICA
Notazione scientifica (forma esponenziale)
Si usa nei calcoli scientifici per esprimere numeri molto grandi e molto piccoli
5,213. 10-7
parte numerica
numero compreso tra
1 e 9,999 ..
prodotto
si usano anche i
simboli * e x
potenza di 10
l'esponente rappresenta il
numero di posti decimali di
cui occorre spostare la virgola
Per convertire un numero in notazione scientifica si sposta la virgola decimale fino ad ottenere
un fattore numerico compreso tra 1 e 10 che moltiplica una potenza di dieci con esponente pari
al numero di posizioni di cui si è spostata la virgola.
L'esponente è positivo se la virgola decimale è spostata verso sinistra (numero grande),
negativo se è spostata verso destra (numero piccolo).

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UNIVERSITÀ DEL PIEMONTE ORIENTALEPotenziamento formativo, Infermieristica, M. Ruspa

Esercizi di Conversione

Esercizi:
conversione in notazione scientifica
274 =274,0 = 2,74. 100 =
4250000 =
0,001 =
0,000043 =
0,35 =
conversione in notazione ordinaria
3.10 =
1,5.102 =
1,5.104 =
3.10-1 =
1,5. 10-2 =
1,5. 10-4 =

UP
UNIVERSITÀ DEL PIEMONTE ORIENTALEPotenziamento formativo, Infermieristica, M. Ruspa

Soluzioni Esercizi di Conversione

Esercizi:
conversione in notazione scientifica
274 =274,0 = 2,74. 100 = 2,74· 102
4250000 = 4,25.106
0,001 = 1/1.000 = 1/103 = 1·10-3
0,000043 = 4,3/100.000 = 4,3· 10-5
0,35 = 3,5/10 = 3,5.10-1
conversione in notazione ordinaria
3 .10 = 3,0.101 = 30
1,5.102 = 1,5.100 = 150
1,5.104 = 15000
3.10-1 = 3/101 = 3/10 =0,3
1,5. 10-2 = 1,5/100 = 0,015
1,5. 10-4 = 0,00015

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UNIVERSITÀ DEL PIEMONTE ORIENTALEPotenziamento formativo, Infermieristica, M. Ruspa

Esercizi con Potenze di 10

Esercizi: operazioni con le potenze di 10
0,00321=
972000 =
8,26 . 104 =
3,2 . 10-7 =
0,00002 × 0,0003 =
0,02 × 3000
60 × 0,4
=
4/0,0016 =
7987 ×70444 =
R. 3,21.10-3
R. 9,72.105
R. 82600
[R. 0,00000032]
R. 6.10-9
[R. 2,5]
R.
0,2
R. ~ 5,6.108]

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UNIVERSITÀ DEL PIEMONTE ORIENTALE