Matematica elementare con laboratorio di didattica della matematica Unicatt

Matematica elementare con laboratorio di didattica della matematica

Giulia Bernardi giulia.bernardi@unicatt.it Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE

Un gioco per iniziare

1Un gioco per iniziare ... 9+ 2- 5+ 2- https://www.kenkenpuzzle.com/game PUZZLE Nº 149653 2- 4 6+ KenKen® is a registered trademark of KenKen Puzzle, LLC. Puzzle content @2025 KenKen Puzzle LLC. All rights reserved. Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 29+ 2- 2 4 3 1 5+ 2- 1 2 4 3 2- 3 1 6+ 2 4 4 4 3 1 2 PUZZLE NO. 149653, 4X4, EASY

L'insieme Z

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 3L'insieme Z Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta:

• Interpretare i numeri interi negativi in contesti concreti.
• Rappresentare i numeri conosciuti sulla retta e utilizzare scale graduate in contesti significativi per le scienze e per la tecnica.

Perché «nuovi» numeri?

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 4Perché «nuovi» numeri? DAL MONDO REALE Ci sono occasioni che non vengono descritte accuratamente dai numeri naturali, ad esempio:

• per indicare dei debiti
• temperature
• anni prima dell'anno zero
• altitudine

DAL MONDO MATEMATICO La addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne ad N, la sottrazione invece non è un'operazione interna ... Possiamo definire un insieme numerico in modo che la sottrazione sia ovunque definita. A questo insieme vogliamo estendere l'ordinamento e le operazioni (con le loro proprietà) già definite sui numeri naturali.

Storia della matematica

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 5Storia della matematica Nella matematica egizia e greca non sono presenti numeri negativi: ad esempio venivano considerate solo le soluzioni positive delle equazioni di primo e secondo grado, in quanto interpretate come misura di grandezze geometriche. Anche se i Greci avevano regole per le operazioni tra numeri negativi, ad esempio per svolgere il prodotto (a - b) (c - d) = ac - ad - bc + bd a b (a-b)(c -d) C d

Prime tracce di numeri negativi

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 6Prime tracce di numeri negativi Nella matematica indiana e cinese si trovano tracce di numeri negativi già nei primi secoli dopo Cristo. Il matematico indiano Brahmagupta vissuto nel VII secolo riporta le regole per operare con quantità positive (fortune) e quantità negative (debiti):

• Un debito meno zero è un debito.
• Una fortuna meno zero è una fortuna.
• Zero meno zero è zero.
• Un debito sottratto da zero è una fortuna.
• Una fortuna sottratta da zero è un debito.
• Il prodotto di zero per un debito o una fortuna è zero.
• Il prodotto di zero per zero è zero.
• Il prodotto o il rapporto di due fortune è una fortuna.
• Il prodotto o il rapporto di due debiti è una fortuna.
• Il prodotto o il rapporto di un debito e una fortuna è un debito.

Numeri absurdi

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 7Numeri absurdi Nella matematica europea, ad esempio con Fibonacci (XIII secolo), vengono utilizzati in modo informale nella quotidianità degli scambi commerciali per indicare debiti ma visti con sospetto. Fino al XVI secolo vengono chiamati numeri ficti (finti) o numeri absurdi (assurdi). John Wallis, matematico inglese, nel 1685 descrive per primo la retta dei numeri fornendo una efficace rappresentazione dei numeri negativi. 5 m:Rm: 15 25 m:m: 15 qd.eft 40 Un esempio della notazione usata da Cardano nel suo libro Ars Magna (1545) in cui sono indicate le radici dei numeri negativi. In notazione moderna scriveremmo: 5+1-15 5-1-15 25 -- 15 = 40

Dalla semiretta alla retta dei numeri

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 8Dalla semiretta alla retta dei numeri Consideriamo la semiretta dei numeri naturali e prolunghiamola per ottenere la retta a cui essa appartiene. Di ogni naturale n costruiamo l'opposto, indicato con -n e collocato nella semiretta opposta a quella che rappresenta i numeri naturali alla stessa distanza da 0 rispetto a n. n + (-n) = (-n) +n=0 0 -n n

L'insieme Z dei numeri interi

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 9L'insieme Z L'insieme dei numeri interi, che solitamente si indica con Z è dato dall'unione degli insiemi dei numeri naturali e dei suoi opposti: Z = Z+ u {0} UZ- Dove Z+ = {1,2,3,4,5, 6 ... } sono i numeri interi positivi e Z"= {-1, -2, -3, -4, -5, -6 ... } sono i numeri interi negativi N

Valore assoluto

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 10Valore assoluto Definizione: Dato un numero intero z E Z, il valore assoluto di z si indica con | z |'ed è definito come 121= 5-2, z < 0 z, z ≥ 0 Esempi: · Giulia ha 3 anni di differenza da suo fratello. Se Giulia ha 10 anni, quanti anni ha il fratello? |10 -x]= 3 · Giulia e Andrea abitano nello stesso palazzo a due piani di distanza. Se Giulia abita al terzo piano, a quale piano abita Andrea? 2 = |3 - x| · In generale, la distanza tra due punti qualsiasi sulla retta xA , XB è data da d = |XA -XB

Somma algebrica

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 11Somma algebrica Le operazioni di addizione e sottrazione diventano un'unica operazione: la somma algebrica. Il significato più efficace per interpretare le operazioni di addizione e sottrazione nell'ambito dei numeri interi è quello di andare avanti/indietro: parto dal primo addendo sulla retta dei numeri, mi sposto del valore assoluto del secondo addendo «in avanti», cioè verso destra, se è positivo, mentre se è negativo mi muovo «indietro», cioè verso sinistra. -3 + (-5) = - 8 -3 + (+5) = 2 F -10 -9 -8 -7 -6 -5 £ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 00 https://polypad.amplify.com/p#number-line

Proprietà della somma algebrica

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 12Somma algebrica: proprietà "Operazione interna ad Z: la somma algebrica di due numeri interi è sempre un numero intero. · Proprietà commutativa: a + b = b + a · Proprietà associativa: (a+b) +c=a+(b+c) · Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a • · Legge di annullamento: la somma di due numeri è zero se e solo se sono uno l'opposto dell'altro a+b=0<>a =- b Esempi: .(-5) +(-3) =(-3) + (-5) = - 8 ·(-7) + 2 = 2 + (-7) = - 5 ·(-7)+ (2+(-3)) = (-7+2) + (-3) =- 7+2-3 =- 8

Moltiplicazione e divisione

Lezione 6 MATEMATICA ELEMENTARE 13Moltiplicazione (e divisione) La «regola» Un esempio Più per più fa più Come per i numeri naturali (+5) x(+3) = 5×3 = 5 +5 + 5 Più per meno fa meno Meno per più fa meno Addizione ripetuta di una quantità negativa (+5) x (-3) = (-3) x 5 = =- 3-3-3-3-3 =- 15 Meno per meno fa più Perché valga la legge di annullamento e la proprietà distributiva della moltiplicazione (-5+5)x(-3) =[(-5)x(-3)]+ [5x(-3)] 0 = [(-5) x (-3)] - 15 Quindi dev'essere (-5) x (-3) = +15 La moltiplicazione (e la divisione) tra numeri interi sono definite in questo modo per poter estendere le operazioni definite sui numeri naturali con tutte le loro proprietà.

Esempi di attività: il gioco del palazzo

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 14Esempi di attività: il gioco del palazzo +15 +14 +13 +12 +11 +10 7 +6 0 0: 10 Le regole sono analoghe a quelle del gioco dell'oca ma ci sono dadi di colori diversi che fanno spostare in direzioni diverse; si può vincere sia arrivando al piano più alto del palazzo che arrivando in quello più in basso.

Esempi di attività con numeri interi

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 15Esempi di attività - y2 y1 Absolute Value Directed Distance -6 - 10 = 16 The fish and the bird have a vertical distance of 16 meters. 20 15 10 10 Y1 5 16 -0 -5 -6 y2 -10 -- 15 +-20 https://phet.colorado.edu/en/simulations/number-line-integers https://phet.colorado.edu/sims/html/number-line-distance/latest/number-line-distance_en.html https://phet.colorado.edu/sims/html/number-line-operations/latest/number-line-operations_en.html

Quesiti INVALSI

Quesito INVALSI 2017 - Grado 5

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 16Esempi: quesiti INVALSI D5. Leggi il seguente brano: Filippo, re della Macedonia, conquista la Grecia nel 338 a.C. Filippo muore due anni dopo e suo figlio Alessandro, che ha solo vent'anni, diventa re. Completa la frase: Alessandro diventa re nell'anno a.C. INVALSI 2017 - Grado 5 Risposte corrette 35.4% Risposte errate 62.7% Risposte Mancate 1.9%

Quesito INVALSI 2019 - Grado 5

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 17Esempi: quesiti INVALSI D15. Il 15 gennaio 2015 a Monteveglio, alle 8 del mattino, la temperatura era di 5 gradi. Il giorno dopo, alla stessa ora, la temperatura era diminuita di 7 gradi. Qual era la temperatura a Monteveglio il 16 gennaio 2015 alle 8 del mattino? Risposta: gradi INVALSI 2019 - Grado 5 Risposte corrette 70.1% Risposte errate 26.4% Risposte Mancate 3.5%

Grafico temperature Bolzano

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 18D8. Il grafico rappresenta le temperature registrate in una settimana di novembre alle ore 8 a Bolzano. 6 TEMPERATURA IN GRADI 4 2 0 .2 -4 Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica a. Quale temperatura è stata registrata più volte? Risposta: gradi b. Qual è la differenza di temperatura tra martedì e domenica? Risposta: .......... gradi c. Osserva sul grafico le temperature registrate da martedì a venerdì. Qual è la media di queste quattro temperature? Risposta: gradi INVALSI 2019 - Grado 5

Inventare la domanda

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 19Inventare la domanda D8. Il grafico rappresenta le temperature registrate in una settimana di novembre alle ore 8 a Bolzano. 6 TEMPERATURA IN GRADI 4 2 0 -2 -4 Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica QUANTI GRADI CI SONO IN UN MESE A BOLZANO? D8. Il grafico rappresenta le temperature registrate in una settimana di novembre alle ore 8 a Bolzano. 6 TEMPERATURA IN GRADI +NON -4 Lunedì Martedì Mercoledi Giovedì Venerdì Sabato Domenica LE TEMPERATURE DELLA SETTIMANA (QUANTI GRADi Ci SONO IN TUTTO?) QUANTI SONO i GRADi SOTTO ZERO (LO) ?) 3 QUANTi GRADi Ci SONO TOGLIENDO i GRADI SOTTO LO ZERO? AQUANTI GRADI Ci SONO TOGLIENDO i GRAD. DELLA DOMENICA E DEL SABATO?) (QUANTI GRADi Ci SONO MERCOLEDÌ È GIOVEDÌ) SOMAS + AURORA + LORENZO M. IV primaria

Z - l'insieme dei numeri interi

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 20Z - l'insieme dei numeri interi Ordinato La relazione «minore o uguale» è una relazione d'ordine largo totale, cioè permette di mettere in relazione e «ordinare» due elementi qualsiasi di Z. Discreto Preso z E Z, esiste un altro elemento w E Z tale che non esistono altri elementi tra z e w, w è detto successivo di z. La distanza tra i due numeri è di una unità. Infinito Esistono infiniti numeri interi.

Ordinamento di Z

Lezione 11 MATEMATICA ELEMENTARE 21Ordinamento di Z La relazione di «minore o uguale» è definita in modo analogo a come è definita sui numeri naturali: a ≤ b se esiste un numero positivo c tale che b = a + c. Analogamente per le altre relazioni d'ordine (minore, maggiore, maggiore e uguale). Quindi, in particolare: · Qualsiasi numero positivo è maggiore di qualsiasi numero negativo. · Lo zero è minore di tutti i numeri positivi e maggiore di tutti i numeri negativi. · Un numero negativo è minore di un altro numero negativo, se il suo valore assoluto è maggiore. Cioè -5 < - 3 perché 5 > 3. 22