Problemas matemáticos: definición, tipos y métodos de resolución

Universidad de Extremadura

Facultad de Formación del Profesorado

Profesor: Rubén Gómez González (ruben@unex.es)
Didáctica de las
Matemáticas II
Grado en Educación
Primaria
Curso 2024/25

Temario de la asignatura

Tema 2. Los problemas matemáticos

2.1. ¿ Qué entendemos por
problema de Matemáticas?
Problema vs ejercicio. Problemas
tipo vs tipos de problemas

2.2. Referentes para
proponer/resolver problemas de
matemáticas: Contexto,
formato, fuentes y tareas

2.3. Análisis de los problemas
escolares: problemas aritméticos y
geométricos

facea-
Descripción de las actividades prácticas del
tema 2: Actividades para comprender la
diferencia entre problemas y ejercicios y de
planteamiento y análisis de problemas
matemáticos
teniendo
en
cuenta
IOS
diferentes referentes y tipos estudiados.

¿Qué entendemos por problema de Matemáticas?

Problema vs ejercicio. Problemas tipo vs tipos de problemas

C¿Qué entienden por problema de matemáticas los EMP?
Escribid dos
problemas de
matemáticas de
Primaria.
Resolved los
problemas que habéis
propuesto.

¿Qué entienden por problema de matemáticas los EMP?

Los problemas de matemáticas que habéis escrito reflejan vuestra imagen sobre los
problemas de matemáticas

Tipos de problemas

• Aritméticos
• Fracciones
• Geometría
• Ecuaciones

¿Qué entienden por problema de matemáticas los EMP?

Los problemas propuestos se alinean con las clasificaciones de Borasi (1986) como "Word problem",
donde toda la información necesaria para resolver el problema está presente en el enunciado.
La resolución implica traducir el texto a una expresión matemática, según Charles y Lester
(1982), como "simple translation problem" o "complex translation problem".
Requiere utilizar algoritmos previamente conocidos, lo que Butts (1980) denomina
"application problem".

¿Qué entienden por problema de matemáticas los EMP?

Escribid las acciones que el alumno tendría que hacer para
resolver los problemas que habéis propuesto
Resumimos las acciones descritas
Resolver los problemas de
matemáticas consiste en realizar
las acciones de ...
Leer, operar, recordar, memorizar,
operar ...

Problema vs Ejercicio

Características de los ejercicios

Se ve claramente qué hay que hacer.
La finalidad es la aplicación mecánica de algoritmos.
Se resuelven en un tiempo relativamente corto.
No se establecen lazos especiales entre el ejercicio y la
persona que lo resuelve.
Generalmente tienen una solución.
Son habituales en los libros de texto.

Características de los problemas

Suponen un reto.
La finalidad es ahondar en los conocimientos y experiencias
que se poseen, rescatando aquellos que son útiles para llegar
a la solución esperada.
Requieren más tiempo para su resolución.
La persona que se implica en la resolución lo hace
emocionalmente. El bloqueo inicial, debido a que la
situación le desconcierta, dará paso a la voluntariedad y
perseverancia por encontrar la solución y, por último, al
grado de satisfacción una vez que esta se ha conseguido.
Pueden tener una o más soluciones y las vías para llegar a
ellas pueden ser variadas.
Suelen ser escasos en los libros de texto.

Problema vs Ejercicio: Pensamiento

Pensamiento productivo

• Organización creativa del problema.
• Produce estrategias nuevas y diversas.

Pensamiento reproductivo

• Reproducción de los métodos y
  comportamientos conocidos.
• Relacionado con los ejercicios para
  practicar una rutina.

Ejemplo de pensamiento productivo: Gedankenexperiment

Estimulan la Imaginación

Los experimentos mentales requieren que las personas imaginen situaciones hipotéticas y piensen
en sus consecuencias.

Exploran Conceptos Complejos

Al simplificar y aislar variables, pueden centrarse en los aspectos esenciales de una teoría o idea.

Desafían Suposiciones

Al imaginar escenarios extremos o inusuales, se pueden identificar posibles fallos o limitaciones en
las teorías existentes.

Ejemplos

• El Gato de Schrödinger.
• La Torre de Pisa de Galileo.
• El Ascensor de Einstein.

¿Cómo es un buen problema?

• Representa un desafío para quien lo intenta resolver.
• No deja bloqueado de entrada a quien lo ha de resolver.
• Proporciona al resolverlo un determinado placer difícil de explicar, pero agradable.
• Estimula en quien lo resuelve el deseo de proponerlo a otras personas.
• Tiene interés por sí mismo.

Esquema de los problemas planteados habitualmente en los libros de texto

Los textos

Describen una situación concreta
"Juan tiene 10 euros y compra tres lápices de 1,30 euros cada uno, ¿cuánto
dinero le sobrará?"
y contienen, explícita o implícitamente, un proceso y
contexto matemático que resuelve la situación
y que nos lleva a la solución del problema

Esquema de los problemas planteados habitualmente en los libros de texto

· Un texto escrito que describe una
situación concreta,
que
contiene la
información
necesaria para resolver el problema,
· y,
explícita
o
implícitamente,
sugiere un proceso y contexto
matemático
que
resuelve
la
situación.

Actividades

1. Clasifica estos triángulos según sus lados. Si cada cuadrado mide
   1 dm de lado, ¿cuánto mide la superficie de cada triángulo?
2. Calcula el área de estos triángulos.
   4 cm
   5 cm
   4 cm
   6 cm
   3 cm
   7 cm
3. El perímetro de un triángulo equilátero mide 135 cm. Si su altu-
   ra mide 39 cm, ¿cuál es su área?

Esquema de los problemas planteados habitualmente en los libros de texto

Acción

los
los
de
para
alumnos
problemas planteados
Leer e interpretar el enunciado
Recordar/elegir el algoritmo o
fórmula
Sustituir los datos del problema
adecuada
Resolver el algoritmo o fórmula
Y rodear con colores el resultado
Calcular el
4 cm
área
6 cm
Area de un triángulo:
base x altura
2
En nuestro triángulo:
Área=(6x4)/2=12 cm2

Esquema de los problemas planteados habitualmente en los libros de texto

'Andrés tiene un listón de madera de 3,22 m y lo corta en trozos de 0,23 m.
¿Cuántos trozos obtiene del listón?"
· ¿ Qué hacemos para resolver el problema?
· ¿ Qué modelo utilizamos en la resolución del problema?
Comprendemos la situación e identificamos la operación que lo resuelve.
Esto
nos
lleva a
un
aprendizaje
matemático de tipo
memorístico
y
repetitivo, a partir del problema tipo.

Esquema de los problemas planteados habitualmente en los libros de texto

"Hallar el área de un rectángulo de base 3 m y altura 2 m."
· ¿ Qué hacemos para resolver el problema?
· ¿ Qué modelo utilizamos en la resolución del problema?
Reproducción de un modelo basado en aplicar una fórmula
(A = bx h), aprendida de memoria.
Esto
nos
lleva a un aprendizaje
matemático de tipo
memorístico
y
repetitivo, a partir del problema tipo.

Esquema de los problemas planteados habitualmente en los libros de texto

¿Cuál es el objetivo con el que proponemos los problemas de matemáticas a nuestros alumnos?

I
I
Practicar un algoritmo/ procedimiento/ fórmula concreta.
I
L
El correspondiente a la lección del
libro donde está situado el problema.
I
Lo que tienen que hacer es atender, recordar y aplicar esas reglas, fórmulas y
procedimientos.
I
L
Aprender por recuerdo y repetición de los problemas tipos.

¿Hay otros tipos de problemas?

C1
1504
-3
2 --- 2
1-3 =,6
= 3-
2
502= 1
01
3 36=3 [X :
2-3 4 =46
4
4
2
n
24
5 1-
2
=25
IS
5-
6
2
Cx6=1
4-9-3
3
5
5
7=11
X
4
5
14
3
2
5
2
2156
.
-5 0510 0
3
6 2 3 35
5
S
24=13
9
111
31
2-5
-1
+=5 0-603 2
1-2-3 7 3-
514
ANCU
5 - 1
0
5
U
5
5
52-14 -=--
4-
5
-
I-
3
-1
5
1

• Utilizando los números del 1 al 5 debes conseguir el número 5.
• Puedes utilizar cualquier operación aritmética.
• Los números 1,2,3,4 y 5 no pueden cambiarse de lugar.
• Puedes unir dos o más dígitos para formar un número.
• Calcular los números del 1 al 20 utilizando cuatro cuatros.

5
130
T
T
2
5 5
1-5
15
1
5-3 3
-
5
5-1-1
?

• Jaime y Paula quieren averiguar si una lámina del taller de
  matemáticas es realmente cuadrada.
• Jaime mide los lados, ve que son iguales y, consecuentemente,
  asegura que es cuadrada.
• Paula mide las diagonales y, como obtiene la misma medida en
  ambas, concluye que la lámina es cuadrada.
• ¿ Tienen razón los dos? ¿ Sólo la tiene Jaime? ¿ Sólo la tiene Paula?
  ¿No tiene razón ninguno? ¿ Qué forma tiene la lámina?

Tipos de problemas

• Problemas aritméticos
• De primer nivel
• De suma / resta: cambio, combinación, comparación, igualación
• De multiplicación / división: razón, comparación, fórmula, producto cartesiano
• De segundo nivel
• De tercer nivel
• Problemas geométricos y espaciales
• Problemas de razonamiento
• Problemas de recuento sistemático
  ...

Tipos de problemas aritméticos

En su enunciado, presentan datos en forma de
cantidades y establecen entre ellos relaciones
de tipo cuantitativo, cuyas preguntas hacen
referencia a la determinación de una o varias
cantidades o a sus relaciones, y que necesitan la
realización de operaciones aritméticas para su
resolución.

Tipos de problemas aritméticos: Primer nivel

Problemas de primer nivel

• Características:
  Son
  los
  más
  sencillos
  y
  generalmente
  requieren
  una sola operación
  aritmética (suma, resta, multiplicación o división).
• Ejemplo: "Si tienes 3 manzanas y compras 2 más,
  ¿cuántas manzanas tienes en total?"

Tipos de problemas aritméticos: Segundo nivel

Problemas de segundo nivel o combinados

• Características: Involucran dos o más operaciones aritméticas.

Problemas combinados fraccionados

• Características: Aparecen varias preguntas encadenadas
• Ejemplo: "Una señora lleva en la cartera 300 €. Entra a una tienda de ropa y compra 3
  pantalones que le cuestan 72 € cada uno y 2 camisetas a 15 € la unidad. ¿ Cuánto
  dinero valen los tres pantalones ?¿ Cuánto paga por las camisetas? ¿ Cuánto dinero
  gasta la señora en la tienda? ¿ Cuánto dinero le quedará en la cartera al salir?"

Problemas combinados compactos

• Características: En ellos aparece solamente una pregunta al final del enunciado.
• Ejemplo: "El coche de mi padre consume 6 litros de gasolina cada 100 km. Cuando
  salió de casa antes de iniciar un viaje, el depósito estaba lleno y caben 57 1. Después
  de andar 750 km, ¿qué distancia podría recorrer todavía sin volver a repostar
  combustible?"

Tipos de problemas aritméticos: Tercer nivel

Problemas de tercer nivel

• Características: Son más complejos y pueden incluir
  fracciones, porcentajes o datos más complicados.
  Requieren una comprensión más profunda de las
  operaciones y su aplicación.
• Ejemplo: "Si tienes 3/4 de una pizza y comes 1/2 de lo
  que tienes, ¿cuánto te queda? Luego, si compartes lo que
  te queda con dos amigos, ¿cuánto le das a cada uno?"