Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden: Métodos Analíticos y Numéricos

CONTENIDOS DEL TEMA

• Introducción
• Conceptos generales
• EDOs de primer orden
• Métodos elementales de resolución de EDOs
  • Ecuaciones de variables separables
  • Ecuaciones homogéneas
  • Ecuaciones exactas
  • Ecuaciones lineales
• Modelado de procesos físicos y aplicaciones
• Resolución numérica
  • Método de Euler básico
  • Método de Euler mejorado
  • Métodos de Euler
  • Método de Runge-Kutta
• Otros métodos aproximados

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Introducción

MOTIVACIÓN

Existen infinidad de problemas en Ciencia e Ingeniería que pueden ser expresados (modelizados) en términos de ecuaciones diferenciales.

En ocasiones las ecuaciones diferenciales que debemos resolver son relativamente simples y podremos encontrar soluciones exactas al problema con más o menos dificultad recurriendo a métodos analíticos.

En otras ocasiones, deberemos recurrir a esquemas numéricos para determinar soluciones aproximadas.

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Introducción

ALGUNAS APLICACIONES

• La tasa de crecimiento de una población en función del tiempo: dy dt = ay
• Velocidad de enfriamiento de una sustancia: dT dt = - &(T -To)

Tasa de variación de volumen de agua en un depósito cilíndrico a una dV velocidad v: dt =- Tr20

• Conservación del momento lineal en la atmósfera: dv =- &Vp-Vo+F-22xv dt
• Conservación de la masa en la atmósfera: ap at = - V . (pv)

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Conceptos generales

Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que contienen las derivadas de una o más variables dependientes respecto de una o más variables independientes.

• En las ecuaciones diferenciales, las incógnitas son funciones.
• El orden n de una ecuación diferencial es el mayor orden de derivación que aparece en la ecuación.
• Tipos de ecuaciones diferenciales:
• Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs): relacionan la variable independiente (por ejemplo, x) con alguna derivada de la función incógnita (y(x), y'(x), ... , y(n(x)): F(x, y(x), y'(x), ... , y(n(x)) = 0
• Ecuaciones en derivadas parciales (EDPs): tienen más de una variable independiente.

Ejemplos: dy + 5y = e", buscamos y = y(x), EDO, orden 1 dx d2 x dt2 dx + 6x = 0, buscamos x = x(t), EDO, orden 2 82 u 02 u 0x2 dy2 + = 0, buscamos u = u(x, y), EDP, orden 2

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Conceptos generales

SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Es una función y = y(x), definida en un intervalo I = (a, b) que tiene al menos n derivadas continuas en I y que satisface la EDO en I. F(x, y(x), y'(x), ... , y(~(x)) =0

SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Es una familia de funciones dependientes de n parámetros (constantes), de la cual pueda extraerse la EDO por derivación y eliminación de los parámetros.

SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Es cada una de las funciones que se obtiene de la solución general al dar valores a los parámetros.

SOLUCIÓN SINGULAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Es una solución que no puede extraerse de la solución general pero sí satisface la EDO en I.

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Conceptos generales

EJEMPLO

Sea la ecuación diferencial: y' = 2 Se obtiene la solución general integrando: dy y' = 2 => = 2 => dy = 2dx => dx [ dy = [ 2dx La solución general es: y = 2x + C que es una familia uniparamétricas de rectas de pendiente 2. Las soluciones particulares se hallan dando valores a la constante C. Se puede hallar la constante asociada a la recta que pasa por un punto P. y(x)=2x + C 20 15 10 5 y=2x+(10) V=2X+(8) 0 Y=2X+(6) y=2x+(4) -5 V=2X+ (2) Y=2x+(0) V=2X+ (-2) -10 Y=2x+(-4) V=2X+(-6) -15 V=2x+(-8) y=2x+(-10) -20 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

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Conceptos generales

CONDICIONES INICIALES PARA LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Es un conjunto de n datos que acompañan a la ecuación, formado por los valores que toma la función incógnita y sus derivadas en x = x0: у (хо) = yo, y’(хо) = y1, y”(xo) = y2, ... , y(n-1 (xo) = yn-1

PROBLEMA DE VALOR INICIAL DE ORDEN n Es una ecuación diferencial de orden n acompañada de n condiciones iniciales: F(x, y(x), y'(x), ... , y(n(x)) =0 y(x0) = yo, y'(x0) = y1, y"(x0) = y2, ... , y(n-1(xo) = yn-1 J

ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL Es toda ecuación lineal en las variables y, y', y(^ tomando la forma: an(x)y(n(x)+ ... +@1(x)y'(x) +ao(x)y(x) = b(x) En una ecuación diferencial lineal la variable dependiente y sus derivadas sólo aparecen elevadas a grado uno y además, cada coeficiente sólo depende de la variable independiente.

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EDOs de primer orden

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

• Forma implícita: F (x, y, y') = 0 Ejemplo: (y')2 - 2y' + 4y - x = 0
• Si la y' se puede despejar en la ecuación implícita, se obtiene la forma explícita: y' = f(x, y) Ejemplo: y' =; 1-x y+2
• Forma diferencial, teniendo en cuenta que y' = da M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 Ejemplo: (x2-y)dx + (y2 - x)dy = 0

La solución general de una EDO de primer orden es una familia uniparamétrica de funciones: y = +(x, C), donde C es un parámetro real. Para cada valor de C se obtendrá una solución particular.

Un problema de valor inicial de primer orden se escribe de la forma: - F(x, y, y') = 0 { y' = f(x,y) y(x0) = y0 y (co) = yo y se resuelve (se integra) encontrando la función y = +(x, C) que verifica y(x0) = y0

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EDOs de primer orden

SOLUCIÓN DE UNA EDO DE PRIMER ORDEN

Geometricamente, la familia solución general es el conjunto de curvas en las que se cumple que la pendiente en un punto es el valor de la función f en ese punto. De esas curvas, la que pasa por (x0, y0) es la solución del problema de valor inicial.

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD Dada la ecuación y' = f (x, y) con f definida en D = [a, b] > [c, d], a < xo

CAMBIO DE VARIABLE En las EDOs de primer orden es frecuente utilizar un cambio de variable para reducir la dificultad de la ecuación.

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EDOs de primer orden

EJERCICIO PROPUESTO 3

Representación de las familias de curvas uniparamétricas (azul) y aquella que pasa por el punto P(1, 2) (rojo).

y1(x)=C - 3cos 2x 4 2 Y=3-3*cas2x Y=1-3* 052x N Y =- 1-3cos2x -47 y =- 3-3/cos2x -6 N 0 2 4 6

y2(x)=log(c2+e}) 4 F 3 y=log(3-+exp(x)) y=fog(22+exp(x) 1 y=log(12+exp(x)) 0 -1 -2 -3 y=log(0-+exp(x)) -4 -5 0 5

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EDOs de primer orden

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS SOLUCIONES

CRECIMIENTO Y CONCAVIDAD

• Soluciones crecientes: y' > 0
• Soluciones decrecientes: y' < 0
• Soluciones cóncavas hacia arriba: y" > 0
• Soluciones cóncavas hacia abajo: y" < 0

TRAYECTORIAS ISÓGONAS Son las familias de curvas que se cortan bajo un ángulo dado. Si todos los cortes entre curvas de dos familias se producen bajo un ángulo ¢, quiere decir que las rectas tangentes en los puntos de corte forman ése ángulo ¢.

-1 Si ø = - , puesto que tg (a+ %) = TT -, la 2 tg a derivada de una familia es inversa y opuesta a la de la otra. 10 8 6 4 2 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 290

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Métodos elementales de resolución de EDOs

Ecuaciones de variables separables

ECUACIONES DE VARIABLES SEPARADAS Una EDO de primer orden es de variables separables o separadas si se puede escribir de la forma: f1(x)91(y)dx = f2(x)92(y)dy

Las funciones que satisfacen esta ecuación deben cumplir alguna de las siguientes ecuaciones: f1(x) f2(x) dx = 92(y) 91(y) dy f2(x) =0 91(y) = 0

RESOLUCIÓN La solución general se obtiene por integración de la primera de las ecuaciones anteriores: f1(x) 1 f2(x) dx = 1 92(y) 91(y) dy y deberá analizarse si f2(x) y g1(y) = 0 proporcionan soluciones singulares.

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Métodos elementales de resolución de EDOs

Ecuaciones homogéneas

ECUACIONES HOMOGÉNEAS Una función f (x, y) es homogénea de grado n en sus argumentos si cumple: f(tx, ty) = t"f(x, y)

Ejemplo 1: f(x, y) = x2y-3xy2 + 5y3 f(tx, ty) =(tx)2ty -3tx(ty)2 + 5(ty)3 = = t3x2y - 3t3xy2 + 5t3y3 = t3(x2y -3xy2 + 5y3) = t3f(x, y) f(x,y) es homogénea de grado 3

Ejemplo 2: x2y - 3xy2 + 5y3 f(x, y) = x3 - yx2 t3(x2y - 3xy2 + 5y3) t3(x2y - 3xy2 + 5y3) f (tx, ty) = t3x3 - tyt2x2 = t3 (x3 - yx2) = = tºf (x, y) = f(x, y) f(x,y) es homogénea de grado 0

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Métodos elementales de resolución de EDOs

Ecuaciones homogéneas

ECUACIONES HOMOGÉNEAS Un ecuación expresada de la forma y' = f(x, y) es homogénea si f (x, y) es una función homogénea de grado cero en sus argumentos.

RESOLUCIÓN Las EDOs homogéneas se resuelven reduciéndolas a ecuaciones de variables separables mediante el cambio de variable: y z = - x

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Métodos elementales de resolución de EDOs

Ecuaciones exactas

ECUACIONES EXACTAS La EDO: M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 es una ecuación exacta si existe una función u(x, y) tal que: du(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y)dy

Por lo tanto: M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 => du(x, y) = 0 con lo cual la solución general de la ecuación será la familia uniparamétrica u(x, y) = C

CRITERIO DE ECUACIÓN EXACTA (O TEST DE EXACTITUD) Supongamos M (x, y) y N (x, y) funciones con derivadas parciales continuas. La ecuación M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es exacta si y solo si: ЭМ (x, y) dy = ON(x, y) Ésta es la condición que verifica un campo vectorial conservativo. Buscar la solución de la EDO equivale a determinar la función potencial u(x, y).

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Métodos elementales de resolución de EDOs

Ecuaciones exactas (CONT.)

RESOLUCIÓN Si la EDO es exacta, existe una función u(x, y) tal que du = du dx + dy du(x, y) u' (x, y) = du(x, y) M (x, y) u' (x, y) = dy = = N(x, y) }

du dy La solución general es u(x, y) = C puesto que du = 0

1. Integrar M (x, y) respecto de x: u' (x, y) = M (x, y) => u(x, y) = [M(x, y)dx + C(y)
2. Derivar u(x, y) respecto de y e igualar a N (x, y) para despejar C'(y): u'(x, y) = N(x, y)=> C'(y) =...
3. Integrar C' (y) respecto de y.

Este proceso es equivalente si comenzamos integrando N respecto de y para luego derivar el resultado respecto de x.

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