Ecuaciones de la recta y posiciones relativas de rectas y planos en el espacio

Temario

Matemáticas y Física

ARES Formació

Ecuaciones de la recta

Ecuaciones de la recta. Pendiente de una recta y puntos de corte de una gráfica lineal. Cálculo de distancias entre dos puntos, punto y recta y dos rectas.

Rectas en el plano

Ecuación vectorial de la recta

Todos los vectores con origen en un punto A de una recta y extremo en cualquier punto P de la recta, tienen la misma dirección que el vector director ₹ . OP=OÀ+17 siendo À, de modo que para cada valor que se le asigne se obtendrá un punto de la recta. La ecuación anterior es la ecuación vectorial de la recta en el espacio. Por ejemplo, la ecuación de la recta que pasa por el punto A(4,3) y que tiene la dirección del vector ? = (-2,6) es: (x, y) = (4,-3) +X(-2,6) La representación gráfica de esta recta es:

N -1 1 2 5 7 15 A = (4, -3) 5

Ecuaciones paramétricas de la recta

A partir de la ecuación vectorial de la recta podemos obtener las ecuaciones paramétricas de ella. Si (at, a2) son las coordenadas de un punto conocido de dicha recta, y (v4, v2) son las coordenadas de un vector director de dicha recta, entonces la ecuación vectorial es: (x,y) =(a1,a2) + X(v1,22)Pues bien, las ecuaciones paramétricas serían: x= @1 + Av1 y= a2 + Xv2 } En el ejemplo de la recta anterior sería: x = 4-21 1 y =- 3+ 6) }

Ecuación continua de la recta

Despejando À de las ecuaciones anteriores e igualando dichas expresiones, obtenemos la ecuación continua de la recta: x - a1 V1 U2 = En donde, recordemos que (at, a2) son las coordenadas de un punto conocido de dicha recta, y (vt, v2) son las coordenadas de un vector director de dicha recta En nuestro ejemplo: x-4 _y-(-3) 4- x -2 6 2 -2 y +3 6

Ecuación general de la recta

A partir de la ecuación continua de la recta y reordenando términos: (x-a1)v2= (y-a2)v1 -> V2x- V2a1 = V1y - V1a2 -> V2x - V2a1 - V1y + V182 = 0 U2x- V2@1 - V1y + V1a2 = 0 Haciendo el cambio: A = v2 B = - V1 C = 11a2 - V2a1 obtenemos la ecuación general de la recta: Ax + By +C=0 En el ejemplo que estamos considerando, y haciendo las transformaciones descritas, llegamos a la ecuación 3x + y - 9 = 0

Ecuación explícita de la recta

A partir de la ecuación general despejamos la ordenada, y, de modo que obtenemos: A y = Ax - C B El término - A, es la pendiente, m, de la recta y está relacionada con las componentes del vector director ya que: m =- = - 22 = "2 El término - § es la intersección de la recta con el eje de ordenadas, representándose usualmente por la letra b, y conociéndose como ordenada en el origen En el ejemplo que estamos considerando la ecución explícita es y =- 3x + 9, siendo la pendiente m = - 3 y la ordenada en el origen b = 9

Ecuación punto-pendiente de la recta

La relación anterior, entre la pendiente de una recta y las componentes de su vector director, puede utilizarse también en la ecuación de la recta en forma continua: x - a1 V1 = y- a2 U2 y - a2 = - (x -a1) De donde: − = )y - a2 = m(x -a1) Esta es la expresión de la ecuación punto pendiente de la recta. Es muy útil cuando se precisa calcular rectas tangentes a curvas. En el ejemplo que estamos considerando, la ecución punto pendiente es: y - (-3) = (-3)(x-4) >y + 3 = (-3)(x- 4)

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Si conocemos dos puntos de la recta A(x1, x2) y B(31, 32), la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos se obtiene a partir de: x- x1 x2- X1 = y-y1 y2 - 91 En resumen:

Ecuaciones de la recta en el plano: Formas

Simulación: En el siguiente enlace se puede variar las coordenadas del punto y del vector director para obtener las correspondientes ecuaciones de la recta: Ecuaciones de la recta. Con el cursor se puede desplazar un punto X sobre la recta, y también se pueden introducir las coordenadas de los puntos

Ángulo que forman dos rectas

El ángulo que forman dos rectas r y s es el menor de los dos ángulos que determinan. cos a = cosr, s = u ⋅ v Si dos rectas secantes tienen como vectores directores u y 7 , el ángulo vendrá dado por el producto escalar de ambos vectores. Si las ecuaciones de la recta están en forma general: Ax + By + C =0 Ax + By + C =0 los vectores directores son: a = (-B,A) ₹ = (-B, A) De modo que: 급 히 cos a = cosr, s = 히 이 히 = V(-B)2 + A2 . 1(-B)2 + A2 BB + AA Veamos un ejemplo. Dadas las rectas: : 3 5 −r : 3x-5y +6 = 0 s : 2x+4y -3= 0 Tenemos que: cos a = cosr, S = ⋅ u v = |5(-4) +3.2| 152 + 32 . 1(-4)2 + 22 = 0.54 De modo que el ángulo que forman ambas rectas es & = 57.53°

1.5 1.4 1.3 s: 2x + 4y - 3 = 0 12 1.1 1 a = 57.53º 0.9 0.8 0.7 0.6 r: 3x - 5y + 6 = 0 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 11 12 01 C 01 00 C Dos rectas r y s son paralelas si sus pendientes son iguales o, lo que es lo mismos sus vectores directores son proporcionales. mr = ms v = ku B = r Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores también lo son, es decir que su producto escalar sea nulo: T. v = 0 (u1, U2) . (v1, 22) = (-B, A) . (-B, A) = 0 U1V1+ U2V2 = 0 AA+ BB = 0 La relación que hay entra las pendientes de dos rectas perpendiculares es: U1V1 + U2V2 = 0-> U1V1 =- U202 -> U2 u1 = U2 01 − Es decir: mr = ms 1

Vector perpendicular a una recta

Una recta r de ecuación general Ax + By + C =0 V2x+(-v1)y +C =0 _07tiene como pendiente: m A B = − U2 V2 = V1 Otra recta s perpendicular a la anterior tendrá como pendiente: ms 1 mr 01 1 U2 − = V1 = = A Así pues dada la recta Ax + By + C = 0 un vector perpendicular a ella es el que tiene como componentes los coeficientes A y B. Y un vector unitario perpendicular a dicha recta es. A ( VA2 + B22 VA2 + B2 B ) Por ejemplo, dada la recta r : 3x + 5y - 4 = 0, un vector director de esta recta es el vector (-5,3), pero un vector perpendicular a esta recta es el (3,5), cuyo módulo es: 32 + 52 = 34 Y, en consecuencia, un vetor unitario perpendicular a la recta dada es: 3 134 134 , 5

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos A(a+,a2) y B(b1,b2) es el módulo del vector AB: d=|AB|=V(b1-@1)2+(b2-@2)2 Por ejemplo la distancia entre los puntos A(5,7) y B(-2,3) es: d = |AB|= 1((-2) - 5)2 + (3-7)2 = 165 u

Distancia entre un punto y una recta

Dados un punto A(a1, @2) y una recta r : Ax + By + C = 0, es la longitud más corta que une dicho punto con la recta. Se determina de la siguiente manera: Consideremos un vector unitario perpendicular a la recta r, i = A B ( VA2 + B2 VA2 + B2 ) Un vector P Á une un punto P(x,y) y el punto A(at,a2), es decir: PÅ = (a1 - x, a2 - y) Y como el producto escalar de un vector cualquiera por un vetor unitario es la poryección de éste sobre la dirección del vector unitario, se puede poner: d(A, r) = PÅ · T = (a1 - x) . A VA2 + B2 + (2 - 3) . B VA2 + B2 = VA2 + B2 Aa1 + Ba2 - Ax - By Por otro lado se sabe que - Ax - By = C, con lo que podemos simplificar: d(A, r) = PÅ. |= |Aa1 + Ba2 + C VA2 + B2 Por ejemplo, la distancia entre la recta r : 3x + y - 15 = 0 y el punto A(1,2) se determinaría: d(A,r) = VA2 + B2 Aa1 + Ba2 + C = 3. 1+1 . 2+ (-15) V32 + 12 = 10 u -U1 U2 V1 B = − 0245 r: 3x + y - 15 = 0 -4 3.5 3 T 2.5 A = (1, 2)_ _ _ - -- -2 1.5 -1 0.5 0.5 1 15 2 3 3.5 4 4.5 5.5

Distancia entre dos rectas

La distancia entre dos rectas paralelas es la distancia entre un punto cualquiera de una de las rectas y la otra recta. Es la longitud del segmento perpendicular a las dos rectas que las une. Si las dos rectas no son paralelas no tiene sentido calcular, en el plano, la distancia que las separa, ya que vale 0 esa distancia al ser secantes las rectas. El cálculo de la distancia entre dos rectas parales se reduce pues al cálculo de la distancia entre un punto de una de las rectas y la otra recta. Por ejemplo, vamos a determinar la distancia entre las rectas r: - x+3y+5=0 y S : x = 2-6X 2 \y=1-2) Primero hay que comprobar si las rectas son paralelas. El vector director de la recta r es (-3, -1) y el de la recta s es (6,2). Como ambos vectores son proporcionales, podemos concluir que ambas rectas son paralelas. Otra manera de comprobarlo es obtener la ecuación general de la rectas y comparar su coeficientes con los de la otra recta. S : x = 2-6X y =1-21 > -x + 3y - 2 = 0 B- B + 3 = 3 Bien. Ahora buscamos un punto de una de las rectas, por ejemplo de la recta s escogemos el punto (1,1), y hallamos la distancia de este punto a la recta r. d(A,r) = Aa1 + Ba2 + C VA2 + B2 = (-1). 1+3.1+5 V(-1)2 + 32 = 7 10 u

Rectas en el espacio

Una recta en el espacio queda determinada por un punto A de la propia recta y por una dirección definida por un vector no nulo, 7 , denominado vector director de la recta. r(A, ¿) es la determinación lineal de la recta. Esta determinación lineal de la recta no es única ya que se puede tomar uno cualquiera de sus puntos y cualquiera de los infinitos vectores directores (todos paralelos entre sí, y con la misma dirección de la recta).Se puede determinar una recta en el espacio conociendo dos de sus puntos, A y B ya que se puede determinar el vector director que va de A hasta B , es decir el vector AB. La determinación lineal de la recta será, entonces: r(A, AB)

Ecuación vectorial de la recta en el espacio

Sea A(at, a2, a3) un punto de la recta r y sea » un vector director de dicha recta. Para un punto cualquiera P(x,y,z) se puede escribir: OP = OÀ + AP Y dado que el vector AP tiene la misma dirección que el vector », se puede escribir: La ecuación vectorial de la recta es pues: (x,y,z) =(a1,a2,a3) +X(v1,02,03) OF -I-

Ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio

A partir de la ecuación vectorial de la recta obtenemos sus ecuaciones paramétricas. x= a1+ Xv1 y= a2+ Av2 z = @3 + X03 Si en vez de las coordenadas de un vector conocemos las de dos puntos de la recta, las ecuaciones paramétricas se pueden poner de la siguiente manera: x=a1+ X(a1 - b1) y=a2+ X(a2-b2) z= a3 + X(a3 - b3) donde b1, b2, b3 son las coordenadas del punto B Veamos un ejemplo. Vamos a determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(0,3,2) y B(-1,0,5). La ecuación vectorial es: (x,y,z)=(0,3,2)+X((-1-0),(0-3),(5-2)) = (x, y, z) =(0,3,2)+(-1,-3,3) De modo que las ecuaciones paramétricas son: x= 0+X(-1) x = - 1 y=3+X(-3) -> y=3-31 z =2+X(3) z=2+3X

Ecuaciones en forma continua de la recta en el espacio