Econometría para la Empresa: contrastes, intervalos y análisis de varianza

Contrastes e intervalos. Análisis de la varianza. Predicción

Contrastes de significatividad e intervalos de confianza de los Bi

Distribución t de los estimadores tipificados

Las distribuciones t que obtendremos a continuación serán distribuciones exactas, y las correspondientes pruebas de inferencia la calificaremos como pruebas exactas si se cumplen los siguientes supuestos:

Para datos transversales o de sección cruzada:

• Variables independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d),
• Linealidad,
• No multicolinealidad perfecta,
• Exogeneidad, y
• Homocedasticidad y Normalidad de las perturbaciones.

Para datos temporales:

• Linealidad,
• No multicolinealidad perfecta,
• Exogeneidad,
• Inexistencia de valores atípicos,
• Homocedasticidad, no autocorrelación y Normalidad e independencia de las perturbaciones (entre ellas y respecto a las variables explicativas).

Si no podemos suponer homocedasticidad y Normalidad de las si, se emplea el estimador del error estándar robusto ante heterocedasticidad y una regla de decisión basada en una aproximación a la distribución Normal (0, 1).

Los elementos básicos para obtener consistencia y Normalidad asintótica son las leyes de los grandes números y los teoremas centrales del límite, que son de aplicación inmediata cuando se trata de estimar promedios.

La inferencia estadística en grandes muestras se basa en contrastes cuyos estadísticos experimentales tienen funciones de distribución conocidas bajo el supuesto de certeza de la hipótesis nula y en estimadores consistentes, especialmente, de la matriz de varianzas y covarianzas.

Cuando indicamos que las distribuciones de probabilidad para grandes muestras son asintóticas queremos señalar que son aproximaciones de las distribuciones exactas.

De ahí, que hablemos de pruebas exactas y pruebas asintóticas según estén basadas en distribuciones exactas o asintóticas de las estimadores MCO.

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Distribución del estimador de B2 tipificado

Puesto que el estimador de ß sigue una distribución Normal,

Z= ₿2-B2 se(B2) B2-B2 VEx? 6 ~ N (0,1)

dado que:

se (B2 ) =- VEx2

Transformación del estimador de B2 tipificado

Como o2 es desconocida, hemos de sustituirla por su estimador. La distribución del nuevo estadístico se obtiene procediendo del modo siguiente:

K=nº parámetros a estimar En el modelo univariante k=2 t = B 2 - B2 νσ2 / Σχ2 n-k)ô2/o2 n-k N(0,1) B2 -B2 \Ex? ˆ B 2 - B2 sê(§2) t (n-k) 2 x(n-k) n-k

Este estadístico será empleado como cantidad pivotal para la construcción de intervalos de confianza y como estadístico experimental o de prueba en los contrastes de hipótesis.

Contraste de hipótesis

Hipótesis nula Ho: B2 = Bo Hipótesis alternativa H1: B2 # Bo

Para un nivel de significación del a% y bajo el supuesto de certeza de la hipótesis nula:

Pr -t(n-k),(1-a/2) 5 B2 - Bo sê(B2) St(n-k),(1-a/2) =1-a

como en Gretl las tablas de los percentiles nos dan la distribución de la cola derecha, sería a/2 en lugar de 1- a/2 (lo explicamos con el programa informático Gretl que es el que vamos a usar)

Pr -t(n-k),(a/2) ≤ B2 - BO sê(B2) st(n-k),(a/2) =1-a

Por ejemplo, para a= 0,05 tenemos:

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Pr -t L "(n-k),0'975 B2 - Bo 5 sê(B2) St(n-k),0'975 = 0'95-Pr -t(k).0'025 ₿2 - Bo sê(B2) 5 St(n-k),0'025 =0'95

En realidad, el programa Gretl nos da la probabilidad en la cola derecha, como hemos dicho, por lo que en lugar de buscar 1- a/2 = 0,975, buscaremos a/2= 0,025

Reordenando, obtenemos que:

Pr Bo-t(n-k),(a/2) A . se (B2 ) ≤ B2 ≤ B. +t(n-k),(a/2) ˆ ˆ A . se(B2 ) =1- a

Pr Bo -(n-k),025 . se(B2)< B2 - Bo+(n-k),025 . Se ( B2) A = 0'95

• El intervalo entre corchetes constituye la región de aceptación. Si el valor obtenido para el estadístico experimental "cae" dentro de dicho intervalo no se rechaza la hipótesis nula.
• La región fuera del intervalo se denomina región crítica. Si el valor obtenido para el estadístico experimental "cae" en dicha región, se rechaza la hipótesis nula.

Reglas de decisión para la "prueba T" de significación

Tipo de Hipótesis Hipótesis Nula (H0) Hipótesis Altern. (H1) Regla de decisión Rechazar H0 si:

2 colas B = Bo B # Bo R.C: | texp |> ta/2,(n-k)

Cola Dcha. B ≤ Bo B > Bo R.C: texp > ta, (n-k)

Cola Izq. B ≥ Bo B < BO R.C: texp< - ta, (n-k)

R.C: REGIÓN CRÍTICA DEL CONTRASTE

El número de grados de libertad es igual al número de observaciones (n) menos el número de parámetros (k) a estimar. En el modelo con una variable explicativa y término independiente se han de estimar dos parámetros (B1 y ß2), luego el número de grados de libertad es n-2.

Repaso de los contrates a través del VALOR DE PROBABILIDAD o 'p-valor' (este valor lo ofrece directamente el programa informático)

DEFINICIÓN: En la contrastación de hipótesis estadísticas, el valor de probabilidad o valor p, también denominado p-valor (en inglés p-value), se define como la probabilidad, suponiendo que la hipótesis nula es cierta, de obtener, con nuestros datos muestrales, un resultado igual o más extremo como el que realmente se ha obtenido para el valor del estadístico experimental.

En un contraste de hipótesis, se conoce como valor de probabilidad o p-valor al nivel de significación más bajo al cual rechazaríamos la hipótesis nula.

No olvide que el valor-p es una probabilidad (por lo que oscila entre 0 y 1) que está basada en la asunción de certeza de la hipótesis de partida (o hipótesis nula). P-valores grandes indican

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mucha credibilidad de la hipótesis nula y p-valores pequeños poca credibilidad de la hipótesis nula.

Valor P Contraste Unilateral Derecho Z= 0 ZR ó calculada

Valor P Contraste Unilateral Izquierdo Z= 0 ZR ó calculada

Valor P = Suma de las dos areas Contraste Bilateral ZR, - ZR calculadas

Indicar el p-valor de un contraste es más informativo, ya que permite intuir la fuerza del rechazo de H0: cuanto más próximo a cero esté el p-valor con mayor claridad estaremos rechazando la hipótesis nula.

Regla de decisión

p‹a Rechazar Ho, para un nivel de significación a

p≥a No rechazar Ho, para un nivel de significación a

En el modelo simple (univariante)

Contraste de no existencia de relación lineal entre X e Y

E [Y/X;] = B1 + B2 Xi

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La relación lineal entre X e Y viene determinada por ß2, por lo que el contraste a realizar sería:

• Hipótesis nula (Ho): B2 = 0 RC: | texp|> ta/2, (n-k)
• Hipótesis alternativa (H1): B2 # 0

El valor de ta/2 es el que buscamos en las tablas, y el experimental viene dado por:

₿2 - Bo ~ t(n-k) , que bajo el supuesto de certeza de Ho se transforma en texp sê(₿2) =t (n-k)

En nuestro problema 1, con n = 10 y un nivel de significación del 5% tenemos:

sê(B2)= ˆ x 2 Le; / (n-2) x 2 47 '32 / 8 576 -= 0'101

β2= 1'6597; Σχ2 =576; Σ+2 =1634; Σx,y; = 956 Σε2 = ΣΎ ;- β x,y,=1634-1'6597x956=47'32 i i

texp = ₿, sê(§2) 1'6597 0'101 =16'43

R.C:| texp=16'43| > to'025 (8) = 2'306 -> Rechazamos Ho

El valor obtenido para B2 es estadísticamente significativo.

Contraste del término independiente

Para el caso del estimador de ß1, tenemos que de forma equivalente:

ˆ 1 1 02 + V/ n 1 X x 2 ₿, - B 11 B1 -B1 =t(n-k) ˆ sê(§1) X 1 Vn Ex; -2 + Rosario Asian Chaves. ECONOMÍA APLICADA II. UNIVERSIDAD DE SEVILLA 51 ~ X(n-k) 2 i ~ N(0,1) (n-k)2 2 ˆ texp se(B2) ß,

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Con los datos del problema 1:

Ho : B=0 frente H1 : B+0 ;t= sê(B) 27'125 1'9795 =13'70

siendo : sê(ß,) = Σε2 + \n-2 n 1 X Σχ2 -2 8 47'32 10 1 + 182 576

Contraste bilateral: R.C: | texp | > ta/2 (8) / Para nuestro problema: texp = 13'70 > to'025 (8) = 2'306 Rechazamos la hipótesis nula, para un nivel de significación del 5%. Es decir, el valor obtenido para la estimación de B1 es estadísticamente significativo.

Modelo multivariante

Para la realización de contrastes y construcción de intervalos de confianza conocemos que:

₿~N,(B,o2(X'X)-1)=>₿ ;~ N(ß1,02a;) (n-k)ô2 e'e 2 t exp sê(₿) ₿- ß ~tak

Ahora sê (B) es la raíz cuadrada de la varianza estimada del B = 62(X'X)-1

Tenemos que:

Σε2 e'e Y'Y-B'X'Y n-k n-k n-k

Para el contraste cuya hipótesis nula es Ho: Bi = 0, el estadístico para el contraste, es decir la t experimental quedaría:

texp sê (B) tn-k y dado que o? = 62 . Qui se (B) =Vo2 . a¡ = ova¡

Con los datos de nuestro problema 2:

ô2 = è'e n-k 13'6 10-3 =1'9429 => =1'3939

Contraste de significatividad de Bi

Ho: Bi = 0 H1: Bi # 0 RC: | texp |> ta/2,(n-k) a = 0,05 y grados de libertad = 7 (n-k = 10-3); to,025(7)= 2,3645

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Para B1:

se (B) = vô2 . a = a =1'3939x 1'3634 =1'626 1'626 31'98 =19'668 texp 1

Como texp =19'668 > 1025 = 2'3645 => Rechazamos Ho

Para un nivel de significación de 5% (a=0'05), el valor estimado para B1 es estadísticamente significativo.

Para B2:

se (B2) = No2 a2 = 6 a2 =1'3939x \0'03 =(0'2414 texp ₿, sê (₿2) 0'2414 0'65 = 2'6926

Como texp = 2'6926 > 025 =2'3645 => Rechazamos Ho

Para un nivel de significación de 5% (a=0'05), el valor estimado para B2 es estadísticamente significativo.

Para B3:

se (B3) = No2 . a3 = + 3 =1'3939x 10'0366 0'2667 texp 3 sê (₿3) ˆ II 1'11 -= 4'162 0'2667

Como texp = 4'162 > 1025 =2'3645 => Rechazamos Ho

Para un nivel de significación de 5% (a=0'05), el valor estimado para B3 es estadísticamente significativo.

Si hubiera que contrastar la varianza de las perturbaciones, para el modelo simple o multivariante: CONTRASTE DE LA VARIANZA DE LAS PERTURBACIONES

El estadístico experimental o de prueba es:

Xê = Le ?- Xexp Σε (n-k)ô2 2 ~ X(n-k) 2

Ho: 02 = 002 frente a H1: 02 # 002

Pr ,2 X(n-k),a/2 5 (n-k)ô2 2 > X (n-k), (1- a /2) |=1- a 2 0

R.C : xp < X(n-k),a12 0 Xexp > X(m-k),(1-a/2)

La distribución x2 no es simétrica

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