Econometria per la Finanza: CAPM e Regressione Lineare Semplice

Econometria per la Finanza

Federico Carlini Lezione 6 LUISS Anno 2024/2025

Federico Carlini Econometria per la Finanza 1/8Un modello finanziario di Asset Pricing:

CAPM

• Il CAPM (Capital Asset Pricing Model) spiega attraverso un modello economico come all'equilibrio il rischio di un asset sia legato alla sua esposizione al mercato (detto anche fattore di mercato).
• Il rischio dell'asset i viene catturato dal 3 dell'asset i (3;).
• ¡¡ rappresenta l'esposizione del rendimento in eccesso dal tasso risk free (rf,t) dell'asset i (ri,t) sul rendimento in eccesso dal tasso risk free del fattore di mercato m (rm,t), dato da:

Bi = Cov(rit - rf,t, rm,t - rf,t) V(rm,t - rf,t) .

• Un asset viene classificato attraverso il valore del suo 3.
• Se B > 1 asset aggressivo, se 3 = 1 asset benchmark, se 0 < 3 < 1 asset conservativo, se 3 = 0 asset non correlato (con il mkt), se -1 < 3 < 0 asset con copertura imperfetta, se B = - 1 asset con copertura perfetta.

Federico Carlini Econometria per la Finanza 2/ 8

CAPM e Regressione Lineare Semplice (RLS)

• Studiamo il link che c'è tra il modello finanziario CAPM (detto modello strutturale) e il modello statistico di regressione lineare semplice (RLS).
• yt è la variabile dipendente, Xt è la variabile indipendente o regressore.
• Prendiamo in considerazione il seguente modello raccolto il campione (yt, Xt ) t=1 T yt = a + yX+ + Ut Ut ~ i.i.d. (0, ou), t = 1, . . . , T (1) con yt = ri,t - rf,t e Xt = rm,t - rf,t, Ut e l'errore con media zero e varianza oz.
• Il parametro & rappresenta il rendimento anomalo sopra o sotto l'esposizione dell'asset al rendimento di mercato.
• Si dimostra che y -> B (c'è una relazione stretta tra y e B).
• Ipotesi del modello: 1) Omoschedasticità: V (ut) = 02, Vt, 2) Incorrelazione seriale: Cov(ut, Us) = 0, Vt # s, 3) Incorrelazione tra regressore ed errore: Cov (Xt, Ut) = 0, Vt.

Federico Carlini Econometria per la Finanza 3/8

Stima: minimi quadrati ordinari

• Stimiamo (1) con il metodo dei minimi quadrati ordinari (OLS = Ordinary Least Squares).
• L'OLS minimizza la somma dei quadrati degli errori del modello rispetto ai parametri del modello 0 = (a, y, o2)', i.e. @ = argmin [ uz = arg min S(0), t=1 T S(0) = E(yt-a-yxt)2, t=1 T Ut = yt - a - yxt .
• In questo caso ponendo le derivate di S(0) rispetto ad a, y e o2 a zero, otteniamo gli stimatori OLS.
• Questo sistema di equazioni si può interpretare anche come condizioni su certi momenti (covarianze e valori attesi) del modello.

Federico Carlini Econometria per la Finanza 4/8

Stimatori OLS semplice

• Provate a fare i calcoli, ed otterete gli stimatori OLS:

>> _ (yt-y) (xt-x) 11 t=1 Et=1(xt-x)2 1 Lt=1 (yt - y) (Xt - x) = T Et=1(Xt-x)2 p Cov(y, x) V(x) = BO, â = y-^x, +2 = 1 T T t=1 E(yt-â-âxt)2 = - t=1 E T û2. t .

• ^ converge in probabilità al 3 del modello strutturale. La statistica e l'economia - " possiamo dire" - si parlano!
• I termini ût sono i residui della regressione.

Federico Carlini Econometria per la Finanza 5/8

Illustrazione grafica

y (In, yn) En -! 1 y2 1 €2- 1 Regression Line: y = Bo + B1x x1 x2 x3 Fig.1 - Esempio di regressione lineare semplice

Federico Carlini Econometria per la Finanza 6/ 8

Proprietà statistiche e Standard errors

• Gli stimatori OLS nella regressione semplice sono corretti (unbiased) (in campioni finiti), consistenti (consistent) ed asintoticamente normali (asymptotically normal).
• Possiamo quantificare quanto sono variabili (o quanto sono precise) le stime OLS calcolando gli standard errors.

2 u s.e.(2) = 1 T Et=1(Xt-x)2 ôZ Et-1 x? t=1 s.e.(â) = 1 T . Et=1 T (Xt - x ) 2

Federico Carlini Econometria per la Finanza 7 / 8

Test e Intervallo di confidenza nella RLS

• Test statistici su 0 = a, y con ipotesi nulla Ho : 0 = 0º e Ha : A + 00. Nuova ipotesi (più restrittiva): Ut ~ N (0, 02).
• Statistica test, o t-test, definito come:

to = (0-00) c.f. s.e.(0) ~ TT - 2 , A = x, Y.

dove tT-2 è una distribuzione t-student con T - 2 gradi di libertà e c.J. indica una distribuzione quando T è un numero finito.

• Operativamente: fissata la significatività del test §, calcoliamo CVE = 91_€ (TT-2), il quantile a livello 1 - 5 della distribuzione IT-2. 2 Non rigettiamo Ho se |to) ≤ CVE. Rigettiamo Ho altrimenti.
• L'intervallo con confidenza 1 - § per 0 è:

0-s.e.(+)q1_€(IT-2), 0 + s.e.(+) . q1_€(TT-2), 0 = a, y.

• In econometria, un parametro è detto significativo se si rigetta la nulla Ho : 0 = 0.

Federico Carlini Econometria per la Finanza 8/8