Tema 2: Les rendes financeres, Universitat de Lleida

Matemàtica de les Operacions Financeres

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

Departament de Matematica Facultat de Dret, Economia i Turisme Universitat de Lleida Curs 2023-2024

Rendes Financeres: Introducció i Classificació

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

Outline

1. Introducció: La suma financera
2. Rendes: Concepte i classificació
   • 2.1 Concepte
   • 2.2 Classificació
3. Valoració
   • 3.1 Valorar una renda financera
   • 3.2 Valor actual i valor final d'una renda model
   • 3.3 Valoració d'altres tipus de rendes
4. Actualització de rendes sota RFIC
   • 4.1 Rendes constants
   • 4.2 Rendes variables geometricament
   • 4.3 Rendes variables aritmeticament

Matemàtica de les Operacions Financeres

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

La Suma Financera

Suposem que disposem d'aquests capitals financers {(100.000, 1), (300.000, 2), (200.000, 4) } i tenim la possibilitat de lliurar-los a canvi d'un sol capital (620.000, 4). Què decidim? Ens cal aprendre a sumar capitals financers !!!

Per a sumar capitals financers:

1. 1er Escollim un diferiment T.
2. 2on Trobem els capitals equivalents en aquell diferiment.
3. 3er Sumem les quanties dels capitals equivalents. Aquesta suma disponible en el diferiment escollit és la suma financera.

Per a poder fer el 2on, ens cal coneixer el factor financer.

Matemàtica de les Operacions Financeres

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

La Suma Financera i el Factor Financer

Suposem que el factor financer al mercat es f (T, T') = 1'05T'-T .

Suma financera

La suma financera d'un conjunt de capitals {(C1, T1),(C2, T2), ... , (Cn, Tn)} és un únic capital finacer (C, T) que és equivalent a aquell conjunt de capitals. {(C1, T1), (C2, T2), ... , (Cn, Tn)} ~ (C, T)

Quina és la suma financera del conjunt de capitals {(1,1), (3,2), (2, 4) } ? El primer pas es escollir el diferiment. Generalment s'escull algun d'aquests diferiments (T):

• T = 0 El moment inicial o actual.
• T = T. El moment final.
• T = To El diferiment mig.

Matemàtica de les Operacions Financeres

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

La Suma Financera en T = 0

• Escollim el diferiment T = 0. Calculem la suma financera de {(1,1), (3,2), (2,4)} en T =0.

Valor actual: suma financera en T = 0

2 · f ( 4,0) 3 . f ( 2,0) ≤ 1 · f ( 1,0) ≤ 1 3 2 0 1 2 3 4 V0 = 1 · f (1, 0) + 3 · f (2, 0) + 2 · f (4, 0) = 1 .1'05-1 +3 .1'05-2+2.1'05-4=5'3188 El valor actual del conjunt de capitals és Vo = 5'3188 Per tant, {(1,1), (3,2), (2,4)} ~ (5'3188, 0).

Matemàtica de les Operacions Financeres

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

La Suma Financera en T = Tn

• Escollim el diferiment T = 4. Calculem la suma financera de {(1,1), (3,2), (2,4)} en T = 0.

Valor final: suma financera en T = 4

1.f (1,4) 3 . f ( 2,4) 2 . f (4,4) 1 3 2 0 1 2 3 4 Sn=1.f(1,4)+3 · f(2,4)+2 · f(4,4) = 1 .1'053 +3 .1'052 +2 .1'05°=6'4651 El valor final del conjunt de capitals és Sn = 6'4651 Per tant, {(1,1), (3,2), (2,4)} ~ (6'4651, 4). Nota: Veiem que no ens interessa l'operació que ens proposaven a l'inici.

Matemàtica de les Operacions Financeres

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

La Suma Financera en el Diferiment Mig T = T0

• Ara escollim la quantia que coincideix amb la suma aritmetica de les quanties. En el nostre cas C = 1 + 3 + 2 =6. El diferiment que satisfà {(1, 1), (3, 2), (2,4)} ~ (6, To) és To el diferiment mig.

C= 6 V 11 1 3 2 0 1 2 1 3 4 T0 Calculem-lo.

Diferiment mig: corresponent a la quantia C = 6

Atès que {(1,1), (3,2), (2,4)} ~ (5'3188, 0), també (6, To) ~ (5'3188, 0) 6 = 5'3188 · f (0, To) 6 = 5'3188 . 1'05 To-0 D'on trobem To = 2'469 Per tant, {(1,1), (3,2), (2,4)} ~ (6,2'469)

Matemàtica de les Operacions Financeres

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

La Suma Financera i Capitals Equivalents

Un conjunt de capitals financers s'expressa com {(Cr, Tr)}r=1,2, ... ,n = {(C1, T1), (C2, T2), ... , (Cn, Tn)}

Pregunta:

Quan fem la suma financera, ens preguntem quin és el capital financer (C, T) equivalent a un conjunt de capitals. Donat un conjunt de capitals {(Cr, Tr)}r=1,2, ... ,n el nostre problema consisteix en trobar un capital financer equivalent. {(Cr, Tr) }r=1,2,.,n ~ (C, T)

Resposta:

Si escollim un diferiment T, llavors {(Cr, Tr) }r=1,2, ... ,n ~ r=1 n C', T ) on Er_ C = E_ C . f(Tr, T)

Matemàtica de les Operacions Financeres

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

Suma Financera: Noms Segons el Diferiment

Segons sigui el diferiment T escollit, la quantia associada i el propi diferiment reben certs noms.

• Si T= 0, llavors la quantia associada es Er- Cp = Vo r=1 i s'anomena valor actual.
• Si T= Tn, llavors la quantia associada és Er-1 C/ = Sn i s'anomena valor final.
• Si D'= C' = >'_ Cr, llavors el diferiment associat és T= To i s'anomena diferiment mig.

Matemàtica de les Operacions Financeres

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

2.1 Concepte

2.2 Classificació

Concepte de Renda Financera

Per a que serveixen les rendes financeres?

Les rendes financeres ens permeten sistematitzar l'anàlisi de les operacions financeres. Concretament aquelles operacions en les que hi ha periodicitat en els diferiments.

Que son les rendes financeres?

Una renda financera és un conjunt de capitals financers que presenten periodicitat en els seus diferiments. {(Cr, rP) }=1,2, ... ,n , on Cr: Terme r-èsim de la renda. P = Tr+1 - T,: Periode de la renda expressat en anys. n: Nombre de termes de la renda. t = nP: Termini de l'operació.

Matemàtica de les Operacions Financeres

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

2.1 Concepte

2.2 Classificació

Classificació de Rendes: Periodicitat

Atenent a la periodicitat Segons sigui la periodicitat, distingim entre:

• Rendes anuals, si P = 1.
• Rendes semestrals, si P = 1/2.
• Rendes trimestrals, si P = 1/4.
• Rendes mensuals, si P = 1/12.
• . . .

Matemàtica de les Operacions Financeres

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

2.1 Concepte

2.2 Classificació

Classificació de Rendes: Localització del Terme

Atenent a la localització del terme Segons sigui la localització del terme dins el periode, distingim entre:

• Rendes vençudes o postpagables. El terme es localitza al final del període. C1 C2 C3 ... Cn-1 Cn 0 1P 2P 3P . . . (n-1)P nP
• Rendes anticipades o prepagables. El terme es localitza a l'inici del període. C1 C2 C3 . . . Cn 0 1P 2P . . . (n-1)P nP

Matemàtica de les Operacions Financeres

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

2.1 Concepte

2.2 Classificació

Classificació de Rendes: Inici de la Renda

Atenent a l'inici de la renda Segons sigui el moment en que s'inicia la renda dins l'operació, distingim entre:

• Rendes immediates La renda s'inicia en el moment en que s'inicia l'operació. C1 C2 . . . Cn 0 1P 2P . . . nP
• Rendes diferides La renda no s'inicia quan comença l'operació, sinó que aquesta ho fa transcorregut un cert període anomenat diferiment, d. C1 C2 . . . Cn H 0 dP (d+1)P (d+2)P . . . (d+ n)P

Matemàtica de les Operacions Financeres

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

2.1 Concepte

2.2 Classificació

Classificació de Rendes: Horitzó Temporal

Atenent a l'horitzó temporal Segons sigui l'horitzó temporal de la renda, distingim entre:

• Rendes temporals Tenen un nombre finit de termes. Horitzó temporal finit. C1 C2 . . . Cn . . . nP 0 1P 2P
• Rendes perpètues Tenen un nombre infinit de termes. Horitzó temporal infinit. C1 C2 . . . 0 1P 2P . . . n > 00

Matemàtica de les Operacions Financeres

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

2.1 Concepte

2.2 Classificació

Classificació de Rendes: Variació del Terme

Atenent a la variació del terme de la renda Segons hi hagi o no variació del terme de la renda i segons sigui aquesta varació, distingim entre:

• Rendes constants El terme de la renda és constant, Cr = C.
• Rendes variables El terme de la renda és variable.
• Rendes variables geometricament Cr = C1 · qr-1, amb q € {(0,1) U (1,0)}
• Si q > 1, és creixent.
• Si q < 1, és decreixent.
• Rendes variables aritmeticament Cr = C1 + h(r - 1), amb hent-{0}
• Si h > 0, és creixent.
• Si h < 0, és decreixent.

Matemàtica de les Operacions Financeres

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

3.1 Valorar una renda financera

3.2 Valor actual i valor final d'una renda model

3.3 Valoració d'altres tipus de rendes

Valorar una Renda Financera

Per la combinació dels criteris de classificació de rendes exposats, podem considerar molts tipus de rendes. Per tal de facilitar l'analisi, considerem, per començar, una renda vencuda, immediata i temporal, a la qual anomenem renda model.

Què ens pot interessar conèixer d'una renda model?

• El seu valor actual.
• El seu valor final.

Matemàtica de les Operacions Financeres

Introducció: La suma financera

Rendes: Concepte i classificació Valoració Actualització de rendes sota RFIC

3.1 Valorar una renda financera

3.2 Valor actual i valor final d'una renda model

3.3 Valoració d'altres tipus de rendes

Valor Actual de la Renda Model

Considerem una renda model, i.e. vencuda, immediata i temporal. C1 C2 ... C, . . . Cn 0 1P 2P . . . rP . . . nP El valor actual, Vo, d'una renda financera s'obté de l'equivalència (V0,0)~{(Cr,rP)}r=1,2, ... ,n Així, Vo => r=1 n Cr · f(rP, 0) Vo = C1 · f (P, 0) + C2 · f (2P, 0) + .. . + Cn · f(nP, 0)