Gráfica de Lugar Geométrico de las Raíces, Apuntes de Informática

Lugar Geométrico de las Raíces

La idea básica detrás del método del lugar geométrico de las raíces es que los valores de s que hacen que la función de transferencia alrededor del lazo sea igual a -1 deben satisfacer la ecuación característica del sistema.

El método debe su nombre al lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica del sistema en lazo cerrado conforme la ganancia varía de cero a infinito. Dicha gráfica muestra claramente como contribuye cada polo o cero en lazo abierto a las posiciones de los polos en lazo cerrado.

Al diseñar un sistema de control lineal, encontramos que el método del lugar geométrico de las raíces resulta muy útil, dado que indica la forma en la que deben modificarse los polos y ceros en lazo abierto para que respuesta cumpla las especificaciones del desempeño del sistema.

Algunos sistemas de control puede tener más de un parámetro que deba ajustarse. El diagrama del lugar geométrico de las raíces, para un sistema que tiene parámetros múltiples , se construye variando un parámetro a la vez.

Condiciones de Ángulo y Magnitud

• Condiciones de Angulo. Considere el sistema de la figura 2.5. La función de transferencia en lazo cerrado es C(s) R(s) 1+G(s)H(s) G(s) La ecuación característica para este sistema en lazo cerrado se obtiene haciendo que el denominador del segundo miembro de la ecuación anterior sea igual a cero. Es decir, 1+G(s)H(s) =0 o bien G(s)H(s) =- 1 ( ecuac. 5.1) Aquí se supone que G(s)H(s) es un cociente de polinomios en s. Dado que G(s)H(s) es una cantidad compleja la ecuación 5.1 se divide en dos ecuaciones igualando los ángulo y las magnitudes de ambos miembros, para obtener lo siguiente : Condición de ángulo:G(s)H(s) =±180º(2k+ 1) , (k =1,2, ... ) Condición de magnitud : |G(s)H(s)|=1

Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como las de magnitud son las raíces de la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geométrico de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición de ángulo. Las raíces de la ecuación característica (los polos en lazo cerrado) que corresponden a un valor específico de la ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud.

R(s) C(s) G(s) H(s) Figura 2.5 .- Sistema de control

En muchos casos, G(s)H(s) contiene un parámetro de ganancia K, y la ecuación característica se escribe como K(s+z1)(s +z2) ... (s + Zm ) 1+ (s + p1)(s + P2 ) ... (s + pn) =0 Entonces los lugares geométricos de la raíces para el sistema son los lugares geométricos de los polos en lazo cerrado conforme la ganancia K varía de cero a infinito.

Observe que, para empezar a trazar los lugares geométricos de las raíces de un sistema mediante el método analizado aquí, debemos conocer la ubicación de los polos y los ceros de G(s)H(s) . Recuerde que los ángulos de las cantidades complejas que se originan a partir de los polos y los ceros en lazo abierto para el punto de prueba s se miden en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Por ejemplo, G(s)H(s) se obtiene mediante Notas del Curso de Control I M. C. Jaime Cid Monjaraz 2G(s)H(s) = K(s+ z1) (s+ p1)(s + p2)(s + p3)(s + p4) en donde - p2, y - p3 son polos complejos conjugados, el ángulo G(s)H(s) es G(s)H(s) = $1 - 01 - 02 - 03 - 84 en donde ø1, 0,02 , 03 , 04 se miden en sentido contrario al de las manecillas del reloj, como se observa en la figura 5.2.1 (a) y (b). la magnitud de G(s)H(s) para este sistema es G(s)H(s)| = ALA2 A3 A4 KB en donde AA AAAyB, son magnitudes de las cantidades complejas S+ P1,5+P2 , S+ P3 , S+ P4 , S + z1, respectivamente.

Observe que debido a que los polos complejos conjugado y los ceros complejos conjugados en lazo abierto, si existen, siempre se ubican simetricamente con respecto al eje real, los lugares geométricos de las raíces siempre son simétricos con respecto a este eje. Por lo tanto, sólo es necesario construir la mitad superior de los lugares geométricos de las raíces y dibujar la imagen espejo de la mitad superior en el plano s inferior.

De otra manera los ceros de una función son los valores de la variable para los cuales la función se anula. Los valores de la función para los cuales la función se hace finita (o su inversa a cero) son los polos. En una función racional, los ceros son las raíces del polinomio del numerador y los polos son las raíces del polinomio de denominador. Por ejemplo, la función F(s) = 2s2 + 2s- 12 s2 + 7s + 10 = 2(s -2)(s + 3) (s+ 2)(s+5) tienen ceros en s = 2 y s = - 3, y polos en s = - 2 y s =- 5.

Cuando se indican los polos y ceros de un función en el plano complejo, el resultado es una gráfica de polos y ceros, de la cual se pueden deducir propiedades importantes de la función. Los valores ceros se indican por : Notas del Curso de Control I M. C. Jaime Cid Monjaraz 3en la gráfica, y los valores de los polos se representan por : jw punto de prueba 021 X -P2 jw P.2 punto de prueba S A4 B1 2818 181- P1 X -PA -Z1 -P1 0 0 -PA -Z1 -P 83 3 X -P3 (a) Figura 2.5.1 (a) y (b) diagrama que muestran la medición de angulos de los polos y los ceros en lazo abierto para el punto de prueba S.

Ejemplo de Construcción de Gráficas

A continuación se presentará un ejemplo para construir gráficas del lugar geométrico de las raíces.

Ejemplo 5.1. Considere el sistema de la figura 2.5.2( suponemos que el valor de ganancia K es no negativo). Para este sistema, R(S) K C (S) + S (S+1) (S+2) FIGURA 2.5.2 Sistema de control.

G(s) = s(s +1)(s +2) K , H(s) =1 Notas del Curso de Control I M. C. Jaime Cid Monjaraz 4 81 A3 0 a (b)Para el sistema determinado, la condición de ángulo se convierte en G(s) = s(s+ 1)(s+ 2) K = - /s- s+1-/s+2 =±180°(2%+1), (k = 1,2, ... ) La condición de magnitud es K G ( s ) = s(s + 1)(s + 2) =1

Reglas Generales para Construir Lugares Geométricos

• Reglas generales para construir los lugares geométricos de las raíces. Resumiremos las reglas y el procedimiento general para construir los lugares geométricos de las raíces del sistema de la figura 2.5.3. R (S) C (S) + G (S) H(S) FIGURA 2.5.3 Sistema de control. Primero, obtenga la ecuación característica 1+ G(s)H(s) =0 A continuación, vuelva a ordenar esta ecuación para que el parámetro de interés aparezca como el factor multiplicativo, en forma K(s+z1)(s + z2 ) ... (s + Zm) 1+ (s + p1)(s + p2) ... (s + pn) = 0 -> ecuac.a Notas del Curso de Control I M. C. Jaime Cid Monjaraz 5En estos análisis suponemos que el parámetro de interés es la ganancia K , en donde K >0. (Si K < 0, lo cual corresponde al caso de realimentación positiva, bebe modificarse la condición de ángulo.) Sin embargo observe, que el método todavía es aplicable a sistemas con parámetros de interés diferentes a la ganancia.
• Ubicación de polos y ceros en el plano s. Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros (ceros finitos o ceros en infinito) . A partir de la forma factorizada de la función de transferencia en lazo abierto, ubique los polos y los ceros en lazo abierto en el plano s . [Observe que los ceros en lazo abierto son los de G(s)H(s) , en tanto que los ceros en lazo cerrado son los de G(s) y los polos de H(s) . Observe que los lugares geométricos de las raíces son simétricos con respecto al eje real del plano s, debido a que los polos y ceros complejos sólo ocurren en pares conjugados. Encuentre los puntos inicio y fin de los lugares geométricos de las raíces y localice también el número de lugares geométricos de las raíces separados. Los puntos del lugar geométrico que corresponde a K = 0 son los polos en lazo abierto. Esto se aprecia a partir de la condición de magnitud, suponiendo que K tiende a cero, o que (s+z1)(s+z2) ... (s+zm) 1 K->0 K lim K->0 (s+P1)(s+P2).(s+ Pn) = lim = ∞ Esta última ecuación implica que conforme K disminuye, el valor des debe tender a uno de los polos en lazo abierto. Por lo tanto, cada lugar geométrico de las raíces se origina en un polo de la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) . Conforme K tiende a infinito, cada lugar geométrico tiende al cero de la función de transferencia en lazo abierto o al infinito del plano complejo. Esto se aprecia del modo siguiente : si suponemos que K tiende a infinito en la condición de magnitud, entonces : lím K->00 (s+z1)(s+z2) ... (s+zm) (s+p1)(s+p2) ... (s+pn) K>00 = lím == 0 Por tanto, el valor de s debe aproximarse a uno de los ceros finitos en lazo abierto o a un cero en lazo abierto en infinito. [Si se incluyen los ceros en infinito en la cuenta, G(s)H(s) tiene la misma cantidad de ceros que de polos.] Una gráfica del lugar geométrico de las raíces tendrá tantas ramificaciones como raíces tenga la función característica. Dado que, por lo general, la cantidad de polos en lazo abierto es mayor que la de ceros, la cantidad de ramificaciones es igual a la de los polos. Si la cantidad de polos en lazo cerrado es igual a la cantidad de polos en lazo abierto, la cantidad de ramificaciones individuales del Notas del Curso de Control I M. C. Jaime Cid Monjaraz 6lugar geométrico de las raíces que terminan en los ceros finitos en lazo abierto será igual a la cantidad m de ceros en lazo abierto. Las n - m ramificaciones restantes terminan en infinito ( n - m ceros implícitos en infinito ) a lo largo de las asíntotas. Sí incluimos los polos y los ceros en infinito, la cantidad de polos en lazo abierto es igual a la de ceros en lazo abierto. Por tanto, siempre podemos plantear que los lugares geométricos de las raíces empiezan en los polos de G(s)H(s) y terminan en los ceros de G(s)H(s) conforme K aumenta de cero a infinito, en donde los polos y los ceros incluyen tanto aquellos finitos y en infinitos en el plano s.
• Determine los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real. Los lugares geométricos de las raíces sobre el je real se determinan mediante los polos y los ceros en lazo abierto que se encuentran sobre él. Los polos y los ceros complejos conjugados de la función de transferencia en lazo abierto no afectan la ubicación de los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real, porque la contribución del ángulo de un par de polos o ceros complejos conjugados es 360° sobre el eje real. Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geométricos sobre el je real, seleccione un punto en éste. Si la cantidad total de polos y ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, este punto se encuentra en el lugar geométrico de las raíces. El lugar geométrico de las raíces y su firma complementaria alternan segmentos a lo largo del eje real.
• Determine las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces. Si el punto de prueba s se ubica lejos del origen, se considera que no cambia el ángulo de cada cantidad compleja. Entonces, un cero en lazo abierto y un polo en lazo abierto cancelan los efectos del otro. Por tanto, los lugares geométricos de las raíces para valores de s muy grandes deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos (pendientes) se obtengan mediante Ángulos de las asíntotas ±180°(2K+1) n-m ;(K = 0,1,2, ... ,) en donde n = número de polos finitos de G(s) H(s) m = números de ceros finitos de G(s) H(s) Aquí, k = 0 corresponde a las asíntotas con el ángulo más pequeño con respecto al eje real. Aunque k supone una cantidad infinita de valores, conforme aumenta, el ángulo se repite así mismo y la cantidad de asíntotas es n - m. Todas las asíntotas interceptan al eje real en un punto que se obtiene del modo siguiente : si se expanden el numerador y el denominador de la función de transferencia en lazo abierto, el resultado es Ks™ +(z1 +22 + ... + Zm )s"-1+ ... + 2122 ... Zm G(s)H(s)= s" + (p1 + p2 + ... + pn)s"- + ... + PIP2 ... Pn ] Notas del Curso de Control I M. C. Jaime Cid Monjaraz 7