Introducción al concepto de número y su evolución histórica en matemáticas

INTRODUCCIÓN

El presente tema se caracteriza por ser coherente e innovador ya que parte del primer nivel de concreción curricular que son las bases legales que regulan nuestro sistema educativo, como la Ley Orgánica 3/2020 (LOMLOE), de 29 de diciembre, por la que se modifica la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo de educación (LOE), la Ley de Educación en Andalucía 17/2007 de 17 de diciembre (LEA), y fundamental e imprescindible la Orden del 30 de mayo de 2023. Las matemáticas, presentes en casi cualquier actividad humana, tienen un marcado carácter instrumental que las vincula con la mayoría de las áreas de conocimiento: las ciencias de la naturaleza, la ingeniería, la tecnología, las ciencias sociales e incluso el arte o la música. En particular, la evolución del concepto de número ha permitido el desarrollo de todas las áreas anteriores, así como dotar a las matemáticas, de ese carácter instrumental, que desde que se conoce la existencia del ser humano siempre ha estado presente.

EVOLUCIÓN HISTÓRICA DEL CONCEPTO DE NÚMERO Y PROBLEMAS QUE RESUELVE

En un principio, los números surgen de la necesidad humana de contar. Estos números se representaban haciendo una muesca por cada objeto que se contaba. Se han encontrado restos arqueológicos de huesos antiguos en los que existen muescas agrupadas de cinco en cinco, lo que significa el nacimiento del sistema de agrupación múltiple para contar. De hecho, hay una estrecha relación entre los diez dedos que tenemos en las manos con el uso del sistema decimal, ya que cada mano puede representar conjuntos de hasta cinco elementos.

Junto al concepto del número natural, se desarrolla el concepto de magnitud y su relación con los números. Así la civilización babilónica consigue medir longitudes y áreas por comparación con la unidad, creándose el concepto intuitivo de número fraccionario. Aceptaban todos los números racionales positivos y eran capaces de quitar denominadores en una fracción multiplicando por los factores adecuados. También aceptaban el cero como número.

Además, la civilización babilónica desarrollada en Mesopotamia ideó el primer sistema de escritura (escritura cuneiforme) que ha llegado a nosotros en miles de tablillas de cerámica halladas en excavaciones arqueológicas. La base de su sistema era el número 60 y todavía hoy se conserva su uso en medidas de tiempo y ángulos. Esta civilización fue muy aficionada a la confección de tablas con los valores precalculados que debían utilizar, como son las tablas de multiplicar, de inversos, de cuadrados y cubos, potencias de un número, etc.

Por otra parte, a orillas del Nilo, se desarrolla la civilización egipcia. El documento matemático más importante de la civilización es el papiro de Rhind o de Ahmes, de unos 30 cm de alto y 6 metros de largo, que se conserva en el museo británico. Los egipcios aceptaban los números naturales junto con las fracciones de numerador 1. Los números eran representados por distintos símbolos llamados jeroglíficos y se basaban en un sistema decimal. Es importante tener en cuenta que los egipcios utilizaban las matemáticas para resolver problemas prácticos (medir sus tierras periódicamente inundadas por el Nilo, construir pirámides, ... ). Los resultados están siempre referidos a casos particulares, figuras concretas de unas medidas concretas y son descriptivos sin detenerse en lo que hoy llamamos demostración.

Desde el siglo VI a.C. se comienza a desarrollar la matemática de la civilización griega, es entonces cuando aparecen Thales de Mileto y Pitágoras de Samos, a los que se le atribuyen los primeros resultados matemáticos de este periodo. Thales y los matemáticos griegos solo aceptaban los Página 2 de 8números naturales, considerados como magnitudes, y usaban las fracciones como razones entre magnitudes del mismo tipo. Tal y como hace referencia en el libro de Carl B. Boyer: Historia de la matemática, con la escuela pitagórica, se demuestra que es imposible expresar con una fracción la posteriormente llamada raíz cuadrada de dos, llegándose a comprender que el sistema numérico del que disponían no era suficiente para expresar la medida de todas las magnitudes. A partir de esto aparece el concepto de magnitudes inconmensurables. Según Platón, dos magnitudes son inconmensurables si su razón no es igual a la razón de dos números. El ejemplo más representativo es que el lado de un cuadrado es inconmensurable con su diagonal, cuya demostración se reconoce como la primera demostración matemática por reducción al absurdo.

En la civilización griega debemos destacar la gran aportación de Euclides (S.III a.C), con su obra "Elementos". En la cual destaca la claridad con la que se plantean los problemas y el rigor con el que son probados los teoremas. Son un conjunto de libros donde se plasman los descubrimientos que hizo Euclides, pero también es muy importante dicha obra porque recoge todo el saber matemático conocido hasta la época.

De la antigua civilización india hay que destacar a Brahmagupta (s. VII), el cual es el primero que se tenga conocimiento que acepta los números negativos e incluso el cero, al que por ejemplo los griegos no le dieron la categoría de número. Además, acepta plenamente a los números irracionales.

Con el florecimiento de la cultura árabe, destaca la presencia del matemático Al-Juarismi (s. VIII), de quien procede la palabra algoritmo. Fue el quien adoptó definitivamente el sistema de numeración hindú que hoy conocemos como decimal o indo-arábigo. El sistema de numeración decimal o indo- arábigo, inventado por los indios e introducido en Europa por los árabes en la Edad Media, es el más completo y útil, estando adoptado universalmente.

En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo. Hubo que esperar hasta el siglo XIII con la figura de Leonardo de Pisa el cual escribió su célebre obra "Liber Abaci", en el que se encuentran expuestos: el cálculo de números según el sistema de numeración posicional, operaciones con fracciones comunes, regla de tres simple y compuesta, raíces cuadradas y cúbicas, ecuaciones, etc. Leonardo quedó inmortalizado por sus aportaciones y por el problema de los conejos que originó la famosa sucesión de Fibonacci.

En el renacimiento se introducen los radicales y sus propiedades. Se empiezan a utilizar los exponentes negativos y se encuentran soluciones imaginarias. Tartaglia (s. XV) descubre el método de resolución de las ecuaciones de tercer grado y Regiomontano independiza a la trigonometría de la astronomía.

En los siglos XVII y XVIII Descartes es capaz de determinar el número de raíces positivas y negativas de un polinomio, también le debemos el uso de las coordenadas en el plano. Destaca también las contribuciones en teoría de números de Fermat. Se aceptan los números negativos con las mismas características que los positivos. En esta misma etapa se aceptan los números complejos, y es Euler quien introduce la notación del número i y la fórmula de Euler, la que para muchos es la fórmula más importante de las matemáticas. Por otro lado, Gauss en su tesis doctoral, demuestra el denominado teorema fundamental del álgebra.

A comienzos del siglo XIX, como consecuencia de los grandes éxitos del cálculo diferencial, muchos matemáticos pensaron que era necesario argumentar las bases del análisis, es decir, la teoría de los límites. El número natural se concebía como un conjunto finito de unidades, el racional, como una razón de ciertas magnitudes, el real, como la longitud de un segmento en la recta y el complejo como un punto en el plano. Sí estaba claro, que cada nuevo conjunto de números tenía que ser una Página 3 de 8extensión algebraica del anterior, lo que implicaba que las operaciones definidas tenían que conservarse de unos a otros. Desde esta perspectiva se formuló el llamado "principio de permanencia de las leyes formales del cálculo". Esta máxima indicaba que cada vez que construyera un nuevo sistema numérico, más amplio que el inicial, las operaciones debían generalizarse de modo que se conservaran las leyes de las operaciones que ya tenían los números. Esta idea, junto con la opinión generalizada de que la construcción de las matemáticas debía pasar por el método axiomático basado en la teoría de conjuntos, indujo a los matemáticos de finales del XIX a definir nuevos sistemas numéricos utilizando la noción de "extensión de un sistema algebraico". Para este proceso se entendía que los axiomas no eran más que las relaciones y operaciones algebraicas satisfechas por un conjunto en unas determinadas condiciones. Así por ejemplo se definen los naturales, o incluso los reales.

Durante los siglos XIX y XX, Gauss abre un nuevo panorama en la aritmética con su "Disquisitiones Arithmeticae". En estos siglos, los avances matemáticos son enormes, hasta llegar a nuestros días.

AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE NÚMERO

EL NÚMERO NATURAL

Aunque los números naturales vienen usándose desde los orígenes del ser humano, su definición no es del todo sencilla.

Algunos matemáticos prefieren no reconocer el cero como número natural, mientras que otros, especialmente los expertos en teoría de conjuntos, lógica e informática, tienen la postura opuesta. En este desarrollo consideraremos el cero como número natural para poder definir la adición con el elemento neutro.

El conjunto de los números naturales, que se representa por N, está caracterizado por los siguientes cinco axiomas de Giuseppe Peano (s. XIX):

1. Axioma 1: 0 es un número natural (0 E N). Por tanto, N # Ø.
2. Axioma 2: Para cada número natural n, existe un único número natural llamado sucesor, y designado por n*, es decir: Vn E N, 3! n* E N.
3. Axioma 3: El cero no es sucesor de ningún número, es decir: Vn E N, n* # 0.
4. Axioma 4: La aplicación siguiente es inyectiva, es decir: V m, n E N, m* = n* = >m = n.
5. Axioma 5 (Axioma de inducción): cualquier subconjunto K de N que verifique las dos propiedades siguientes, es igual a N: a) 0 € K b) VnEK =>n* EK

Es posible establecer unos axiomas análogos considerando el 1 como primer número natural, como hizo Peano originalmente.

Las operaciones suma y producto de N tienen las siguientes propiedades:

Suma [1. Asociativa 2. Conmutativa

Producto 4. Asociativa 5. Conmutativa

Ambas L 3. Elemento neutro 6. Elemento unidad 7. Distributiva del producto respecto de la suma

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