Historia de la Geometría: desde sus orígenes hasta las geometrías no euclídeas

Introducción a la Geometría y su Carácter Instrumental

1. INTRODUCCIÓN El presente tema se caracteriza por ser coherente e innovador ya que parte del primer nivel de concreción curricular que son las bases legales que regulan nuestro sistema educativo, como la Ley Orgánica 3/2020 (LOMLOE), de 29 de diciembre, por la que se modifica la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo de educación (LOE), la Ley de Educación en Andalucía 17/2007 de 17 de diciembre (LEA), y fundamental e imprescindible la Orden del 30 de mayo de 2023. Las matemáticas, presentes en casi cualquier actividad humana, tienen un marcado carácter instrumental que las vincula con la mayoría de las áreas de conocimiento: las ciencias de la naturaleza, la ingeniería, la tecnología e incluso el arte o la música. En particular, la geometría podemos encontrar su influencia en cosas tan simples como la forma de una mesa, un vaso o una silla. Estos objetos cotidianos están diseñados teniendo en cuenta principios geométricos para asegurar su funcionalidad y comodidad.

Período Prehelenístico y Orígenes de la Geometría

2. PERIODO PREHELENÍSTICO Se ha tomado como referencia bibliográfica para desarrollar este apartado, el siguiente libro: BOYER, CARL B .: Historia de la matemática. Las primeras consideraciones geométricas del ser humano son sin duda muy antiguas, y parecería que tiene su origen en simples observaciones para llevar a cabo un reconocimiento de formas físicas junto con la comparación de formas y tamaños. En un principio, nuestros antepasados sólo consideraron los problemas geométricos concretos de forma individual y sin interconexiones. Cuando la inteligencia humana fue capaz de extraer de las relaciones geométricas concretas una relación abstracta general, la geometría se volvió una ciencia. Los historiadores atribuyen a los egipcios un desarrollo importante en geometría, ya que estos últimos necesitaban medir sus tierras frecuentemente, debido a que las inundaciones producidas por las crecidas del Nilo, borraban sin cesar sus límites. Para la reconstrucción de sus fincas necesitaban poder construir ángulos rectos, y el método que utilizaban, era la construcción de un triangulo de lados 3,4 y 5 unidades. Esto induce a pensar que conocían el Teorema de Pitágoras, pero no ha podido comprobarse. El documento matemático mas importante de la civilización egipcia es el papiro de Rhind o Ahmes mide unos 6 metros de largo y 33 cm de ancho. Representa la mejor fuente de información sobre matemática egipcia que se conoce. Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución. Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. Fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en el año 1650 a.C a partir de escritos de 200 años de antigüedad, según reivindica el propio Ahmes al principio del texto. Se conoce muy poco sobre el objetivo del papiro. Se ha indicado que podría ser un documento con claras intenciones pedagógicas, o un cuaderno de notas de un alumno. Otros papiros importantes son el de Kahun, el de Berlín y el de Moscú, de los cuales se deducen los conocimientos matemáticos de la época. La civilización babilónica se desarrolló en Mesopotamia. Sus habitantes, los sumerios, idearon el primer sistema de escritura (escritura cuneiforme) que ha llegado a nosotros en miles de tablillas de cerámica halladas en excavaciones arqueológicas. Sus habitantes tenían conocimientos matemáticos Página 1 de 8similares a los egipcios, pero con algunas diferencias. Por ejemplo, utilizaban el sistema sexagesimal y tenían gran interés en la astronomía debido a sus creencias religiosas por los astros. Sabían calcular áreas de polígonos regulares de 3,4,5,6 y 7 lados y calculaban el área del círculo con la fórmula usada actualmente, pero utilizando 3 + - en lugar de T. Pese a todo, los resultados geométricos conocidos de estas civilizaciones antiguas están siempre referidos a casos particulares, figuras concretas de unas medidas concretas y son descriptivos sin detenerse en lo que hoy llamamos demostración. Por consiguiente, no consiguen hacer abstracción de los casos concretos para obtener una ciencia teórica, construida a partir de teoremas y demostraciones. Para que esto se produzca habrá que esperar a la aparición de la civilización griega.

La Geometría en Grecia

3. LA GEOMETRÍA EN GRECIA Se ha tomado como referencia bibliográfica para desarrollar este punto, el libro: DE BURGOS,J,: Curso de álgebra y geometría. La matemática griega se desarrolló desde el siglo VI a.C hasta el siglo VI d.C. Los matemáticos griegos establecieron las bases de la teoría de números y descubrieron los números irracionales (aunque no lo aceptaban como números y los llamaban asi por lo absurdo que les parecían)

Thales de Mileto y el Teorema de Thales

La geometría fue introducida en Grecia por Thales de Mileto (S.VI a.C) instruido en Egipto, se dedicó a extender en Grecia los conocimientos astronómicos adquiridos en Egipto. A él, se le atribuye el concepto de lugar geométrico, el conocimiento de que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto y el denominado Teorema de Thales, ya conocido por egipcios y mesopotámicos.

Teorema de Thales

Teorema (Teorema de Thales) Sean r, s dos rectas del plano no paralelas y sean t1, t2, t3, t4 rectas paralelas. Sean A, B, C y D los puntos de intersección de r con t1, t2, t3, t4 respectivamente; y sean A', B', C'y D' los puntos de intersección de S con t1, t2, t3, t4 respectivamente. Supongamos que AB = CD. Entonces A'B' = C'D'. D' S - 1 C'i I -- B' I 1 1 I I 1 1 1 1 1 r 1 A 1 D! 1 1 t1 t2 t3 t4

Pitágoras y su Teorema

Unos años después, apareció Pitágoras de Samos (siglo VI a.C) formando una escuela pitagórica. La principal aportación de esta escuela es la demostración del famoso Teorema de Pitágoras, que relaciona el cuadrado de la hipotenusa, con el cuadrado de los catetos en un triángulo rectángulo. Esta demostración no se ha logrado reconstruir, y la que hoy se conoce se debe a Euclides.

Teorema de Pitágoras

Teorema (Teorema de Pitágoras) Sea ABC un triángulo rectángulo en B. Entonces: AB2 + BC2 = AC2. 1 1 1 1 1 1 Página 2 de 8Demostración B C a A m n C D Se traza desde B la altura (perpendicular a AC pasando por B), que corta a AC en el punto D. Los triángulos ADB y CDB son rectángulos, por construcción y además semejantes a ABC, ya que tienen con él un ángulo común además del recto (en el triángulo ADB el ángulo  y en el CDB el Ĉ). Entonces: ABC ~ ADB => b C ABC ~ CDB = b => a2 = b.n a n a C m > c2 = b . m ~ =>a2 +c2 =b. (m+n) =b2 b

Elementos de Euclides y sus Postulados

Sin duda, la obra más importante de Euclides es Elementos. Son un conjunto de 13 libros que tratan sobre geometría en el plano y tridimensional, teoría de números y números irracionales. La obra Elementos es el primer tratado sistemático de geometría elemental. Lo más destacable de esta obra son los cinco postulados o axiomas particulares sobre los que se fundamenta el desarrollo de la geometría en el plano, estos son:

1. Se puede trazar una recta de un punto cualquier a un punto cualquiera.
2. Un segmento rectilíneo puede ser siempre prolongado.
3. Una circunferencia puede construirse con centro en cualquier punto y radio arbitrario.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Al incidir una recta con otras dos, los ángulos internos del mismo lado son menores que el ángulo recto, las dos rectas, prolongadas indefinidamente, se encuentran en el lado en el cual los ángulos son menores que dos ángulos rectos.

a a+b<180° b Por otro lado, el álgebra estudiada por los griegos estuvo subordinada a la geometría. Así, por ejemplo, para demostrar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, descomponían un rectángulo en dos, obteniéndose que el área total del rectángulo es igual a la suma de las áreas de los dos rectángulos parciales. a a·b a.c b C El área total a · (b + c) es igual a la suma de áreas parciales a · b + a · c. Página 3 de 8Volviendo a la escuela de Alejandría, los cuales destacan Euclides, Apolonio (S.III a.C) y Arquímedes (S.III a.C). Arquímedes completó la obra de Euclides y extendió los problemas al espacio tridimensional. Sus primeras aportaciones son el método de exhaución, usado para determinar áreas y volúmenes. Además, también determinó el número Tt con cinco cifras decimales exactas. Por último, Apolonio (S.III a .C) definió el cono como un sólido de revolución e hizo el primer estudio sistemático de las cónicas. Su obra principal, cónicas, constaba de ocho libros, en los cuales desarrollaba la teoría general de las cónicas y sus propiedades más importantes. En resumen, la geometría en Grecia alcanzó el nivel que hoy conocemos por matemática superior, como la prueban sus estudios sistemáticos sobre el tema.

La Geometría a partir del Renacimiento

4. LA GEOMETRÍA A PARTIR DEL RENACIMIENTO Se ha tomado como referencia bibliográfica para desarrollar este apartado, el libro de: IFRAH, G .: Historia universal de las cifras. Desde la matemática griega hasta el renacimiento de las ciencias en Europa en los siglos XVI y XVII, recorremos una época de más de mil años de poca fertilidad matemática. Un dato importante fue la aceptación en Europa del sistema de numeración decimal, introducido por los árabes. También se hicieron traducciones y comentarios a la obra de Euclides. En el siglo XV se inicia en Italia el estudio de las proyecciones para su utilización en pintura. La idea del plano proyectivo surge del estudio de la perspectiva por parte de matemáticos y pintores en el renacimiento. Además, fue en esta época cuando se desarrolló la geometría elemental y la trigonometría, así como el álgebra elemental y la aritmética. Pero el renacimiento fue principalmente una época transitoria. De transición hacia la matemática de magnitudes variables. La gran novedad del siglo XVII es el empleo de coordenadas referidas a dos ejes arbitrarios del plano, de forma que todo punto puede representarse por un par de números. Esta es la obra que inician los matemáticos franceses Descartes (S.XVII) y Fermat (S.XVII). Descartes publicó su famoso Discurso del Método cuya última sección, Geometría, trata de esta innovación que recibiría con el tiempo el nombre de Geometría Analítica. Refirió el plano a un sistema de ejes coordenados y todo punto quedó unívocamente determinado por sus coordenadas (llamadas cartesianas en su honor). Como inconveniente, tanto Descartes como sus contemporáneos rehuyeron del uso de coordenadas negativas. Por otra parte, en el siglo XVII se extendió la costumbre de usar un solo eje, el de abscisas. Fermat hizo un trabajo similar en una exposición más clara, aunque con notación antigua. Es mérito de Descartes la introducción de la notación moderna, similar a la actual. El matemático Isaac Newton (S.XVII-XVIII) y Leibniz (S.XVII-XVIII) se basaron en la geometría analítica para su descubrimiento del cálculo infinitesimal. A finales del siglo XVII, se ofrecían tres clases de geometría; su clasificación era; la geometría de los antiguos, la geometría analítica de Descartes y una tercera, la geometría proyectiva de Descargues (S.XVII) y Pascal (SXVII), que debía extenderse ampliamente en el siglo XIX. Página 4 de 8