Tipos de Funciones: Lineales, Cuadráticas, Cúbicas y Valor Absoluto

Presentación

Presentado por: Edith Julieth Caicedo Oime Alejandro Romero Leyton

Tipos de Funciones

Función General

Es la relación entre dos conjuntos A y B cuando: Algunos o todos los elementos de A se corresponden con uno o más elementos de B, mediante una regla de correspondencia. El conjunto A se llama dominio y el conjunto de objetos asignados de B se denomina rango.

f >.1=f(1) 1. >.4=f(2) Rango 2 Dominio >.x2 = f(x)

Función Lineal (Recta)

Es una función matemática que describe una relación lineal entre dos variables X y Y. Su forma general es: f(x) = mx + b y = mx + b m = pendiente de la recta x = variable independiente b = intersección con el eje Y cuando (x = 0) es (0, b). f(x) ó y = variable dependiente de X

Pendiente m

Es la inclinación de la recta respecto al eje X, está dada por la fórmula m = y2 - y1 X2 - X1 cambio vertical cambio horizontal Las funciones lineales se representan gráficamente como líneas rectas en un plano cartesiano.

m>0 y 4 - m1 = 3 3 2 (3, 1) 1 (-2, 0) -2 -1 1 2 3 -1 + Si m es positiva, la recta sube de izquierda a derecha

m=0 y 4 m2=0 3 (-1,2) (2, 2) 1 | >x -2 -1 1 2 3 -1+ Si m es cero, la recta es hori- zontal

m<0 y 4 +(0,4) m3 =- 5 3 2++ 1+ -1 2 3 4 -1- (1,-1) Si m es negativa, la recta baja de izquierda a derecha

m=8 y 4 (3, 4) 3 - m4 está indefinida 2 - 1 (3, 1) -1 1 2 4 -1- Si m es indefinida, la recta es vertical

Corte con los Ejes

Son los puntos donde la gráfica se cruza o toca los ejes X y Y.

Punto de corte con el eje X: Tiene la forma (X, 0). Para encontrarlo, calculamos los valores de X cuando Y=0. Es decir, resolvemos la ecuación f(x)=0 para encontrar las coordenadas X en las que la función corta el eje X.

Punto de corte con el eje Y:Tiene la forma (0, Y). Para hallarlos, evaluamos la función en X=0. Es decir, encontramos el valor de Y cuando X=0.

y (x2, y2) y2-y1 = Ay (x1, y1) (Incremento) (Recorrido)

Función Cuadrática

La forma general de una función cuadrática es: [ f(x) = ax^2 + bx + c ] f(x)= ax2 + bx + c ax^2 = es el término cuadrático bx = es el término lineal. c = es el término independiente. donde a, b, c pertenecen a los reales y a0 Su gráfica es una parábola.

a<0 a>0 Ay 0 × y = ax2 y = ax2 a<0 a>0 0 ×

Elementos Fundamentales de la Parábola

Fórmula cuadrática x = -b ± vb2 -4ac 2a Eje de simetría X = X1 + X2/2 Vértice de una parábola: es el punto de las coordenadas v (-2 0 - 1 b2

Función Cúbica

La forma general de una función cúbica es: [ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d ] f(x) = ax3 + bx2 +cx+d

y 2 1 f(x)=x3 x -2 -1 1 2 -1 -2

Función Valor Absoluto

La función f(x)=|x| se denomina la función valor absoluto. El valor absoluto de un número (x) se denota como (|x|) y se define como la distancia entre (x) y el cero en la recta real.

[ x ] = -x x six ≥0 six <0y 4 f(x) =|x| 3 + 2 - 1 x -2 -1 1 2

Función Exponencial

se expresa mediante la siguiente fórmula general: [ f(x) = a^x ] a = base de la función exponencial (un número real positivo distinto de 1). x = variable independiente (el exponente). El dominio de una función exponencial es todo el conjunto de números reales. El rango está formado por todos los números reales positivos.

+ Y E(x) = ax = y, para a >1 1 E(x) =ax=y, 0<a<1 -x 0 -x Gráfica de la función exponencial |E(x) = ax = y

1. am . an = amtn
2. (am)n = am-n
3. (a · b)m = am bm
4. (4)" = b )m am bm
5. a-m = 1 am
6. an = am - n
7. aº = 1
8. Vam = an m

Función Logarítmica

se expresa genéricamente como (f(x) = Vlog_a(x)), donde (a) es la base del logaritmo. Es importante que (a) sea un número real positivo y diferente de 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Esto significa que si (y = \log_a(x)), entonces (a^y = x).

Propiedades de los Logaritmos

1. Loga(xy) = Loga(x) + Loga(y).
2. Loga = Loga(x) - Loga(y).
3. Loga(x") = nLoga(x).
4. 1 d. Loga("x) == Loga(x). n
5. In(x) e. Loga(x) = In(a)
6. Loga(a) =1.
7. Loga(an) =n.
8. Loga(1) = 0.
9. i. Si ax = p entonces x = Ln(p) Ln(a) .
10. j. Loga(x) = Loga(y) si y solo si x = y .

Funciones con Condiciones de Perímetro, Área y Volumen

Perímetro

Es la suma de las longitudes de los lados de cualquier figura geométrica plana.

Área

El área es la medida de la extensión de una superficie expresada en unidades de medida denominadas unidades de superficie.

• Cuadrado: Área = Lado x Lado (A = L2)
• Rectángulo: Área = base x altura (A = b x h)
• Triángulo: Área = (base x altura) / 2 (A = (b x h) / 2)
• Círculo: Área = TT x radio2 (A = TTr2)
• Trapecio: Área = [(base mayor + base menor) x altura] / 2 (A = [(B + b) x h] / 2)

Volumen

El volumen es la magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un objeto en el espacio tridimensional.

• Cubo: Volumen = Lado3 (V = L3)
• Prisma recto: Volumen = área de la base x altura (V = A x h)
• Cilindro: Volumen = TT x radio2 x altura (V = TTr2h)
• Esfera: Volumen = (4/3) X TT x radio3 (V = (4/3) TTr3)
• Cono: Volumen = (1/3) X TT x radio2 x altura (V = (1/3)TTr2h)

Modelos Económicos

Relación Lineal de Demanda

Muestra cómo la cantidad demandada de un bien o servicio varía en función de su precio.

Qd = a - bP (a) y (b) son constantes que dependen del bien específico y del contexto. La pendiente negativa (-b) indica que, en general, cuando el precio aumenta, la cantidad demandada disminuye. Qd = cantidad demandada P = precio del bien o servicio a = intercepto de la demanda, representa la cantidad demandada, cuando el precio es 0 b = pendiente de la demanda, negativa.DEMANDA

PRECIO CANTIDAD

Relación Lineal de Oferta

Representa cómo la cantidad ofrecida de un bien o servicio cambia en respuesta a cambios en su precio.

Qs = a - bP Qs = cantidad ofrecida P = precio del bien o servicio a = intercepto con el eje de cantidad ofrecida, cuando el precio es 0 b = pendiente de la oferta, positiva. Nota: una cantidad ofrecida negativa, indica que no hay oferta en este precio.

OFERTA PRECIO CANTIDAD

Modelo de Isocostes y Modelo No Lineal Isocuantas

CAPITAL Isocuanta e isocosto Isocuanta Punto de equilibrio Isocosto TRABAJO

Isocostes (Líneas de Coste Constante)

Están relacionados con los costos. Responden a la pregunta ¿Cuál es tu capital y en qué lo vamos a invertir? Representan todas las combinaciones de trabajo y capital que se pueden comprar con ese presupuesto.

Ecuación de la línea de isocostes: C = wL + rK C = costo total w = costo de la mano de obra L = cantidad de trabajo r = es el costo por unidad de capital K = cantidad de capital

Isocuantas (Curvas de Producción Constante)

representan todas las combinaciones posibles de dos factores de producción (como, trabajo y capital) que generan la misma cantidad de producción. las isocuantas te dicen ¿Qué producir? (representan tus objetivos de producción).

Q = f (L, K) Q = cantidad de producción deseada L = cantidad de trabajo utilizadoK = cantidad de capital utilizado

Modelo de Costos

Permite comprender los detalles de los gastos y comprender exactamente cómo se distribuyen los recursos financieros. Desde los costos fijos, como el alquiler y los salarios, hasta los costos variables, como los materiales y la mano de obra directa, cada aspecto de tus gastos se desglosa meticulosamente. Relaciona los costos de producción con la cantidad producida.

C(x) = F + V(x) Y = mx + b CT = CV + CF CT = costo total de producción CF = costos fijos totales CV = costo variable (depende del número de unidades producidas, (x))

Ventas y Costos Ventas Utilidad Costos Totales Equilibrio Ve Costos Variables 1 Pérdida + Costos Fijos - - Qe Producción

Modelo de Depreciación (Lineal)

Es un método contable que distribuye uniformemente el desgaste o pérdida de valor de un activo a lo largo de su vida útil Se caracteriza porque expresa el valor en función del tiempo y no del uso.

fórmula depreciación anual utilizando el método de línea recta es: Gasto de depreciación anual = (Costo del activo - valor Residual) / vida útil

Depreciación Acelerada (Método de la Doble Tasa Decreciente)

permite una depreciación más acelerada al inicio, lo que refleja mejor la realidad de la devaluación de ciertos activos.

Gasto por Depreciación Anual = 2 x Vida Útil 1 x Valor en Libros del Activo Gasto de depreciación por año = 2 * (1 / vida útil) * costo maquinaria

Depreciación por Unidades de Producción

Es una técnica contable que asigna la depreciación de un activo fijo en función de la cantidad de unidades producidas o utilizadas durante su vida útil. En lugar de distribuir uniformemente la depreciación a lo largo del tiempo, este método se basa en la actividad real del activo

Depreciación por Unidad Costo del Activo - Valor Residual Unidades Totales Estimadas de Producción Depreciación por unidad = (Costo del activo - Valor residual) / Unidades totales estimadas a producir

Costo del Activo - Valor Residual Gasto por Depreciación Anual = Vida Útil

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Es un conjunto de dos o más ecuaciones, cada una con dos o más incógnitas. La solución de este sistema es un conjunto de valores para las incógnitas que satisface todas las ecuaciones simultáneamente.

Métodos para Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Aquí te presento tres de los más comunes:

• Método de sustitución: Despejando una de las incógnitas (X) en una de las ecuaciones y sustituyendo su expresión en la otra ecuación y resolvemos para (Y).
• Método de reducción (o eliminación): Sumamos o restamos las ecuaciones para eliminar una de las incógnitas.
• Método de igualación: Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones y luego igualamos las expresiones resultantes para encontrar el valor de la otra variable. Despejamos Y en la primera ecuación y luego igualamos, sustituimos este valor de Y en la segunda ecuación y resolvemos para X.
• Método de representación gráfica: También podemos graficar las ecuaciones en el plano cartesiano para encontrar la solución como el punto de intersección de las rectas o curvas. Es una forma visual de resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Punto de Equilibrio de Mercado

Se refiere al momento en que la cantidad demandada de un bien o servicio es igual a la cantidad ofrecida por los vendedores.

p (precio) p = S(x) Punto de equilibrio Escasez Abundancia Pe p = D(x) > x (unidades) xe

Punto de Equilibrio de Producción

Es el nivel en el que los ingresos generados por la venta de bienes o servicios igualan exactamente los costos totales asociados con esa producción. Es el punto en el que la empresa ni gana ni pierde dinero. Responde a la pregunta: ¿ Cuántas unidades debemos producir para cubrir nuestros costos y comenzar a generar ganancias ?.

Punto de Equilibrio (en unidades) = CF Precio de Venta - Costo Variable por Unidad Punto de Equilibrio en unidades = Costos Fijos / Precio de Venta Unitario (Pvu) - Costo Variable Unitario (Cvu)

Modelo de Inversión

Se refiere al proceso de evaluar y tomar decisiones sobre proyectos o activos que requieren una inversión de capital.

Retorno de la Inversión (ROI): ROI = Beneficio Neto de la Inversión Costo de la Inversión

1. Costo total adicional de la producción: