El lenguaje algebraico: símbolos, números y su evolución histórica

Introducción y planteamiento del problema

El Diccionario de la Real Academia define Álgebra cómo la rama de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando números, letras y signos. Una definición más intuitiva podría ser el estudio de las operaciones desconocidas sobre cantidades desconocidas. La cuestión es que, a medida que avanza el tiempo, el concepto de lo que es el Álgebra ha ido variando y por tanto no existe una respuesta clara a cuándo empieza el Álgebra o qué partes de las matemáticas son o no son Álgebra. Como nota curiosa, Álgebra significaba originalmente "arte de recomponer" y se aplicaba normalmente a huesos, de modo que en la Edad Media no eran raros los carteles de "algebrista, cirujano y barbero". En el Quijote, de hecho, es un algebrista el que cura los huesos rotos al bachiller Carrasco. Hasta ese punto se ha modificado el significado de la palabra Álgebra.

Enfocaremos el problema comenzando por la versión actual del lenguaje algebraico para después analizar la Historia el Algebra. Comoquiera que no hay una respuesta clara o dónde empieza el lenguaje lógico y donde el algebraico, expondremos las contribuciones a las matemáticas y su lenguaje que pueden o no ser consideradas Álgebra y dejaremos que el lector decida decida por sí mismo qué partes son Álgebra, cuáles Lógica y cuáles corresponderían a otras secciones de las Matemáticas como la Aritmética.

De hecho, hay escuelas de la matemática que consideran que el lenguaje lógico y el algebraico son indistinguibles o que el segundo es un subconjunto del primero. No tomaremos partido en esta discusión sino que definiremos las cantidades de lenguaje algebraico aunque cierto sentido puedan considerarse en parte lógicas.

Justificación didáctica y relaciones con otras materias

El lenguaje algebraico se utiliza en mayor o menor medida en todos los cursos de Secundaria. En cuanto a la parte de historia, por versar sobre cuestiones de cultura general matemática, tiene significatividad en todos los cursos tanto de la ESO como de Bachillerato. Con los alumnos podría ser abordado mediante:

• Actividades o proyectos interdisciplinares (en coordinación con los departamentos de Historia y/o Filosofía)
• Actividades extraescolares. Como introducción a las distintas unidades didácticas.
• En el Plan de lectura, escritura e investigación (PLEI). (esto sólo en Asturias).

Hoy en día, donde haya Matemáticas hay lenguaje algebraico, por lo que se aplica a prácticamente todo. Veremos más adelante algunas aplicaciones del enfoque actual en las propias Matemáticas.

El lenguaje algebraico: símbolos y números

Como ocurre habitualmente en Matemáticas, el orden lógico de exposición no coincide con su desarrollo a lo largo de la Historia. Es por ello que dedicaremos un breve apartado a presentar el lenguaje matemático tal y como se concibe hoy en día para luego indicar cómo fue su evolución histórica.

Definiciones básicas del lenguaje algebraico

Un lenguaje formal viene dado por los siguientes elementos:

• Una cantidad finita de símbolos.
• Un conjunto de reglas que determinan cuándo una concatenación finita de símbolos es una fórmula bien definida.

Así, en el lenguaje algebraico, la expresión 1+ = 2 < 1 > 3 es una expresión sin sentido, en tanto 2+2 = x es una fórmula bien definida. Nótese que una fórmula bien definida puede ser falsa, como 2 + 2 = 5 pero sí tiene sentido.

Es preciso distinguir entre símbolos primitivos y símbolos derivados. Los primeros se usan sin definición, en tanto los segundos se definen a partir de los primeros. Así, si se utiliza la teoría aritmética de Peano, 1 y o [siguiente de] son símbolos primitivos en tanto 2 es un símbolo derivado pues es 2 = o(1). Naturalmente, dependiendo del sistema axiomático que se tome, los símbolos primitivos en un lenguaje pueden ser derivados en otro.

Construcción del lenguaje algebraico

Los símbolos son de cinco tipos:

1. Variables: Denotadas x1, x2, ... o tambien habitualmente con las últimas letras del alfabeto.
2. Constantes y números: Denotadas a1, a2, ... o también habitualmente con las últimas letras del alfabeto. Los números [naturales] son un caso particular de constantes denotadas mediante la concatenación finita de los dígitos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. El resto de conjuntos de números se definen a partir de ellos y se denotan usando símbolos especiales como - para los negativos, / para las fracciones o caracteres especiales como T
3. Funciones n-dimensionales: Denotadas con letras usualmente minúsculas y paréntesis como f(, ) o con símbolos especiales como +. Así, la función suma es una función bidimen- sional que se representa f(x, y) o x+y
4. Predicados n-dimensionales: Expresan propiedades (si son unidimensionales) o relaciones (si tienen más de una dimensión). Se denotan con letras normalmente mayúsculas y paréntesis o con símbolos especiales como ≤.
5. Conectores primitivos: Son el negador -, el conjuntor A, el implicador => y el generalizador ∀

A partir de los símbolos se definen los términos o expresiones algebraicas:

1. Las variables y constantes son términos.
2. La aplicación de una función n-dimensional a n términos es un término.
3. Nada más es un término.

Así, 2 + (3+ x) es una expresión algebraica pero 2 + +2 no lo es. Nótese que hay muchísimos símbolos habituales que se definen a partir de los anteriores. Por ejemplo, (Ex)a se define como -(Vx)(-a)

Los predicados y los símbolos lógicos dan las fórmulas bien definidas o fbd:

1. La aplicación de un predicado n-dimensional a n términos es una fbd.
2. Si a y ß son fdf y x es una variable, a, a A B, a => By (Vx) (a) son fdf.
3. Nada más es una fdf.

Así, (x)(x +1 <2) es una fórmula bien definida pero x => 2 no lo es.

Todo el lenguaje matemático puede construirse a partir de estos elementos, que forman la Lógica de Primer Orden, si bien existe controversia sobre si es el fundamento más adecuado. También existen diversas opiniones sobre cuánto es Álgebra y cuánto es Lógica, pero hay pocas dudas de que los términos son Álgebra y las relaciones o predicados también. Dejamos al lector que saque sus propias conclusiones sobre las fórmulas bien definidas.

Importancia del desarrollo del lenguaje algebraico y problemas que resuelve

Como ya hemos indicado, el apartado anterior describe el producto final, pero no ha sido ese el desarrollo histórico. Los problemas que ha ido resolviendo el lenguaje algebraico han ido parale- los a su Historia. Podemos distinguir tres fases del desarrollo del lenguaje, que no del Álgebra propiamente dicha.

• Álgebra retórica: Se caracteriza por una total ausencia de símbolos ya que se empleaba el lenguaje común para resolver problemas. No añade nada a la resolución verbal, como es obvio.
• Álgebra sincopada: Se introducen algunas abreviaturas. El único añadido es hacer las resoluciones más cortas y comprensibles. No debe subsestimarse este avance, no es en modo alguno pequeño.
• Álgebra simbólica: Corresponde a la notación simbólica actual. Permite no solo la brevedad y facilidad de comprensión sino un procedimiento automático para la corrección de los resultados. Puede incluso verificarse con ordenadores.

Como un ejemplo de la aplicación del Álgebra simbólica, veamos la demostración de que 2+2 = 4. Se trata de un esquema, la resolución puramente formal requeriría definir explícitamente símbolos y reglas de inferencia. Requiere las definiciones previas 2 = 1+ 1, 3 = 2+ 1 y 4= 3+ 1.

1. 2+2=2+(1+1). Definición de 2.
2. 2+(1+1)=(2+1)+1. Asociatividad de la suma.
3. (2+1) +1 = 3+ 1. Definición de 3.
4. 3 + 1 = 4 Definición de 4
5. 2 + 2 = 4. Transitividad de la igualdad en los pasos 1-4

Esta demostración, si se escribiera de modo puramente formal, podría ser entendida y verificada por un ordenador, eliminado prácticamente la posibilidad de error humano en la construcción de las Matemáticas.

Evolución histórica del Álgebra

A continuación se ofrece un repaso de los hechos históricos más relevantes en la evolución del Álgebra, se refieran o no al lenguaje algebraico.

El Álgebra como parte de la Aritmética en la Antigüedad

Las primeras civilizaciones y el Álgebra

Los registros históricos más antiguos de producciones algebraicas pertenecen a los pueblos egipcios y babilónicos.

En Egipto el Álgebra se concentró en la resolución de ecuaciones lineales del tipo ax = b, las cuales resolvían mediante regla de tres o regla de la falsa proporción. Esta última, también conocida como "regula falsi", consiste en asignar un valor inicial a la incógnita, comprobar si es correcto y en caso contrario hallar la solución mediante proporciones.

Además, tenían conocimientos sobre fracciones de numerador 1, progresiones aritméticas y geo- métricas y resolución de raíces cuadradas.

En Mesopotamia el desarrollo del Álgebra fue significativamente superior al del pueblo egipcio. Los babilónicos emplearon un sistema de numeración posicional en base 60 pero que no contenía el cero. Este sistema les permitió alcanzar logros como los siguientes:

• Resolvían sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas.
• Resolvían algunas ecuaciones de grado 2 y grado 3.
• Hallaron un algoritmo para calcular Vx.
• Desarrollaron el binomio (a + b)2 mediante procedimientos geométricos.
• Elaboraron unas tablas de valores de las ternas pitagóricas.

El Álgebra también fue desarrollada en China desde la Antigüedad. Los algebristas chinos son los primeros en establecer reglas para operar con números negativos, aunque no aceptaban las soluciones de este signo. Además, conocían técnicas de resolución de ecuaciones indeterminadas sencillas y técnicas de aproximación para la resolución de ecuaciones de tercer grado. Este progreso, a diferencia del Occidental no se vió interrumpido por la Edad Media y alcanzó su cúspide en el siglo XIII.

Grecia y las aportaciones al Álgebra

Los matemáticos griegos son conocidos por su dominio de la geometría y menos por la rama algebraica, aunque en este campo también realizaron importantes aportaciones. Las figuras más notables de este periodo son Euclides y Diofanto.

Euclides, entre otros importantes logros geométricos, probó la existencia de infinitos números primos y resolvió por métodos geométricos ecuaciones del tipo x2 + ax = a2.

Diofanto es considerado por algunos autores como el precursor del Álgebra moderna. En su obra "Aritmética" realiza un estudio sobre ecuaciones cuyos coeficientes e incógnitas toman un valor entero. Su contribución más destacada es el empleo de una notación algebraica sincopada. Diofanto introdujo ciertos símbolos que actualmente no utilizamos pero que supusieron una novedad para la época. Así, fue el primer autor en introducir un símbolo literal para representar la incógnita.