División y Divisibilidad: Conceptos y Algoritmos en Matemáticas

La operación aritmética de dividir

Concepto de división

La división es una operación aritmética que consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en otro (dividendo). El resultado de la división se denomina cociente. Existen dos tipos de división: la división «exacta» y la «división con resto».

Existen diversas formas y símbolos para indicar la división 8 8:4 8 4 , , , 8 - 4 , 4 4 )8

Como operación, la división no mantiene muchas de las propiedades de las demás operaciones. No cumple la propiedad conmutativa, no cumple la propiedad asociativa y no se puede dividir por cero.

La propiedad fundamental de la división es Dividendo = divisor x cociente + resto.

Situaciones de división

La división está asociada a situaciones de reparto, y como tal reparto, puede efectuarse en dos modos:

• Reparto sustractivo: descontar siempre la misma cantidad. Considerando esta primera noción, al igual que la multiplicación se puede considerar como una suma repetida, la división puede considerarse como una resta repetida. Veamos un ejemplo: 77 elementos divididos entre se calcularía del siguiente modo: 77 - 9 - 9 -9 ... Esta resta puede hacerse 8 veces, y al final quedará un resto sin repartir de 5 elementos.
• Reparto distributivo: repartir en grupos iguales. Considerando esta noción, la división es la operación inversa de la multiplicación, y dividir una cantidad entre un número de elementos consiste en encontrar un número que, repetido una cantidad de veces, se aproxime lo más posible al primero. Con los mismos datos del ejemplo anterior, el resultado de dividir 77 entre 9 sería 8, porque, utilizando la tabla de multiplicar comprobaríamos que 9 x 8 = 72 y éste es el número más próximo a 77, quedando un resto sin repartir de 5.

1 Matemáticas y su Didáctica. Profesor: Luis M. Casas García Universidad de Extremadura. Facultad de EducaciónTal como ocurre en el caso de la multiplicación, ninguna de las dos situaciones anteriores se puede aplicar al caso de la división de fracciones.

Aunque, puede darse sentido intuitivo a la división de una fracción entre un número entero, es difícil dárselo a la división entre dos fracciones: ¿Qué sentido tiene dividir 6/5 entre 2? ¿ Qué sentido tiene dividir 6/5 entre 2/3?

En este caso, tiene que aplicarse el sentido más puramente matemático de la operación, y la división entre fracciones se define como la multiplicación por el inverso. Se considera, pues la división como operador.

Hablando en sentido estrictamente matemático, la división no es una operación (ley de composición interna) pues a diferencia de la suma, la resta o la multiplicación, la división entre números enteros no está siempre definida; en efecto: 4 dividido 2 es igual a 2 (un número entero), pero 2 entre 4 es igual a 1/2, que ya no es un número entero.

Otra forma de entender la división, que puede considerarse como un reparto distributivo, es considerar el número de veces que número pequeño está contenido en otro mayor. En este caso consideramos la división como razón.

En inglés se dice "Three goes into twelve four times", para significar lo que en español decimos "Doce entre tres cabe a 4"

Enseñanza del algoritmo de la división

Para la enseñanza del algoritmo de la división, debemos seguir las etapas de enseñanza y aprendizaje de las operaciones anteriormente descritas para la suma resta y multiplicación: manipulativa, verbal, gráfica y simbólica.

División por una sola cifra en dividendo y divisor

Este concepto se introduce aprovechando situaciones de reparto sustractivo o distributivo. Lo más importante es que los alumnos comprendan la relación Dividendo = divisor x cociente + resto.

División con varias cifras en el dividendo y una sola en el divisor

De forma manipulativa, se puede introducir la división mediante el material multibase. Para dividir 453 entre 4 El procedimiento sería el mismo que el empleado en la suma y la multiplicación, es decir, consistiría en repartir, en primer lugar, las 4 centenas, con lo que correspondería una 2 Matemáticas y su Didáctica. Profesor: Luis M. Casas García Universidad de Extremadura. Facultad de Educacióncentena a cada uno. Después se repartirían las 5 decenas, correspondiendo una a cada uno. Por último habría que repartir la decena restante, que se transformaría en 10 unidades. Añadiendo estas unidades a las dos restantes, tendríamos 12 unidades, que repartidas entre 4 darían como resultado 3 unidades para cada uno. El resultado final sería 1 centena, 1 decena y 3 unidades (113) para cada uno.

Con este mismo material se trabajan las primeras dificultades de la división. Pero su uso es limitado a divisiones con cantidades pequeñas tanto en el dividendo como en el divisor.

La división es quizá la operación que presenta un algoritmo más rígido, en el que no caben muchas adaptaciones personales. En la multiplicación o en la suma e puede cambiar el orden de los factores, o agruparlos en distinta forma, la resta puede hacerse por descuento o por complementación, ... pero en la división no caben estas posibilidades.

Es además, la única en que el algoritmo se comienza por la izquierda.

Es el paso previo para el aprendizaje del algoritmo general, con varias cifras en el divisor. Pero este algoritmo tiene muchas dificultades y requiere un proceso largo de mecanización, para su aprendizaje.

Es muy importante, para la adecuada comprensión del algoritmo, trabajar otros algoritmos alternativos, aunque el objetivo final sea la mecanización del algoritmo estándar.

Algoritmo expandido en reparto distributivo

Ejemplo: 3496 : 8 3496 = 3200 + 240 + 56 : 8 : 8 : 8 4×100 3×10 7 =437

Algoritmo expandido en reparto sustractivo

Ejemplo: 3496 : 8 400×8 = 3200 400 veces 3496 - 3200 = 296 30x8 = 240 30 veces 296-240 = 56 8x7= 56 7 veces Total: 437 veces

Algoritmo extendido

2485 2 3 -2 3 108 1 8 -00 185 - 184 I 3 Matemáticas y su Didáctica. Profesor: Luis M. Casas García Universidad de Extremadura. Facultad de EducaciónEste algoritmo tiene una ventaja, y es que permite que los alumnos comprendan cómo la división es un proceso de resta repetida. Pero tiene el inconveniente de que es más lento que el que habitualmente utilizamos.

Algoritmo estándar

2485 23 185 108

Este algoritmo es uno de los más complicados para los alumnos de Primaria. Hasta tal punto es complicado este algoritmo que, en la Edad Media, en la forma en que en la época se empleaba, no muy distinto del actual, era un conocimiento impartido en la Universidad.

El aprendizaje del algoritmo estándar de división necesita del dominio de unos aprendizajes previos:

• Correcta orientación espacial y temporal: derecha, izquierda, antes, después, arriba, abajo.
• Suficiente mecanización de la suma.
• Conocimiento de las tablas de multiplicar.
• Conocimiento de la secuencia del algoritmo.

Particularmente importante en el dominio del algoritmo de la división es el dominio del cálculo mental para las estimaciones en los repartos ("a cuanto cabe") y para las restas sucesivas.

División egipcia

Este algoritmo se basa en el de la multiplicación y utiliza el proceso de duplicar y sumar. Se coloca en la columna de la izquierda el divisor, y se va duplicando hasta que se llegue a un número que, duplicado, sería mayor que el dividendo. En la columna de la derecha se empieza por 1, y también se va duplicando. Se suman los factores de la columna de la izquierda hasta que se obtiene el dividendo o uno próximo a él. El cociente será formado por la suma de los números de la columna derecha enfrentados a dichos factores.

Ejemplo sin resto: 45: 9 9 1 18 2 36 4 45 = 36 + 9, luego el resultado son 4 + 1 = 5.

Ejemplo con resto: 389 :19 19 1 38 2 76 4 152 8 304 16 389 = 304 + 76 y 9 más, de modo que el resultado es 16 + 4 = 20 y el resto 9.

Con este método el resto se podía seguir dividiendo y aproximar a la división exacta utilizando fracciones unitarias (numerador igual a la unidad). 19:4 4 1 8 2 16 4 El resultado serían 4 y sobran 3 4 Matemáticas y su Didáctica. Profesor: Luis M. Casas García Universidad de Extremadura. Facultad de EducaciónSe puede seguir dividiendo, ahora a partir del 4, eligiendo dividir por la mitad en cada columna, de modo que sería: 1 1/4 2 1/2 4 1 8 2 16 4 Y ahora 3 correspondería a los factores 1/2 y 1/4. El resultado final sería 19:4 = 4 + 1/2 + 1/4

19 :8 8 1 16 2 4 1/2 2 1/4 1 1/8 El resultado sería en principio, serían 2 y sobran 3. Después, continuando, sería 2 + 1/4 + 1/8.

19 : 9 9 1 18 2 3 1/3 1 1/9 El resultado sería en principio, serían 2 y sobran 1. Después, continuando, sería 2 + 1/9.

El procedimiento para elegir la fracción correcta era aproximado, pues no es fácil acertar si lo correcto es dividir por la mitad, por 3, etc ..

Algoritmos no convencionales

Existen otros algoritmos no convencionales, cuyo interés radica en la comprensión de las propiedades de las operaciones de suma, resta y multiplicación que son aplicadas en la división.

Entre estos algoritmos están el de "La Galera". Utilizado en Europa hasta el siglo XVII, y el algoritmo anglosajón, aún utilizado en la actualidad.

425 GAICI PER FIGURE 7 T PER 8 2 850 - 8 05 - 4 147534 10 - 10 0 Fig. 21 -AN ELABORATE FORM OF GALLEY DIVISION. División por "La Galera" Algoritmo anglosajón http://www.mamutmatematicas.com/lecciones/como ensenar algoritmo_division.php http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n por galera 5 Matemáticas y su Didáctica. Profesor: Luis M. Casas García Universidad de Extremadura. Facultad de Educaciónhttp://www.slideshare.net/espositosandra/anlisis-de-procedimientos-algortmicos-no- convencionales

Errores en el algoritmo de la división

Las dificultades en el cálculo mental son fuente de los errores más frecuentes en el algoritmo de la división, que son los siguientes:

• Separaciones no adecuadas de cifras del dividendo para iniciar la división. 2136 2 9
• Errores en los cálculos mentales de ir restando a medida que se realizan las multiplicaciones parciales. 34278 52 4 7
• Reproducción de los mismos errores que en la en la resta y la multiplicación. 11068 56 2475 4 26 6 1 3 9 1×6 = 6 a 0, 6 ..... 9x6= 54 a 57, 3 me llevo 5 5 y 2 = 7, por 9 me da 63 ; me paso, entonces a 8.
• En las aproximaciones parciales del cociente dejar restos parciales superiores al divisor. 23546 4 75 4
• Omitir ceros en el cociente. 20464 5 046 492 14 4

Materiales y recursos para la enseñanza de la división

Se emplean los mismos que para la multiplicación.

Prueba del 9

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