Las Operaciones Aritméticas: Multiplicación, Universidad de Extremadura

Las Operaciones Aritméticas: Multiplicación

Concepto de multiplicación

La operación aritmética de multiplicar - Concepto de multiplicación. Las situaciones de multiplicación se asocian a las acciones de: reiterar, repetir, contar a saltos, duplicar, triplicar, hacer tantas veces mayor, etc. y también a las calcular las combinaciones de los elementos de dos conjuntos. La multiplicación, pues, tiene dos significados:

Significados de la multiplicación: Razón

1 .- Razón. La razón es la relación entre dos números, definida como el cociente de un número entre otro. Ejemplos: precio unitario x cantidad, objetos x número de veces que se repiten. El precio de tres objetos está contenido 3 veces en el precio de un objeto: la razón de 3 a 1 es 3, por eso decimos que 3x1 = 3. La cantidad de 14 objetos está contenida 7 veces en la cantidad de 2 objetos: la razón de 14 a 2 es 7, por eso decimos que 2x7 = 14. En este caso, suele considerarse la multiplicación como un caso particular de la suma, en el que sumamos sumandos iguales. Psicológicamente, la multiplicación es más difícil que la suma, porque mientras en ésta intervienen dos cantidades de igual naturaleza (peras con peras, manzanas con manzanas, ... o peras con manzanas, pero el resultado son "frutas"), en la multiplicación, los números son de distinta naturaleza: el multiplicando es un número de objetos concretos (lápices, dinero, ... ), mientras que el multiplicador puede ser un objeto abstracto (veces), y el resultado en ocasiones es de la misma naturaleza que el primero (4 peras 8 veces son 32 peras) y otras no (5 metros x 4 metros = 20 metros cuadrados).

Significados de la multiplicación: Producto cartesiano

2 .- Producto cartesiano. Ejemplos: combinaciones de prendas de ropa, parejas de baile, ... combinaciones, en general, de dos factores. A = B= L M N R S T Y z L, R L, S L,T L,Y L, Z Ax B= azul verde rojo camisa M. R M, S M,T M,Y M, Z pantalón N, R N, S N.T N.Y N, Z 3 x 4 = 12 3x2 También son objetos de distinta naturaleza: chicos x chicas y el resultado son "parejas".

1 Matemáticas y su Didáctica. Profesor: Luis M. Casas García Universidad de Extremadura. Facultad de EducaciónHay otra concepción de multiplicación, que es la de operador. En matemáticas una operación es la acción de un operador sobre los elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce técnicamente como ley de composición. En el caso de las fracciones, ninguno de los dos significados anteriores tiene un sentido fácil. Si multiplicamos 1/4 x 1/2 ¿Cuántas veces se repite 1/4? ¿ Cómo se hace el producto cartesiano de 1/4 de objeto con 1/2 de objeto?

Situaciones multiplicativas

- Situaciones multiplicativas. Como en el caso de la suma y la resta, el aprendizaje de la multiplicación debe partir de situaciones en las que el alumno pueda comprobar que esta operación es una forma más rápida para resolver las sumas de sumandos iguales: es mejor hacer 8 x 56 que sumar 56, 8 veces o sumar 8, 56 veces. Para ello, empezaremos resolviendo los problemas tanto con sumas como multiplicación, hasta que el alumno descubra que multiplicar es más rápido y cómodo. Los siguientes ejemplos corresponden a situaciones multiplicativas, que plantearemos en forma de problemas:

5 3- 15 manzanas 3x5 e 6 x 7 n CID CID 6 + 6 12 6x2 30 x 3 13 x 10 x 2

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Enseñanza del algoritmo de la multiplicación

- Enseñanza del algoritmo de la multiplicación Para la enseñanza del algoritmo de la multiplicación, debemos seguir las etapas de enseñanza y aprendizaje de las operaciones anteriormente descritas para la suma y la resta: manipulativa, verbal, gráfica y simbólica. Multiplicación por una sola cifra en ambos factores. Enseñanza de las tablas de multiplicar. El aprendizaje de las tablas de multiplicar es una de las tareas que consumen más tiempo y energías tanto de los alumnos como de sus profesores. Aunque el aprendizaje se inicia habitualmente en 2º curso de primaria, no llegan a dominarse hasta 3° (y en algunos casos 4°), y ello con mucha práctica. Las tablas, tradicionalmente, se han aprendido por repetición y práctica. Pero eso no es lo único que hacen los alumnos (al menos los buenos), sino que basan su aprendizaje en otros conocimientos. Si no fuera así, sería tan difícil aprender la tabla de multiplicar como aprender una tabla de números aleatorios. Para aprovechar este hecho, debemos respetar algunos principios:

1. - Antes de comenzar el aprendizaje de las tablas, el alumno debe dominar procesos básicos de numeración y suma, particularmente los siguientes:
   • - Composición y descomposición de números hasta 10.
   • - Series numéricas: contar verbalmente de 2 en 2, de 10 en 10 y de 5 en 5.
   • - Concepto de doble de un número: conocer de memoria los dobles de los números hasta 10.
2. - Antes de aprender las tablas de memoria, hay que construirlas de forma que tengan sentido para los alumnos. Por ejemplo, para aprender a leer, aprendemos las vocales prácticamente "de memoria" por repetición, pero una vez que sabemos las vocales, no es necesario que también aprendamos de memoria "ma, me, mi, mo, mu" o "ta, te, ti, to, tu", sino que los niños saben que siempre empiezan con "m ... " o con "t ... " y tienen una terminación distinta pero que ya conocen. Si todo se aprendiera de memoria y por repetición y práctica sería muy tedioso. La aproximación habitual es hacerlo a partir de series crecientes, de modo que la tabla del 2 es una serie de 2 en 2, la tabla del 3 es una serie creciente de 3 en 3, y así sucesivamente.

0 9 «3» bolsas con «3» caramelos cada una. «3» veces «3» = «9» = «3» × «3» = 9 caramelos. «3» bolsas sin ninguna canica. «3» veces «0» canicas = «ninguna» canica = 0 canicas.

1. - Cuando se construyen las tablas, es importante enseñar a los alumnos a observar ciertas regularidades que les ayudarán a memorizar. Entre ellas podemos señalar las siguientes, que son habitualmente utilizadas por ellos:

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• - la tabla del 5 tiene como regularidad que las unidades siempre acaban en 0 o en 5
• - en la tabla del 9 las decenas van aumentando y las unidades disminuyendo.
• - en la tabla del 4 los resultados son los mismos que en la del 2, pero saltándose lugares.

1. - Para memorizar, se utilizan algunas propiedades de la operación. Particularmente importantes son las siguientes:
   • - Propiedad conmutativa: 8 x 7 = 7 x 8.
   • - Propiedad distributiva: 8 x 6 = 8 x (5 + 1) = 8 x 5 + 8 = 48.
   • - Multiplicación por la unidad seguida de ceros: 4 x 10 = 40.
2. - La clave está en observar, respetar y fomentar las estrategias personales de cálculo. Algunas de las más utilizadas por los alumnos son:
   • - Conmutatividad 6x7 = 7x6
   • - Multiplicar por 10.
   • - Dobles, sobre todo cuando los dobles no implican "llevarse". Por esa razón, es más fácil el doble de 14 que el doble de 16.
   • - Mitades en el caso de multiplicar por 5, es la mitad que multiplicar por 10.
   • - Multiplicar por algo conocido y añadir (o restar) una vez: 5 x 6 es lo mismo que 5x5, que se lo saben, y 5 más; 5 x 4 es 5 x5 menos 5 (esta es más rara).

En algunos casos, es conveniente enseñarles "trucos" que no descubren por sí mismos, como el caso de la tabla del 9.

9 5 1 6 1 8 6 1/ 3 2 2 7 7 N 9 X 3 8 3 6 8 - 4 9 4 5 9 10 5

1. - Para aprovechar aprendizajes previos, es conveniente aprender las tablas en el siguiente orden:
   • - Tabla del 1. Podría parecer que no tiene sentido enseñar la tabla del 1, pero ayuda a los alumnos a comprender que para recitar las tablas en realidad se manejan dos series a la vez: la serie de 1 en 1 y la serie de números saltándonos según sea la tabla del 2, del 3, etc. de modo que decimos 1 por 1, .. 1 por 2, ... 1 por 3, ...

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• - Tabla del 10. Es fácil, pues únicamente es una serie de 10 en 10 que deben conocer de cursos anteriores. De nuevo repite la estructura de recitado de la tabla: 10 por 1, ... 10 por 2, ... 10 por 3, ...
• - Tabla del 2. Es únicamente una serie de 2 en dos, pero afianza el aprendizaje de la estructura de recitado: 2 por 1, 2 por 2, 2 por 3, ...
• - Tabla del 5. Se aprende a partir de la tabla del 10, ya conocida, pues los alumnos se apoyan en ella y van únicamente añadiendo 5 a cada decena.
• -Tabla del 3. Se aprende como una serie de 3 en 3, que normalmente se ha practicado en cursos anteriores.
• - Tablas del 4 y 8 Se aprenden a partir de los resultados de la tabla del 2.
• - Tablas del 6. Se aprende a partir de los resultados de la tabla del 3.
• - Tabla del 9. Es fácil de aprender para los niños, pues identifican rápidamente que las decenas van aumentando y las unidades disminuyendo. En este caso, los alumnos controlan en su memoria tres series: la serie de 1 en uno para el recitado ( 9 por 1, 9 por 2, 9 por 3, ... ), la serie ascendente de 10 en 10 para las decenas de los resultados (diez y ... , veinte ... , treinta y ... ) y la serie descendente para las unidades (9, 8. 7, ... ). El problema, como comentamos más adelante, es más de capacidad de recuperación de la memoria que de comprensión.
• - Tabla del 7. Esta última es la más difícil de memorizar. Para su aprendizaje, los alumnos suelen aprovechar (y esto hay que fomentarlo) resultados anteriores de otras tablas que ya conocen, y aprovechar las propiedades conmutativa (7 por 3 es lo mismo que 3 por 7) y distributiva (7 por 6 es 7 por 5, y otras 7 más).

1. - Para memorizar y recitar las tablas, hemos de tener en cuenta que en muchos alumnos, el problema no es de comprensión, sino de acceso y recuperación de los datos: no es que no sepan recitar la tabla, sino que no son capaces de concentrarse para recuperarla de su memoria y recitarla sin titubeos. Es muy conveniente ayudarles con técnicas de concentración y, a veces de relajación para acceder de forma ordenada a los datos, aislándose de otros estímulos que les distraen.
2. - Aprender la tabla "cantando", aunque suene anticuado, tiene un fundamento: se aprende mejor lo que se aprende con ritmo. Es conveniente fomentar el establecimiento de este ritmo: cantar todos los alumnos la tabla, llevar un ritmo con la cabeza, con los pies, mentalmente, ...
3. - Verbalizar lo que se hace. El aprendizaje de la tabla de multiplicar tiene un gran componente oral, no sólo a la hora del recitado, sino también a la hora de explicar las propiedades observadas en la multiplicación y las regularidades en las tablas.
4. - Al final, repetición y práctica. Pero al final.

La forma en que aprendemos las tablas en España ayuda a su memorización: enseñamos a los alumnos "2 por 3" como "2 veces 3" y luego seguimos "2x4, 2x5, ... " y eso significa "2 veces 4, 2 veces 5, ... " cuando lo lógico sería "2 veces 3, 3 veces 3, 4 veces 3, ... " Y además, no decimos "veces" sino "por". Dificultades del lenguaje que a veces interfieren en un aprendizaje que es básicamente de tipo oral.

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