Introducción a la trigonometría: justificación, historia y aplicaciones

INTRODUCCIÓN

JUSTIFICACIÓN DE LA ELECCIÓN DEL TEMA

El presente tema se caracteriza por ser coherente e innovador ya que parte del primer nivel de concreción curricular que son las bases legales que regulan nuestro sistema educativo, como la Ley Orgánica 3/2020 (LOMLOE), de 29 de diciembre, por la que se modifica la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo de educación (LOE), la Ley de Educación en Andalucía 17/2007 de 17 de diciembre (LEA), y fundamental e imprescindible la Orden del 30 de mayo de 2023. Las matemáticas, presentes en casi cualquier actividad humana, tienen un marcado carácter instrumental que las vincula con la mayoría de las áreas de conocimiento: las ciencias de la naturaleza, la ingeniería, la tecnología e incluso el arte o la música. En particular, la trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Aunque puede parecer una materia abstracta y teórica, la verdad es que tiene aplicaciones muy prácticas en nuestra vida diaria. Desde la navegación marítima hasta la ingeniería y la arquitectura, la trigonometría nos ayuda a resolver problemas y tomar decisiones importantes.

RESEÑA HISTÓRICA

Se ha tomado como referencia bibliográfica para desarrollar este apartado, los siguientes libros: BOYER, CARL B .: Historia de la matemática e IFRAH, G .: Historia universal de las cifras. Los orígenes de la trigonometría estuvieron motivados por construir una astronomía cuantitativa, predecir trayectorias y posiciones de cuerpos celestes, medir el tiempo, cálculo del calendario, navegación y geografía. Se considera fundador de esta rama de las matemáticas al griego Hiparco (S.II a.C), estando basados sus trabajos en geometría esférica, no plana. Sus trabajos fueron continuados por Menelao y Ptolomeo (S.II). Durante la edad media, existen numerosos trabajos hindúes y árabes sobre trigonometría basados fundamentalmente en los resultados de los antiguos griegos. Los hindúes introdujeron el concepto de seno que conocemos hoy en día, mientras que los árabes desvincularon la trigonometría de la astronomía, realizando interesantes estudios de trigonometría plana. Los europeos no conocieron estos trabajos hasta mediados del S. XV. Euler (S.XVIII) fue el responsable de la nomenclatura trigonométrica que utilizamos en la actualidad.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Comencemos por definir la unidad que, desde el punto de vista matemático, se considera natural para la medida de amplitud de los ángulos. Definición Un radián es el ángulo que, teniendo su origen en el centro de una circunferencia cualquiera, abarca un arco de ésta de longitud igual a su radio. Página 2 de 12

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

Definición Considere unos ejes coordenados cartesianos rectangulares X, Y con origen en 0. Con centro en 0 se traza una circunferencia goniométrica (de radio unidad) y se toma como origen para medir los ángulos del eje 0X. Considere un ángulo a cualquiera en dicha construcción. Y 1 ,D A a I C X -1 B 1 -1 Como podemos observar en la figura, los lados de dicho ángulo a cortan a la circunferencia en C y en A. Por ambos puntos se trazan perpendiculares al eje de abscisas, que cortarán a los otros dos lados en B y D, respectivamente. Con esto, definimos:

1. La función seno es una aplicación del conjunto de los ángulos en el intervalo [-1,1] tal que al ángulo a de la figura le hace corresponder la medida del segmento AB, es decir: sen a = AB.
2. La función coseno es una aplicación del conjunto de los ángulos en el intervalo [-1,1] tal que al ángulo « de la figura le hace corresponder la medida del segmento OB, es decir: cos a = OB.
3. La función tangente es una aplicación de un subconjunto de los ángulos en la recta real tal que al conjunto a de la figura le hace corresponder la medida del segmento CD, es decir: tg a = CD.
4. Las funciones cosecante (cosec a), secante (seca) y cotangente (cotga) son las inversas de las funciones seno, coseno y tangente, respectivamente, es decir: cosec a = sen a (si sena + 0) 1 (si cos a # 0) sec a = - cos a 1 (si tga + 0)

Nota I. Existen ángulos para los que no están definidas la tangente, la cosecante, la secante y la cotangente. Por ejemplo, los valores tg“ y cosec 0 no están definidos. II. Como los valores de las funciones seno, coseno y tangente se miden en cada caso sólo por el eje de abscisas o el eje de ordenadas, el signo de éstas vendrá dado según se encuentre el segmento en la parte positiva o negativa del eje correspondiente. Los signos de las funciones cosecante, secante y cotangente serán los mismos que los de sus respectivas inversas. Teorema (Propiedades fundamentales) Se cumple: i. sen2 a + cos2 a = 1 sen a ii. tga == si cosa # 0 cosa Página 3 de 12 cotg a = tg a 1iii. 1 + tg2 a === = sec2 a iv. 1 + cotg2 a = 1 - = cosec2 a sen2 a

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO CUALQUIERA

Si considero a un ángulo agudo (0 ≤ a <") en la construcción anterior y aplicamos semejanza de triángulos al triángulo AOB, podemos obtener cualquier triángulo rectángulo que tenga el mismo ángulo a, pero que su hipotenusa sea distinta de 1, es decir: M A 1 a O B N Proposición Las razones trigonométricas de un ángulo agudo « pueden expresarse en función de los lados de un triángulo rectángulo cualquiera que lo contenga. Estas razones no dependen del triángulo rectángulo tomado: a) sen a = MN OM hipotenusa cateto opuesto cateto contiguo b) cosa = M : OM hipotenusa c) tga = " MN cateto opuesto ON cateto contiguo

RAZONES TRIGONOMÉTRICA DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS, SUPLEMENTARIOS Y OTROS

Definición Dos ángulos cualesquiera diremos que son complementarios si su suma es un ángulo recto ( rad). Observación Como la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es un ángulo llano, entonces la suma de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo es un ángulo recto, es decir, son complementarios. Aplicando las razones trigonométricas al otro ángulo agudo del triángulo rectángulo MON antes considerado, obtenemos: M π/2-α a O N sen (2-a) ON FOM = cos a MN cos (2- a) = OM OM = sen a Página 4 de 12tg (2- a) = MN ON tg a 1 = cotg a Definición Dos ángulos cualesquiera diremos que son suplementarios si su suma es un ángulo llano (Tt rad). Observación Y M A I I I a I N O B X Nota De forma análoga se pueden calcular las razones trigonométricas de ángulos que difieren " rad, que difieren I rad, del ángulo " - a, de ángulos que difieren " rad y del ángulo opuesto. De esta manera podemos poner las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier cuadrante en función de las de uno del primer cuadrante. Así: · Ángulos que difieren “ rad: - cos "+ a) = - sena tg π + a ) = - cotga sen ( + a ) = cos a 2 · Ángulos que difieren Tt rad: 2 sen(T + a) = - sen a COS(1 + a) = - cos a tg(1 + a) = tga · Ángulos que suman " rad: 3T sen ( 37 S" - a = - cosa cos ("" - a) = - sen a tg · Ángulos que difieren 3" rad: ,- a ) = cotg a 3Tt 2 sen (" + a) = - cos a cos (" + a) = sen a tg ( + a ) = - cotga · Ángulos opuestos: sen(-a) = - sen a cos(-a) = cosa tg(-a) = - tga Página 5 de 12 2 Los triángulos OAB y OMN son congruentes, luego: sen(1 - a) = MN = AB = sen a COS(T- a) = ON = - OB = - cosa tg(Tt -a) = sen(Tt - a) sen a COS(Tt - a) - cos a = - tg a

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA COMPOSICIÓN DE ÁNGULOS

Teorema (Razones trigonométricas de la adición y sustracción de ángulos) Sean a, ß dos ángulos planos cualesquiera, se verifica que: 1) sen(a + B) = sen a · cos ß + sen B · cosa 2) sen(a - B) = sen a · cos ß - sen B · cos a 3) cos(a + B) = cos a · cos ß - sen a · sen ß 4) cos(a - B) = cos a · cos ß + sen a · sen ß Corolario (Razones trigonométricas del ángulo doble) I. sen(2a) = 2 · sen a · cosa II. cos(2a) = cos2 a - sen2 a Nota La fórmula de cos(2a) puede ponerse de varias formas muy útiles, empleando sen2 a + cos2 a = 1. Así: sen2 a = 1 - cos(2a) 2 cos2 a = 1 + cos(2a) 2 tg2 a = 1 + cos(2a) 1 - cos(2a) Corolario (Razones trigonométricas del ángulo mitad) a) sen a = 1-cosa 2 b) cos 1+cosa 2 Corolario (Transformación de sumas o diferencias de razones trigonométricas en productos) a) sen a + sen ß = 2 · sen ". a+₿ a-ß . COS 2 2 b) sena - sen ß = 2 . cos a+B a-ß · sen 2 2 c) cosa + cos B = 2 . cos a+B a-B 2 . COS- 2 d) cosa - cos ß = - 2 · sen 2 a+B 2.senª-B 2 Demostración De las razones trigonométricas del ángulo suma y ángulo diferencia teníamos: · sen(a + B) + sen(a - B) = 2 · sen a · cos ß sen(a + B) - sen(a - B) = 2 . cos a . sen ß · cos(a +B) + cos(a - B) = 2 . cos a . cos ß · cos(a +B) - cos(a-B) = - 2 · sen a · sen ß Haciendo el cambio x = a + B e y = a - B => a = ** Y, B = *- 2 obteniendo el resultado buscado. Nota Usando la propiedad fundamental tg a = cosa - podemos obtener trivialmente (a partir de los resultados anteriores) expresiones para tg(a + B), tg(a-B), tg(2a) y tg Página 6 de 12

TEOREMAS DE TRIGONOMETRÍA

TEOREMA DEL SENO

Teorema (Teorema del seno) Sea ABC un triángulo cualquiera. Entonces a sen A sen B b C sen C Demostración Bastaría probar que a C sen B (análogo para a sen A sen C i. Si ABC es rectángulo, por ejemplo A = - rad, entonces: b a sen B b a = 1 sen A A C B ii. Si ABC es acutángulo, y sea h la altura respecto al vértice C. Entonces: h sen A = - b => h = b . sen A a - sen A b sen B b sen B = -= h = a . sen B A C B iii. Si ABC es obtusángulo, por ejemplo " < A < Tt, y sea h la altura respecto al vértice C. C Entonces: sen(Tt - A) === >h = b · sen(T- A) = b · sen A sen B = - = h = a · sen B h a a sen A b sen B h b a A C £ B

TEOREMA DEL COSENO

Teorema (Teorema del coseno) Sea ABC un triángulo cualquiera. Entonces a2 = b2 + c2 - 2bc · cos A. Análogamente para los lados b y c. Demostración i. Si ABC es rectángulo con A = " rad => cos A = 0. Por el Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 = b2 + c2 -2 · b · c · cos A ii. Si ABC es acutángulo y sea h la altura desde el vértice C, siendo D el pie de la altura. C Aplicando el Teorema de Pitágoras a ADC: b2 = h2 + x2 =>h2=b2-x2 b a ih Análogamente a BDC: a2 = h2 +(c-x)2=b2-x2+c2+x2-2cx = b2 + c2-2cx 113 COS A == >x=b.cos A C a b . 0 A C B b2 + c2 -2bc · cos A A X D C-X B iii. Si ABC es obtusángulo con π 一 2 < A < It y sea h la altura desde el vértice C, siendo D el pie de la altura. Aplicando el Teorema de Pitágoras a ADC: b2 = h2 +x2=>h2=b2-x2 Análogamente a BDC: b sen A C a b a a sen B = h a ih a C Página 7 de 12