Fundamentos de Física para la Ingeniería: Ley de Lorentz y Fenómenos Magnéticos

Fundamentos de Física para la Ingeniería

Tema 14. Ley de Lorentz

Fundamentos de física para la ingeniería Tema 14. Ley de Lorentz

Índice

1. Presentación
2. Fenómenos magnéticos
3. Ley de Lorentz.
4. Movimiento de ciclotrón
5. Selector de velocidades
6. Fuerza sobre un conductor con corriente
7. Definición de una espira de corriente
8. Resumen

Referencias bibliográficas.

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1. Presentación

El fundamento de la tecnología informática reside en el electromagnetismo. Las cargas eléctricas se acumulan en los conductores (por ejemplo, en un condensador) y pueden, por tanto, almacenar información. Además, interaccionan entre sí y se mueven formando corrientes eléctricas. Controlando esas corrientes podemos computar la información almacenada. Pero la descripción de la interacción entre cargas eléctricas no puede limitarse a estudiar la interacción electrostatica. Las corrientes eléctricas también interaccionan entre de otra forma: mediante el campo magnético. Los campos eléctrico y magnético están muy relacionados entre sí, pero con algunas diferencias. La primera y más importante es que el campo magnético solo afecta a las cargas en movimiento. El campo eléctrico, por el contrario, afecta tanto a las cargas en movimiento como a las que no lo están. Por otra parte, solo una carga en movimiento puede crear un campo magnético; mientras que tanto cargas estáticas como en movimiento crean campo eléctrico. Esta unidad está dedicada al estudio del campo magnético. El primer tema está dedicado a la ley de Lorentz, que nos permite calcular qué fuerza magnética actúa sobre una partícula cargada en movimiento. Dedicaremos la primera parte del tema a calcular esa fuerza y a estudiar cómo afecta al movimiento de las partículas. En la segunda parte del tema estudiaremos cómo afecta un campo magnético a un conductor que transporta una corriente eléctrica. La corriente eléctrica consiste en un gran conjunto de cargas en movimiento, cada una de ellas afectada por una fuerza magnética dada por la ley de Lorentz. El efecto neto de todas esas pequeñas fuerzas es una fuerza neta que actúa sobre el conjunto del conductor.

Figura 1. Ondas electromagnéticas

2. Fenómenos magnéticos

Algunos fenómenos magnéticos se conocen desde la antigüedad. Griegos y chinos hablaban hace dos milenios de cómo cierto mineral (la magnetita) atrae al hierro. En el siglo x, posiblemente antes, los chinos construían las primeras brújulas utilizando una aguja magnetizada. En siglos posteriores quedó claro que todos los imanes tienen dos polos magnéticos, llamados norte y sur, y que polos del mismo tipo se repelen mientras que polos de tipo opuesto se atraen. De hecho, la brújula se orienta hacia el norte porque la propia Tierra puede considerarse un gran imán: el polo norte de la aguja se ve atraído por el polo sur de la Tierra. No deja de ser una paradoja que el polo sur magnético de la Tierra se encuentre situado cerca del polo norte geográfico. El conocimiento sobre otros fenómenos magnéticos es más reciente. Hasta el siglo XIX no se probó que una corriente eléctrica produce un campo magnético (H. C. Ørsted, J. B. Biôt y F. Savart, 1820) y que un campo magnético ejerce una fuerza sobre un conductor que transporta corriente eléctrica (A. M. Ampère, 1822). Poco después se comprobó que un campo magnético variable podía inducir una corriente eléctrica (M. Faraday, 1831 y H. F. E. Lenz, 1933). Finalmente, en 1873, J. C. Maxwell terminaba de unir los fenómenos eléctricos y magnéticos enunciando sus famosas leyes del electromagnetismo. Entre otras cosas, las leyes de Maxwell predicen la existencia de ondas electromagnéticas, que incluyen toda una nueva gama de fenómenos. Así, son ondas electromagnéticas la luz, las ondas de radio, las microondas, etc. En todo caso, la investigación sobre los fenómenos magnéticos no ha cesado. Incluso uno de los resultados más antiguos -que todos los imanes tienen siempre dos polos magnéticos, norte y sur- es objeto de debate científico en la actualidad. Algunas teorías sobre la materia establecen que es posible encontrar partículas solo con polo norte o solo con polo sur. En todo caso, aún no se ha encontrado ninguna evidencia experimental sobre la existencia de tales "monopolos magnéticos".

3. Ley de Lorentz

El campo magnético es vectorial, es decir, no queda definido tan solo con un número (módulo), necesita también una dirección del espacio y un sentido dentro de esa dirección. Suele representarse como el vector B(r,t), que en general depende del punto del espacio y del tiempo. Recordemos que, como todo campo vectorial, diremos que el campo magnético es:

• Uniforme si no depende del punto del espacio (puede depender del tiempo).
• Constante si no varía en el tiempo (puede depender del punto del espacio).

La ley de Lorentz nos da la fuerza que ejerce el campo magnético sobre una carga eléctrica en movimiento. Si una carga q se mueve con velocidad ¿, entonces sufre una fuerza magnética dada por el siguiente producto vectorial: Ẩm = qù x B El módulo de la fuerza viene dado por: | Fm| = || |B|sin 0 Donde es el ángulo que forman los vectores velocidad y campo magnético. Vemos que la fuerza es máxima cuando la velocidad es perpendicular al campo magnético; y mínima (de hecho, cero) cuando la velocidad es paralela al campo magnético. En ocasiones escribimos simplemente Fm = qvBsin0, entendiendo que un valor negativo significa un módulo positivo, pero en el sentido contrario. La dirección de la fuerza es perpendicular al plano que forman los vectores velocidad y campo magnético. Este punto introduce una cierta complejidad en el estudio del campo magnético, ya que nos obliga a pensar en tres dimensiones. No es posible realizar un esquema plano de la ley de Lorentz (sin recurrir a algún tipo de perspectiva) porque ningún plano incluye a los tres vectores involucrados en la ley. Si la carga es positiva, el sentido de la fuerza magnética viene dado por la regla de la mano derecha. Si la carga es negativa, la fuerza tiene el sentido contrario.

Regla de la mano derecha

La regla de la mano derecha nos da el sentido de un vector que se obtiene como producto vectorial de otros dos. Hay varias formas de enunciar la regla. Digamos que C = À x B. Entonces:

1. El sentido de Č es el mismo que el de avance de un tornillo que girase desde À hasta B por el camino más corto.
2. Imaginamos los vectores À y B como las agujas horaria y minutera de un reloj. Giramos la aguja horaria hasta hacerla coincidir con la minutera por el camino más corto. Si hemos girado en el sentido del reloj, el producto vectorial entra en el reloj. Si hemos girado en el sentido contrario, el producto vectorial sale hacia afuera del reloj.
3. Alineamos los dedos entre el meñique y el índice de la mano derecha en la dirección del primer vector. Giramos la mano en el sentido en el que se cierran los dedos para formar el puño, hasta llegar a la dirección del segundo vector (por el camino más corto). El pulgar extendido nos da la dirección y sentido del producto vectorial. Esta es la forma que da nombre a la regla.

La ley de Lorentz nos da un primer criterio para saber si en una región del espacio hay un campo magnético o no. A partir de la fuerza que actúa sobre una carga en movimiento en esa región podemos deducir el módulo, la dirección y el sentido del campo. Veamos un ejemplo: Un electrón se mueve horizontalmente hacia el norte, con una velocidad de 2000 km/s, cuando entra en una región con un campo magnético desconocido. Entonces actúa una fuerza sobre él, vertical y hacia arriba, de 0,5 pN. Otro electrón se mueve por la misma región y a la misma velocidad, pero en dirección este, y no experimenta ninguna fuerza. ¿ Qué dirección y sentido tiene el campo magnético? ¿ Qué intensidad tiene?

1. Dirección. Como la fuerza sobre el primer electrón es vertical, deducimos que el vector campo magnético está en el plano horizontal. Según la ley de Lorentz, el módulo de la fuerza depende del seno del ángulo que forman velocidad y campo. Como el segundo electrón no sufre ninguna fuerza, deducimos que en ese caso la dirección de velocidad y campo coincide. Por tanto, la dirección del campo es este-oeste (o viceversa).
2. Sentido. Supongamos que el sentido del campo es de oeste a este, ¿cómo sería entonces la fuerza magnética sobre el primer electrón? Si aplicamos la regla de la mano derecha al producto vectorial de velocidad por campo obtenemos sentido hacia arriba. Pero la carga del electrón es negativa, por lo que el sentido de la fuerza es el contrario: hacia abajo. Como nos dicen que la fuerza es hacia arriba, deducimos que nuestra suposición de que el campo es hacia el este no es correcta. Por tanto, el sentido real del campo es de este a oeste.
3. Módulo. Una vez determinadas dirección y sentido del campo magnético, tan solo tenemos que usar la ley de Lorentz para calcular su intensidad (módulo): F = qu x B => B = F qvsinθ Sustituimos valores para el primer electrón, teniendo en cuenta que en ese caso velocidad y campo son perpendiculares y, por tanto, el factor seno vale uno: (0.5 · 10-12N) (1.6 · 10-19C)(2000 · 103m/s) sin90º = 1.6T En esa región hay un campo magnético horizontal, de este a oeste, y con una intensidad de 1,6 T (la unidad en el Sistema Internacional de inducción de campo magnético se denomina tesla y se representa con la letra T). Se trata de un campo bastante intenso, ya que usualmente suelen ser de milésimas de Tesla. De hecho, en la práctica se utiliza mucho una unidad que no es del S. I., denominada gauss, que equivale a la diezmilésima parte de un tesla.