Fundamentos de Física para la Ingeniería: Interacción entre Cargas Eléctricas

Fundamentos de física para la ingeniería

Tema 3. Interacción entre cargas eléctricas

Índice

1. Presentación
2. Ley de Coulomb I. Enunciado
3. Ley de Coulomb II. Expresión matemática
4. Ley de Coulomb III. Ejemplo
5. Campo de Coulomb
6. Principio de superposición
7. Método algebraico
8. Método geométrico
9. Comparación entre los dos métodos
10. Resumen

Referencias bibliográficas

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Presentación

El campo electrostático más sencillo de todos, y probablemente también el más importante, es el que crea una única carga eléctrica. Las características de este campo fueron determinadas por el físico frances Charles-Augustin de Coulomb en 1785. Para hacernos una idea de la importancia histórica de este descubrimiento, baste pensar que la unidad de carga eléctrica se denomina culombio en su honor.

El campo culombiano, como también se denomina, es la pieza fundamental con la que se construye cualquier campo electrostático, por compleja que sea la distribución de cargas que lo crea. Esto es así en un sentido muy literal: el campo producido por varias cargas eléctricas se obtiene sumando los campos culombianos producidos por cada una de ellas por separado. A este hecho se lo conoce como principio de superposición.

Una vez enunciados la ley de Coulomb y el principio de superposición, el resto del tema lo dedicaremos a desarrollar ejemplos de su aplicación y a repasar conceptos básicos de álgebra vectorial, que tan útil y necesaria nos es para el desarrollo del electromagnetismo.

Ley de Coulomb I. Enunciado

Al estudiar la interacción electrostatica, la situación más sencilla que podemos encontrar es aquella en la que tan solo están presentes dos cargas eléctricas puntuales. Se conoce desde la antigüedad que esa interacción es atractiva entre cargas de signos opuestos, y repulsiva entre cargas de igual signo. También entonces era evidente que la intensidad de la interacción disminuye al separar las cargas. Sin embargo, la forma matemática precisa de dicha interacción se los debemos al físico y militar francés Charles-Augustin de Coulomb, que realizó una serie de cuidadosas mediciones de la interacción electrostática entre dos pequeñas esferas cargadas eléctricamente. La principal dificultad estribaba en medir con suficiente precisión las débiles fuerzas electrostáticas entre las esferas. Para ello, diseñó una balanza de torsión muy sensible. Las conclusiones a las que llegó Coulomb son las siguientes:

• La fuerza electrostática entre dos esferas tiene la dirección del segmento que une los centros de las esferas.

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• Las cargas de igual signo se repelen, las de signos opuestos se atraen.
• La fuerza es directamente proporcional al producto de las cargas.
• La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa los centros de las esferas.

Con estas cuatro proposiciones se caracteriza completamente la interacción entre cargas electrostáticas. La primera nos da la dirección del vector fuerza, la segunda el sentido y las dos restantes el módulo. Aunque algunos científicos anteriores ya sospechaban que la interacción entre cargas seguía una ley así, por su parecido con la ley universal de la gravitación de Newton, el gran logro de Coulomb fue conseguir una precisión en las medidas experimentales suficiente como para poder confirmarlo. No es un paso pequeño: es lo que separa la mera hipótesis de una ley fundamental de la naturaleza.

Limitaciones de la ley de Coulomb

La ley de Coulomb solo es válida para cargas que se encuentran en reposo. Para la interacción entre cargas en movimiento hay que incluir el término magnético y utilizar la ley de Lorentz. De hecho, para una descripción rigurosa es necesario recurrir a la ley de la relatividad especial de Einstein. No obstante, si la velocidad de las cargas es pequeña, la ley de Coulomb sigue siendo una buena aproximación.

Por otra parte, Coulomb supuso que la interacción entre dos esferas metálicas es igual que la interacción entre dos partículas puntuales cargadas. Esto solo es cierto si el radio de las esferas es mucho más pequeño que la distancia que las separa.

Ley de Coulomb II. Expresión matemática

Los cuatro puntos del apartado anterior contienen una descripción de la ley de Coulomb que es precisa, pero no operativa. Es necesario traducir esta ley al lenguaje matemático para poder operar con ella. De hecho, en tiempos de Coulomb el álgebra vectorial no estaba suficientemente avanzada y realizar cálculos con su ley requería ingeniosos y complicados métodos geométricos. Afortunadamente, ahora disponemos de una formulación matemática que es, al mismo tiempo, precisa y operativa.

Supongamos que tenemos dos cargas eléctricas, de valores q1 y q2, situadas en los puntos del espacio descritos por los vectores 11 y 12, llamemos 712 al vector que une la primera carga con la segunda, es decir:

₹12=12-11 = (x2-X1)î + (y2-y1)} + (z2 - Z1)k

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Entonces, la fuerza que experimenta la partícula 2 debido a la presencia de la partícula 1 viene dada por la siguiente expresión vectorial:

F12 = k 9192 ^12 Tř 12 1

Donde k es una constante positiva, llamada constante de Coulomb, cuyo valor es 8,98 7.109 N·m2/C2. Se trata de una fuerza muy intensa, dos cargas de un culombio, separadas un metro de distancia, se repelerían con una fuerza equivalente al peso de 100 toneladas. Si generalmente no experimentamos fuerzas electrostáticas tan intensas es porque las cargas eléctricas involucradas son del orden del nanoculombio o del microculombio a lo sumo.

Debemos destacar que la expresión matemática de la ley de Coulomb contiene la misma información que la descripción en cuatro puntos que dimos en la transparencia anterior.

Interpretación matemática de la ley de Coulomb

Es un buen ejercicio hacer la "traducción" entre ambas descripciones. Veamos, a modo de ejemplo, la traducción del primer punto:

• "La fuerza tiene la dirección del segmento que une las partículas" Vemos que el único término realmente vectorial y, por tanto, responsable de la dirección de la fuerza es f12. Este vector unitario se obtiene dividiendo 712 entre su módulo. Pero es que, de hecho, el vector 712 es exactamente el segmento que una la partícula 1 con la 2.

Ley de Coulomb III. Ejemplo

Veamos ahora un ejemplo concreto de cálculo utilizando la ley de Coulomb. Antes de mirar la solución, se recomienda intentar resolver el problema uno mismo.

Dos cargas eléctricas puntuales, A y B, se encuentran en el plano XY de un sistema cartesiano de referencia. La partícula A tiene una carga positiva de 200 nC y se encuentra en el punto (1 m, 0 m). La partícula B tiene una carga negativa de -100 nC y se encuentra en el punto (0 m, 2 m). Encontrar la fuerza que se ejercen entre sí las dos partículas.

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Solución

Vamos a trabajar siempre con el SI de unidades, así que para simplificar la notación prescindiremos de indicar continuamente las unidades en los cálculos intermedios.

Entonces los vectores de posición de las dos partículas son:

qA9B PA = K PABIZ.

Empecemos calculando la fuerza que ejerce la partícula A sobre la B:

FAB = K QAWB FAR 2 ÎAB

Calculamos el vector que une las partículas y su módulo:

TAB = TB - TA = - î + 2} |TABI= 1(-1)2 + 22 = V5

Calculamos el vector unitario:

TAB = 2 √5 𝚥̂

Finalmente, obtenemos el vector fuerza:

FAB = 9 × 109 (100× 10-9)(-200×10-9) 5 ( 六 +M)=(1.611-3.22)×10-5N

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Notas sobre la solución

• Cuando no es necesaria mucha precisión, como en este caso, puede tomarse la constante de Coulomb como 9-109 (en unidades SI).
• No debe confundirse el vector fuerza con el módulo de la fuerza. Si quisiéramos calcular este último, bastaría con aplicar el teorema de Pitágoras:

|FAB|= V(1.61)2 + (3.22)2 × 10-5N = 3.60 × 10-5N

• Si calculamos la fuerza que ejerce la partícula B sobre la A, lo único que cambia es el sentido del vector unitario. Por tanto, tenemos una fuerza igual en magnitud, pero de sentido opuesto. Este resultado está en completo acuerdo con la tercera ley de Newton de la mecánica (la ley de acción-reacción).

Campo de Coulomb

El campo electrostático que crea una carga puntual se denomina campo de Coulomb. Ya vimos en el G primer tema de esta misma unidad que este campo es radial, es decir, las líneas de campo son rectas que parten de la carga puntual en todas las direcciones del espacio. Ahora podemos ir más allá y calcular explícitamente el valor del campo electrostático que crea una carga puntual en cualquier punto del espacio. Supongamos que tenemos una carga q en el origen de coordenadas de nuestro sistema de referencia y queremos calcular el campo eléctrico que genera en un punto P cuyo vector de posición es r. El campo se define como fuerza por unidad de carga, por tanto, para calcularlo situamos una "carga de prueba" en el punto P. Llamemos q0 a esa carga de prueba y supongamos que es positiva. Entonces la fuerza que actúa sobre esa carga de prueba será:

F= k 990 ↑

Ahora dividimos entre el valor de la carga de prueba y obtenemos el campo eléctrico:

E=K OF q

Podemos ver fácilmente que:

• el campo es radial (tiene la misma dirección que î);

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