Estadísticos de Posición y Tendencia Central, Universidad Europea del Atlántico

Estadísticos de Posición y Tendencia Central

Estadísticos de Tendencia Central

Los estadísticos de tendencia central o medidas de tendencia central son especialmente efectivos cuando queremos resumir la información de la variable mediante un valor numérico que suele situarse en el centro de la distribución de los datos.

Estadístico de Tendencia Central Tipo de Variable Media Aritmética Cuantitativas Media Ponderada Cuantitativas Mediana Cuantitativas Moda Cualitativas y Cuantitativas Media Geométrica Cuantitativas Media Armónica Cuantitativas Media Cuadrática CuantitativasA

Media Aritmética

La media aritmética, también conocida como promedio o simplemente media es el valor obtenido de sumar todos los valores de la variable y dividirlos por el tamaño de la muestra y es uno de los estadísticos más extendidos.

Para datos sin agrupar:

1 xi Sumatorio de los datos de la variable (xi) dividido entre n el tamaño de la muestra.

Para datos agrupados:

X = - n 1 Xini Sumatorio de la multiplicación de la marca de clase (xi) por la frecuencia absoluta de cada intervalo (ni) dividido entre n el tamaño de la muestra.A

Ejemplo de Media Aritmética

Calcule la media de los datos que se brindan a continuación. Considere primeramente los datos brutos (sin agrupar) y luego tome los datos agrupados.

4,3 6,4 5,0 7,5 6,9 4,4 5,5 8,3 5,8 2,7 2,8 8,2 1,4 6,4 0,2 7,4 5,9 5,6 0,0 6,9 5,8 6,2 9,4 8,4 5,8 7,3 5,9 2,7 6,9 9,7 5,0 6,8 5,2 9,3 5,0 0,4 5,0 6,8 6,3 5,6 7,1 0,7 Li-1 Li Xi ni f Fi Ni 0,0 1,9 1,0 5 0,12 0,12 5 2,0 3,9 3,0 3 0,07 0,19 8 4,0 5,9 5,0 15 0,36 0,55 23 6,0 7,9 7,0 13 0,31 0,86 36 8,0 10,0 9,0 6 0,14 1,00 42 datos sin agrupar X != 5,5 datos agrupados X != 5,6A

Media Ponderada

La media ponderada se utiliza cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa.

Xp = ExiWi Ewi Donde 1 es el sumatorio de los valores de la variable multiplicados por su peso elativo y Ewi es el sumatorio de los pesos relativos.

Si la suma de los pesos relativos es igual a 1 o al 100% la expresión se simplifica a:

Xp= > xiWiA

Ejemplo de Media Ponderada

La Nota Final de Estadística depende en un 20% de la Evaluación Continua, un 25% de la Evaluación Parcial, un 5% de la Asistencia y Actitud en Clase y un 50% de la Nota de Examen Final.

Si un alumno ha obtenido 6,0; 5,0; 10,0 y 8,5 puntos en la Evaluación Continua, la Evaluación Parcial, Asistencia y Actitud y Examen Final respectivamente.

Calcule la Nota Final del alumno en Estadística I.

Como la suma de los pesos relativos es igual al 100%, utilizaremos :

Xp = > xiWi Nota = (6,0×0,20) + (5,0×0,25) + (10,0×0,05) + (8,5×0,50) = 7,2A

Mediana

La mediana es el valor de la variable por debajo del cual se encuentra el 50% de los datos ordenados de menor a mayor y se corresponde con el cuantil 0,50.

Para el cálculo de la mediana, tanto para datos sin agrupar como para datos agrupados, se deberá emplear las expresiones vistas anteriormente, tomando a=0.5

Simetría Asimetría negativa Asimetría positiva Media | Mediana Media Mediana I Media MedianaA

Moda

MODA: Es el valor o valores que más se repiten.

Datos de variables cualitativas o cuantitativas discretas: Es la clase o clases que tienen mayor frecuencia absoluta.

Datos agrupados de variables cuantitativas continuas: La moda se calcula según la expresión:

Moda = Li-1 + a ni - ni-1 2ni - ni-1 - ni+1

Donde: Li-1 es el límite inferior de la clase que contiene la moda a es la amplitud del intervalo modal ni es la frecuencia del intervalo modal ni-1 es la frecuencia del intervalo anterior a la clase modal ni+1 es la frecuencia del intervalo posterior a la clase modalA

Clasificación de Distribuciones por Moda

Según el número de modas, las distribuciones de datos pueden ser clasificadas como:

• Unimodales: cuando solo existe un valor con la frecuencia mayor
• Bimodales: cuando existen dos valores con la frecuencia mayor
• Multimodales: cuando existen más de dos valores con la frecuencia mayor

Unimodal Bimodal Multimodal

Como la moda solo depende de la frecuencia, es el único estadístico de tendencia central que puede ser utilizado para variables cualitativas.A

Ejemplo de Moda

Determine la moda de los datos que se brindan a continuación. Considere primeramente los datos brutos (sin agrupar) y luego tome los datos agrupados.

4,3 6,4 5,0 7,5 6,9 4,4 5,5 8,3 5,8 2,7 2,8 8,2 1,4 6,4 0,2 7,4 5,9 5,6 0,0 6,9 5,8 6,2 9,4 8,4 5,8 7,3 5,9 2,7 6,9 9,7 5,0 6,8 5,2 9,3 5,0 0,4 5,0 6,8 6,3 5,6 7,1 0,7 Li-1 Li Xi ni fi Fi Ni 0,0 1,9 1,0 5 0,12 0,12 5 2,0 3,9 3,0 3 0,07 0,19 8 4,0 5,9 5,0 15 0,36 0,55 23 6,0 7,9 7,0 13 0,31 0,86 36 8,0 10,0 9,0 6 0,14 1,00 42 Datos sin Agrupar Moda = 5 Datos Agrupados Buscar el intervalo con mayor frecuencia Se denomina intervalo modal Aplicar la formula 15-3 Moda = 4,0 + 2 (2×15) - 3 -13 = 5,6A

Estadísticos de Tendencia Central

Datos sin Agrupar

Ejercicio 2: Altura de Alumnos

A continuación se presentan los resultados de la altura de una muestra de 20 alumnos de la Universidad Europea del Atlántico.

1,72 1,63 1,74 1,76 1,68 1,82 1,61 1,56 1,63 1,59 1,55 1,63 1,60 1,63 1,63 1,87 1,78 1,63 1,60 1,80

a) Calcule la estatura media de los 20 alumnos. b) Encuentre la mediana de los datos. c) Encuentre la moda de los datos.A

Datos Agrupados

Ejercicio 4: Estatura de Alumnos

A continuación se muestra en una tabla de frecuencias la estatura, en metros, de 75 alumnos de la Universidad Europea del Atlántico.

Valores de la variable ni (1,55-1,60] 12 (1,60-1,65] 20 (1,65-1,70] 23 (1,70-1,75] 8 (1,75-1,80] 6 (1,80-1,85] 3 (1,85-1,90] 3

a) Calcule la media de los datos agrupados. b) Calcule la mediana. c) Calcule la moda.