Lezione 9: Teorema lavoro-energia, forze conservative e non conservative

Teorema Lavoro-Energia Generalizzato

• Potenza
• Sistemi conservativi e forze conservative
• Energia potenziale e conservazione energia meccanica

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Lezione 8

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• Analisi grafica conservazione dell'energia
• Relazione forza conservativa - energia potenziale
• Forze non conservative
• Lavoro interno

Moto dei Sistemi

• Centro di massa
• Moto del centro di massa

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STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica

Forza Elastica e Energia Potenziale di una Molla

1Forza elastica come forza conservativa ed energia potenziale di una molla Consideriamo una molla ideale e assenza di attrito Felx =- kxî Lavoro compiuto (problema monodimensionale) dalla forza elastica della molla tra i generici punti xi e Xf cost. W = | Felx(x) dx = xf xi xi xf tkx dx = - k : - klas xf xi x dx Pos. equilibrio F. Fe T. -x 0 x -> W = -= k(x2 - x?) 1 2 Essendo anche la forza elastica della molla una forza conservativa, sappiamo che la variazione della sua energia potenziale è pari al lavoro svolto dalla forza elastica stessa cambiato di segno W = - AU olla =; kxf -5kxt 1 AU molla Se la posizione iniziale della molla si trovasse in equilibrio (xi = 0) -- > possiamo definire l'energia potenziale elastica: Umolla = 1 2 - kx2 Sarà sempre positiva (sia in trazione che in compressione)!

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Conservazione dell'Energia: Analisi Grafica

1Conservazione dell'energia: analisi grafica Prendiamo in esame il sistema conservativo massa-molla (molla ideale, no attriti) e analizziamo l'andamento delle due componenti dell'energia meccanica in funzione della posizione della massa. In qualsiasi punto x in cui si trovi la massa, deve valere E = K +U Mettiamo in movimento il sistema con una compressione del sistema fino a -x > E sarà puramente potenziale (la massa non possiede velocità agli estremi) E(-x, +x) = Umax == kx2 1 Quando m passa per la posizione di equilibrio x0 = 0 > E sarà puramente cinetica (tutta l' U iniziale viene convertita in K) E (x = 0) = Kmax == mv2. Nei casi intermedi avremo sempre somma di un termine U ed un termine K, che deve sempre risultare in un valore costante di energia meccanica

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 Fel Fel T, -x 0 ---- E [J] Kmax Umax E K U x [m] P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 3

Relazione Forza Conservativa - Energia Potenziale

3Relazione forza conservativa - U Studiamo la forza conservativa Fel,x che agisce sul corpo W = 1. ři rf Fel·dř= [“ Fel,x (x) dx = - (Uf - Ui) Prendiamo un intervallo molto breve di spazio xf - Xi in cui valutare come vari U > per intervallo infinitesimo, equivale a prendere il differenziale della funzione Ux (x) Fel,x(x)dx = - dUx(x) Fel,x (x) = - dUx(x) dx Una forza conservativa unidimensionale si può anche esprimere come derivata della funzione energia potenziale cambiata di segno Umolla = = kx2 1 dUx(x) 2 1 d (kx2) dx = - kx Minimo di U corrisponde a punto di equilibrio > per ogni piccolo spostamento del corpo da questo punto, la forza tende a riportarlo in tale punto (tg=0 > non c'è forza agente sul corpo)

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 Fel Fel T, 0 ---- E [J] Umax E tg negativa > Fel,x positiva tg positiva > Felx negativa U x [m] P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 4

Energia Potenziale per Forza Conservativa in 3D

Felx (x) = dx -xEnergia potenziale per qualunque forza conservativa in 3d

STUDIORU VERSI UM . UNI ALMA . A . PARMENSIS A.D. 962 La variazione dell'energia potenziale è il lavoro compiuto dalla forza conservativa cambiato di segno Uf - Ui = AU = - rf F · dr Ti Dove AU sarà una funzione di x,y,z (grandezza fisica scalare funzione della posizione in spazio 3d). Se voglio determinare la variazione infinitesima di energia potenziale per uno spostamento infinitesimo dr -dU(x, y,z) = F · dr Se si ha una funzione f (x, y, z) e si vuole calcolare di quanto questa vari per variazioni infinitesime delle sue variabili (dx, dy, dz), si sommano tutte le sue variazioni parziali -- > es. - dx è la variazione parziale della funzione f (x, y, z) quando varia solo la x di un quantitativo infinitesimo dx Il differenziale della funzione U(x, y, z) si esprime come dU(x,y,z) = SU 8x dx + SU 8y dy + -dz SU Sz P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 5

Derivate Parziali dell'Energia Potenziale

Energia potenziale per qualunque forza conservativa in 3d

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 dU (x, y,z) = F · dr dU (x, y,z) =- SU 8x dx + SU -dy + SU - dz Sy Sz F . dr = Fxdx + Fydy + Fzdz SU - dx + SU Sy -dy + SU Sz -dz = - Fxdx - Fydy - Fzdz SU Fx =- 8x SU Fy = - δχ SU Fz = -- δχ Per una forza conservativa le componenti cartesiane della forza sono legate alle derivate parziali dell'energia potenziale > si può rappresentare analiticamente come il gradiente dell'energia potenziale F = - grad U P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 6

Lavoro di Forze Non Conservative

8xLavoro di forze non conservative

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 La forza di attrito dinamico è una forza di tipo non conservativo Andata Effettuo uno spostamento x12 -> Fk si trova in verso opposto alla direzione del moto (0 = 180º) > il lavoro effettuato dalla forza di attrito (qua costante) sarà negativo W12 = Fk · X12 < 0 Ritorno Effettuo uno spostamento x21 ritornando al punto di partenza > Fk si trova in verso opposto alla direzione del moto (0 = 180°) > il lavoro effettuato dalla forza di attrito sarà negativo W21 = Fk · X21 < 0 Andata F x1 X Ritorno F Fk X21 X w = 0 F . dr # 0 Chiudiamo il circuito, ma il lavoro non è nullo (doppio rispetto alla tratta singola) > in questo caso il lavoro effettuato dipende dal percorso effettuato e non solo dai punti iniziale e finale P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 7

Energia in Presenza di Forze Non Conservative

Energia in presenza di forze non conservative

STUDIORU JERSI UM UNI ALMA . A . PARMENSIS A.D. 962 In presenza di forze non conservative, l'energia meccanica non resta costante > Come varia l'energia meccanica? Teorema lavoro-energia è valido universalmente (non solo per forze conservative) > Wtot = Kf - Ki Posso esprimere il lavoro con i contributi delle forze conservative e di quelle non conservative Wtot = Wconservative + Wdissipative = - (Uf - Ui) + Wdissipative Kf + Uf = Ki + Ui + Wdissipative Ef = Ei + Wdissipative La variazione di energia meccanica è pari al lavoro compiuto dalle forze non conservative (dissipative) lungo il percorso da i a f P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 8

Lavoro delle Forze Dissipative ed Energia Interna

Lavoro delle forze dissipative ed energia interna

STUDIORU UNIVERSI UM . A · PARMENSIS ALMA · A.D. 962 Ef = Ei + Wdissipative Il lavoro delle forze dissipative è anch'esso un'energia. In un sistema chiuso vale il principio di conservazione dell'energia > l'energia totale di un sistema isolato si conserva Il lavoro prodotto dalle forze d'attrito, deve essere considerato come interazione tra due corpi estesi, abbandonando cioè l'approssimazione utilizzata fino ad ora di punto materiale > le superfici a contatto, a causa dello sfregamento fra di loro incrementano la loro temperatura, ovvero la loro energia interna La diminuzione di energia meccanica di un sistema è causata dall'aumento dell'energia interna del sistema stesso (o dei corpi che lo costituiscono) ADAL EURO INCAP 20-AUD-0786-FW1 newsauto Es. Urto auto ad una velocità v > la sua energia cinetica viene trasformata in energia sonora (piccola quantità), termica (attrito, strisciamento parti su muro), meccanica (deformazione carrozzeria e rottura muro ... ). Ad ognuno di essi può essere associato un Wdissipativo Maggiore è il W dissipato nell'urto dal veicolo e minore è il lavoro che il nostro corpo dovrà assorbire nell'incidente! P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 9

Esempio: Scivolo d'Acqua

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 Esempio Scivolo d'acqua Bob (m = 200 kg) lanciato al momento del rilascio da una molla inizialmente in compressione (K = 3.2 x 103 N /m, d = 5 m) da un'altezza h = 35 m. Lungo lo scivolo l'attrito è trascurabile. Giunto a valle, il bob viene fermato da un tratto orizzontale con uk = 0.8. Quale distanza orizzontale L dovrà percorrere il bob per arrestarsi completamente? dixo K< > I h L μκ P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 10

Centro di Massa di un Sistema di Punti Materiali

Centro di massa di un sistema di punti materiali

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A . PARMENSIS A.D. 962 Fino ad ora approssimazione corpo a punto materiale Corpo ha una sua estensione > come descriverlo? E come descrivere interazioni con altri corpi (sistemi di corpi)? Possiamo rappresentare un corpo esteso tramite un punto che rappresenta la posizione media della distribuzione della massa del sistema considerato > il suo centro di massa y m4 F4 m1 X ŕ3 m3 F2 m Sistema con punti materiali aventi # masse mi e posizioni Ti. La posizione del centro di massa Tom di questo sistema è definita da: TCM = Emiri Emi mi = M i=1 n =M (massa totale sistema) > media pesata (m) delle posizioni di tutti i singoli punti materiali che compongono il sistema. Il vettore TCM può essere espresso tramite le sue componenti XCM = E mixi M Усм = Emiyi M ZCM = Emizi M P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 11

Centro di Massa di un Corpo Esteso

Centro di massa di un corpo esteso Consideriamo un corpo esteso (es. sasso) come un insieme di punti estesi (volumetti AVi > Ami = pAVi, considerando p = cost) di massa discreta Ami TCM ~ ΣΔmiri ΣΔmi n Σ i=1 mi = M (massa totale corpo) Incrementiamo numero di masse discrete considerate, ovvero diminuiamo la massa discreta di ognuno dei punti estesi considerati (volumetti) riducendola in termini infinitesimi y 4m2 Am1 12 r1 X Z lim Ami->0 i=1 n Amiři Ami frdm = S dm FCM = M M r dm Considerando il corpo esteso come un continuo (integrale) Posso esprimere le coordinate del centro di massa in funzione delle componenti scalari sui tre assi XCM = 1 M 1 xdm YCM = 1 ydm ZCM = M 1 zdm STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 12

Vettore Centro di Massa di un Corpo Esteso

Vettore centro di massa di un corpo esteso CM = M 1 r dm Xcm = M 1 xdm Yem = M M 1 ydm Z cm = M M 1 zdm y 4m2 Am1 12 r1 x z Se il corpo continuo ha densità calcolabile e costante p, allora possiamo definire le coordinate del suo CM sostituendo dm = pdV Xcm = 1 M C xpdV Yem = 1 M |ypdV C Zcm = M 1 1 zpdV STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 13