Econometría para la Empresa: Estimación y Teorema de Gauss-Markov

TEMA 3- ESTIMACIÓN

3.1 ESTIMACIÓN DEL MODELO. Teorema de Gauss-Markov.

Métodos de estimación: Momentos, Máxima verosimilitud y Mínimos cuadrados.

En sentido estadístico, el método de MCO (Mínimos Cuadrados Ordinarios) es más robusto, ya que para su aplicación no precisa conocer la distribución de probabilidad de la variable aleatoria que modeliza la población. Por el contrario, para utilizar el método de MV (Máxima verosimilitud) tenemos que conocer o suponer dicha distribución (en nuestro caso, para la perturbación aleatoria).

Sin embargo, el método de MV tiene un campo de aplicación más extenso ya que puede ser aplicado también a modelos de regresión no lineal en los parámetros, para los que MCO no se aplica.

El método de MV tiene buenas propiedades asintoticas, de ahí que también reciba el nombre de método de estimación de grandes muestras.

Junto a la justificación teórica que ofrece el teorema de Gauss-Markov (que exponemos a continuación), generalmente, emplearemos el método de MCO por razones prácticas:

1. Es más fácil de aplicar;
2. los estimadores MCO y MV de los coeficientes del modelo (Bi) son idénticos, y
3. En muestras grandes, los estimadores MCO y MV de o2 (varianza de las perturbaciones) no difieren considerablemente.

TEOREMA DE GAUSS-MARKOV

TEOREMA DE GAUSS-MARKOV: Dado los supuestos del modelo clásico de regresión lineal, los estimadores de mínimos cuadrados son estimadores lineales insesgados y de varianza mínima (ELIO, Estimador Lineal condicionalmente Insesgado Óptimo).

Bajo el supuesto de Normalidad, Rao demostró que los estimadores de B1 y ß2 son eficientes, no así el estimador de la varianza de las perturbaciones, o2.

Limitaciones del teorema de Gauss-Markov

Este teorema, que proporciona una justificación teórica al empleo de MCO, presenta dos limitaciones.

• En primer lugar, precisa el cumplimiento de condiciones que podrían no cumplirse en la práctica. En particular, si las perturbaciones no son homocedásticas (heterocedásticas), los estimadores MCO son insesgados, consistentes y asintóticamente Normales, pero dejan de ser ELIO. En estos casos, si se conoce el patrón de heterocedasticidad, haremos uso de un estimador alternativo, el estimador de mínimos cuadrados ponderados.
• Aun cumpliendose las condiciones exigidas por el teorema, existen otros posibles estimadores no lineales y condicionalmente insesgados más eficientes que los estimadores MCO.

En ocasiones puede resultar conveniente tolerar un pequeño sesgo a cambio de una varianza más reducida. En este caso debe elegirse aquel estimador que haga mínimo el Error Cuadratico Medio, definiéndose como:

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ECM = Sesgo2 + Varianza

Puesto que son insesgados y de varianza mínima, los estimadores MCO también son de ECM mínimo.

A veces, no encontramos estimadores que cumplan todas las propiedades deseables en muestras pequeñas. Se recurre entonces a las propiedades asintóticas, es decir, relativas a muestras muy grandes. Las más importantes son la eficiencia asintótica y la consistencia (que podría considerarse como insesgadez asintótica, puesto que un estimador es consistente si su límite en probabilidad es el verdadero valor del parámetro).

3.2 ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS.

En palabras de Gauss, el principio en que se basa el método consiste en que la suma de los cuadrados de las diferencias entre lo observado (valores reales) y las cantidades calculadas (valores estimados) debe ser mínima.

Es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática. Es un caso especial del método de los momentos. Su objetivo es encontrar la función que mejor se ajuste a unos datos dados.

Expresado en su forma más simple, la idea matemática que desarrolla es la siguiente: Sean (x1, y1), (x2, y2), ... , (Xn, Yn) unas parejas de datos obtenidos de observaciones reales de las variables X e Y. Suponemos que entre las variables X e Y existe una relación definida por una función f, de forma que yi= f(xi).

Lo que busca el método es encontrar la función que haga mínimos los errores o residuos, que se definen como la diferencia entre el valor real de la variable Y y su estimación por medio de la función f. Estos errores o residuos se denotan como ei = yi - f(xi).

La idea es que la suma de estos errores sea la menor posible. Para evitar la compensación entre errores positivos y negativos, lo que se hace es elevarlos al cuadrado, procedimiento que ofrece la ventaja adicional de que reduce la importancia de los errores más pequeños, la mayoría de ellos debidos a imprecisiones en la toma de datos. Así pues, el problema de los mínimos cuadrados se reduce a encontrar la función f que minimice la suma de los cuadrados de los residuos, es decir:

Ze'=>(Y,-f(x;))2 sea mínima i=1 n i=1 n

Este problema equivale a encontrar el mínimo del error cuadrático medio (la media de los cuadrados de los errores), es decir, minimizar la función:

n i=1 e i n Z"(Y,-f(x;))2 n

Cuanto más compleja sea la función f, más difíciles serán los cálculos, pero mayor precisión obtendremos en los resultados.

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OBTENCIÓN DE LOS ESTIMADORES MÍNIMOCUADRATICOS

Empezamos con el modelo univariante, que resulta más fácil de ver, y luego generalizamos y lo vemos en el modelo multivariante, para el que vamos a necesitar acudir al cálculo matricial para simplificar las operaciones.

MODELO UNIVARIANTE

El método consiste en que la suma de los errores al cuadrado sea mínima, de modo que expresados esos errores como funciones de los coeficientes estimados sería:

Σε’ = f (β,β) = Σ(Υ, - β - β, Χ.)2

Aplicando las condiciones de mínimo, realizamos la primera derivada de la función con respecto a cada uno de los parámetros estimados e igualamos a 0, y de ahí obtenemos las condiciones de ortogonalidad:

n 0 - Ze; 2 = -2Σ(Υ-β-β2X;)=0 i=1 n n Σε=0 i=1 ~ ΏΣΩ =- 2Σ(Υ-β-β,X,)X ;= 0 i=1 n ΣΧΙer= 0 i=1

Despejando en ambas expresiones obtenemos el SISTEMA DE ECUACIONES NORMALES:

ΣΥ, = ηβ, + β2 ΣΧ, i=1 y i=1 ΣΧΥ = β, ΣΧ, + β2 ΣΧ; i=1

Cuyas soluciones nos dan los estimadores de los parámetros poblacionales:

Ex;y; ₿, = E n .2 SX S XY ₿=Y-2X i=1

donde x e y están en desviaciones con respecto a la media, es decir:

x; = X| - X e y; = Y, - Y

Interpretación de los estimadores de los parámetros del modelo univariante

B1: Es el valor medio estimado de Yi cuando el valor de la variable explicativa Xi es cero. Normalmente carece de interpretación económica.

B2 : Se interpreta como la variación promedio estimada del valor medio estimado de Yi ante variaciones unitarias de la variable explicativa Xi.

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Estimaciones con los datos del ejercicio

Realizados los cálculos para los datos del problema 1 (producción maíz), tendremos:

n n Σx,yi ₿, = i=1 Σχ2 2 -Sxr = Sx 95'6 57'6 =1'6597 i=1

B = Y-BX = 57-1'6597x18 = 27'125

con n =10; X =18 ; Y =57; >X2 =3816; EXY =11216 i=1 10 i=1 10

Y = 27'125+1'6597 X,

MODELO MULTIVARIANTE

Condición minímocuadrática:

Σε2 = ΣΟΥ- β - β,Χ,, -... βιΧ) sea minima.

e1 'e= (e, e2 ... ) . .. e2 en =22+22+ ... +e" = ΣΕ2

Y= XB+e => e=Y-Xß ˆ ˆ ˆ ˆ Y Y X Y X ˆ ˆ ˆ ˆ Y X X e'e=Y'Y-2₿'X'Y+₿'X'X₿ o(e'e) ˆ =- 2X'Y+2X'X=0 X'Y = X'X₿

Premultiplicando ambos miembros de la igualdad por la inversa de la matriz X'X,

(X'X)"(X'X)}=(X'X)1X'Y I₿=(X'X)1X'Y B=(X'X)" X' Y (k×1) (kxk) (kxn) (n×1)

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En el modelo en notación matricial, las estimaciones de los parámetros se obtienen por MCO a partir de los datos.

Sabemos que:

Y = Xß+e

Usando esta expresión para sustituir Y en:

(X'X)}=X'Y

se obtiene:

(X'X)}=(X'X)ß+X'e=0 => X'e=0

Resultado fundamental de MCO del que se deriva que:

• la media de los residuos es cero (siempre y cuando se incluyan término independiente en la ecuación de regresión)
• la correlacion muestral entre los residuos y cada variable Xi es cero.

Interpretación de los estimadores de los parámetros del modelo multivariante

B1 : Es el valor medio estimado de Yi cuando todas las variables explicativas son iguales a cero.

ˆ (B2 ... ) Bk : Se interpreta como la variación promedio estimada del valor medio estimado de la variable endógena ante variaciones unitarias de (X2) ... , (Xk), manteniéndose constante el resto de las variables explicativas (clausula «ceteris paribus»).

LA MATRIZ (X'X)

Representa los factores por los que aparecen multiplicados los diferentes estimadores de los coeficientes de regresión en las ecuaciones normales, es decir, en el sistema de k ecuaciones con k incógnitas resultantes de la aplicación del principio de MCO.

ΣΧ2 1 i 2 i 1 i 3 i 1 i n i ΣΧ2. X 2 2 ΣΧ3; .. ΣΧ ΣΧ,Χ3 .. ΣΧ2, Χ .. ΣΧ,ΧΆ i - 1 i 2 i 3 i .. EX2 ΣΧΚΙ ΣΧΆΧη ΣΧΗΧ3 .. ΣΧΉ Matrices (X'X) para la regresión con 2 variables (1 variable endógena - 1 variable explicativa) y con 3 variables (1 variable endógena - 2 variables explicativas)

(X'X)=| n ΣΧ, ΣΧ?) ΣΧ, (XX)= EX2; EX 38 ΣΧ21 ΣΧ2. EX3, X21 EX2; X3i ΣΧ2. 3 i Rosario Asian Chaves. ECONOMÍA APLICADA II. UNIVERSIDAD DE SEVILLA 36 2 i 1 i 2 i 2 i 3 i 2 i 3 i 1 i 3 i 2 i 3 i 3 2 i X ΣΧ3, ΣΧ,,Χ2, ΣΧ% 2 X .. n X X 2

Estimaciones con los datos del ejercicio multivariante

Para los datos de nuestro problema 2 tendremos que:

1 X21 = 6 X31 = 4 1 X22 =10 X32 = 4 1 X24 =14 1 X23 =12 X33 = 5 X34 = 7 1 X25 =16 X35 = 9 1 X26=18 X36 = 12 1 X27= 22 X28 = 24 X38 = 20 1 1 X29 = 26 X39 = 21 1 X210 = 32 X310 = 24 n ΣΧ2; ΣΧ3i 10 180 120 Y=60 Yg =68 Ya =74 Y10 = 80 120 180 3816 2684 De donde: (ΧΧ)= ΣΧ2, ΣΧ2, ΣΧ2,Χ3; = ΣΧ3, ΣΧ,,Χ2, ΣΧ. 2684 1944 Obtenemos la matriz inversa mediante el producto de la traspuesta de su adjunta por el inverso del valor del determinante. (X'X)-1= - 0'177 1'3634 -0/177 0'032 0/1602 -0 033 0 1602 y como X'Y = - ΣΧ2,Υ, = 11216 7740 ΣΥ i 2i 3 Obtenemos la matriz de coeficientes de regresión parcial: ₿ = 31'98 ₿=(X'X)-1X'Y=|₿2 = 0'65 ₿3 = 1'1098 Y = 31'98+0'65X2; +1'1098X3 i

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Y, = 40 Y2 = 44 Y3 = 46 YA= 48 Y5 =52 X = Y = Y= 58 i 570 -0'033 0 0366 X37 =14