Resistencia de Materiales: Tensión y Deformación en Física

INTRODUCCIÓN

El objetivo principal de la Resistencia de Materiales es el de proporcionar al ingeniero los medios para analizar y diseñar estructuras o componentes capaces de soportar las cargas y acciones a las que éstos están o pueden estar sometidos durante su vida útil.

La Resistencia de Materiales limita su campo de aplicación a ciertos tipos de ele- mentos estructurales (vigas, columnas, etc.) sustentados de ciertas maneras predetermi- nadas (apoyos simples, articulaciones, empotramientos, etc.) y sometidas a ciertos tipos de acciones (fuerzas puntuales y repartidas, generalmente, y otras acciones definidas de forma adecuada).

CONCEPTO DE TENSIÓN

Consideremos un cuerpo sólido sometido a la acción de un sistema de fuerzas exteriores (cargas aplicadas y reacciones) en equilibrio, e imaginémoslo cortado por una sección cualquiera S que lo divide en dos partes, (A) y (B), situadas a ambos lados de la sección S (Figura 1.1). Para que exista equilibrio en las dos partes resultantes, (A) y (B), deben existir unas ciertas fuerzas de interacción a través de la superficie S a las que llamaremos F. Las fuerzas de interacción son iguales en magnitud y dirección, pero de sentidos opuestos, sobre las secciones S de las partes (A) y (B), según exige el principio de acción y reacción.

P3 PA P2 P1 1 (B) 1 (A) P3 PA P2 S P 1 (B) S AS O (A) AS AF Fig. 1.1: Concepto de tensión media tm = AF AS dF t = lim AS-0 AF = AS dS

Dimensiones y Componentes de la Tensión

· Las dimensiones de la tensión son [FL-2], o sea, fuerza por unidad de superficie. En el sistema internacional la tensión se mide en Pascales (Pa), es decir, en N/m2.

· En general, la tensión no es normal al plano de corte considerado, sino que puede descomponerse según dos componentes: la tensión normal al plano de la sección, o, y la tensión tangencial a dicho plano, T, tal como se muestra en la Figura 1.2. El módulo de la tensión t es igual a: Itl = Vo2 + +2

P2 P S t T (A) dS o Fig. 1.2: Componentes normal y tangencial de la tensión

Dependencia de la Tensión

· La tensión depende del punto y de la orientación de la sección elegidos. Así, en un punto dado se tendrán diferentes tensiones según la orientación considerada (Figura 1.3), y para una sección dada se tendrán tensiones diferentes para distintos puntos.

O= P/A 0 Tensiones para a = 0 A0 P P CARGA AXIAL o=P/2A0 T=P/2A0 Tensiones para a = 45° T= P/2A0 o= P/2A 0 Tensiones para a =- 45° Fig. 1.3: Componentes de la tensión en un punto según la orientación de la sección

COMPONENTES DE TENSIÓN

P3 P2 PA Z dy P1 Z Z T' ZX T' O y O T xy X T 5 T' dz y τ T C XZ XZ T T' y yz xy 'yx X T ZX T G dx zy Z X yx e ‘yz T' y dy

Fig. 1.4: Sistema de referencia y componentes cartesianas de la tensión

Así, sobre las caras normales al eje 1 - y Z - actúan las componentes - Ox, Txy, Txz Oy, Tyx, Tyz Oz, Tzx, Tzy zy X O yx 'yz O y

Subíndices de las Tensiones

El subíndice de las tensiones normales representa el eje coordenado al que es normal la superficie sobre la que actúan. Los dos subíndices de las tensiones tangenciales de una superficie indican, el primero, el eje al cual es normal la superficie sobre la que actúan y, el segundo, el eje al que es paralela la componente tangencial. En las caras que no forman los ejes coordenados, se consideran componentes positivas las que tienen los sentidos de los ejes. En las caras que sí forman los ejes coordenados, se consideran los sentidos positivos opuestos. De esta forma, las tensiones de tracción son tensiones normales positivas y negativas las de compresión.

ESTADO PLANO DE TENSIONES

Cuando las componentes tensionales sobre planos normales al eje 2, Oz, Tax Y Tzy; son nulas, las tensiones t están siempre contenidas en el plano xy, y entonces se dice que se tiene un estado plano de tensiones (Figura 1.5). El estado tensional queda completamente definido por las componentes o x, Oy, Txy.

Z dy N T'zx 6 Txy yx Tyz dz y ×7 Py Lyx O x y T: dx T'yx X Txy yldx dy X O Tyx X Óy Fig. 1.5: Estado plano de tensiones y Txy

ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO DE CAUCHY

Distinguiendo con una prima las tensiones que actúan sobre los lados que no forman los ejes coordenados (Figura 1.5), las relaciones que existen entre las tensiones correspon- dientes a lados paralelos, por ejemplo, los lados del elemento diferencial perpendiculares al eje x, son, por continuidad del campo de tensiones:

Z dy Txy 07 IT'Sz dz Oy T .. Pvz O y y dx T'yx X (x) X yl dx O X yx Őy Fig. 1.5: Estado plano de tensiones 0'x = 0x + dox = 0x + ax OT xy T'xy = Txy + di xy = Txy + dxc + + bx=0 (EFx = 0) dx OT xy + + by = 0 (EFy = 0) dy OT ya dy (Tay dy) dx - (Tyx dx) dy = 0 > Mo =0) Txy = Tyx

TENSIÓN SEGÚN UNA DIRECCIÓN ARBITRARIA

Sea AB una orientación arbitraria, y n (l, m), con l = cosa y m = sin a, el vector normal que la define. Por equilibrio de fuerzas en el elemento diferencial, pueden calcularse las componentes de la tensión:

tx = Ox cosa + Tyx sin a ty = Txy cosa + Oy sin a

donde ta y ty son las componentes cartesianas de la tensión t en el punto O según el plano AB. En forma matricial puede escribirse:

tx ty = Txy 0 x Tyx Øy ] ; m 1 t= Tn

donde T es el tensor de tensiones correspondiente al estado plano.

Componentes Normal y Tangencial

a) b) y y B B 1+ t n n t t y T. τ. xy xy O a a t t X X O O X T τ. yx Oy yx Őy Fig. 1.7: Tensión según una dirección arbitraria o = tx cos a + ty sin a = Ox cos2 a + Oy sin2 a + 2Txy sin a cos a (1.11a) T = ty cos a - tx sin a = Txy (cos2 a - sin2 a) + (03 - 0x) sin a cos a (1.11b) A A X a 2 a y

Ejemplo 1.4.1: Cálculo de Tensiones

En un estado plano de tensiones se conocen las tensiones normales y tangenciales que actúan en los planos OA y OB (Figura 1.7). Se pide calcular los valores de dichas tensiones para el plano AB que forma un ángulo a = 30° con el eje y.

Datos: 0 x = 28, 48 MPa, Oy = 15 MPa, Txy = 3 MPa.

a) b) y y B B > n t t y y a a T. T. xy xy a a t t X X Ox × O O A X X yx T. A yx Fig. 1.7: Tensión según una dirección arbitraria t 1 s

Resolución del Ejemplo 1.4.1

En un estado plano de tensiones se conocen las tensiones normales y tangenciales que actúan en los planos OA y OB (Figura 1.7). Se pide calcular los valores de dichas tensiones para el plano AB que forma un ángulo a = 30° con el eje y.

Datos: 0 x = 28, 48 MPa, Oy = 15 MPa, Txy = 3 MPa.

Aplicando las Ecs. (1.11) y sustituyendo los valores del ejemplo, se obtiene para el plano AB:

o = tx cos a + ty sin a = 0x cos2 a + 0y sin2 a + 2T xy sin a cos a (1.11a) T = ty cos a - tx sin a = Txy (cos2 a - sin2 a) + (03 - 0x) sin a cos a (1.11b)

o = 28, 48 - 0, 8662 + 15 . 0, 52 + 3 - 0, 866 = 27, 71 MPa T = 3 (0, 8662 - 0, 52) + (15 - 28, 48) 0, 866 - 0, 5 = - 4, 34 MPa

donde o y T son las componentes normal y tangencial, respectivamente.

TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA DE REFERENCIA

Las componentes del tensor de tensiones varían según el sistema de referencia en el que se expresan. Si el estado de tensiones es plano (Figura 1.8), las tensiones referidas al sistema girado x', y' variarán respecto a las correspondientes al sistema x, y. Sea N la matriz de cosenos directores de los ejes x', y' respecto de los ejes x, y.

y Tux y Txy Tyx Txy x' a O X O X Fig. 1.8: Transformación del sistema de referencia

N = cos (x'x) cos (x'y) cos (y'y) cos (y'x) = cos a - sin a sin a cos a = l m -m l I 1.5

Matriz de Cosenos Directores

y y y' Tyx Txy x' a O X O X Fig. 1.8: Transformación del sistema de referencia

- Tx'y' Øy' = -m 0 x Txy Tyx Øy 1 m 1 I T = NTTN T = NTNT 1 -m l m Tyx Txy

TENSIONES PRINCIPALES

Conocida la expresión que proporciona el valor de las componentes cartesianas de la tensión t, según una dirección definida por n, cabe preguntarse para qué direcciones ocurre que las tensiones son únicamente normales (Figura 1.9), es decir, que se cumple:

t = on

y 02 Ó1 1 O X Fig. 1.9: Estado plano: tensiones principales 0 = Ø1,2 = 2 1 2 - 04 ) 2 + Tacy Txy sin a cos a 1 tan 2a Ox - Oy = = cos 2a - sin2 a = 2 Tmax = 1 2 (01-02) = 1 Ox - Oy 2 2 + They xy

Ejemplo 1.4.2: Cálculo de Tensiones Principales

Para el estado plano de tensiones del Ejemplo 1.4.1, calcular el valor y la orientación de las tensiones principales.

Datos: 0 x = 28, 48 MPa, Oy = 15 MPa, Txy = 3 MPa.

Las tensiones principales se producen para unas direcciones a y a + 90°, en las que se cumple que la tensión tangencial ₸ es nula.

tan 2Q = 0x - Oy 2T xy 2.3 28,48 - 15 = 0,4451 @1 = 12º Q2 = 102º

El valor de las tensiones normales según dichas direcciones se obtiene mediante la ecuación

0 = 01,2 = 28,48 + 15 2 1 28,48 - 15 2 15 ) 2 2 + 32

Resolviendo se obtienen los valores: 01 = 29, 11 MPa , 02 = 14, 36 MPa, que corres- ponden a la tensión máxima y mínima, respectivamente.

ESTADO TRIDIMENSIONAL DE TENSIONES

En un estado tridimensional de tensiones (Sección 1.3), la tensión t (tx, ty, tz) que actúa sobre una orientación arbitraria definida por la cara ABC (Figura 1.11), determinada por su vector exterior n(l, m, n), se calcula de forma análoga al caso plano

Z n C t 6 + yx e TxZ T ‘yz B y T Y ZX Czy A X Fig. 1.11: Tetraedro de Cauchy

L tx ty tz 7 = Txy Txz Tyx Øy Tyz T 2x T zy 1 m n L t= Tn T= Try Ty Tzy Txz Tyz 0 x Tyx T 20