Desarrollo de los conceptos espaciales y reconocimiento de formas, UA

Aprendizaje de la Geometría

Introducción

Las primeras interacciones del niño con su entorno, previas al desarrollo del lenguaje, se basan fundamentalmente en experiencias espaciales, sobre todo a través de los sentidos de la vista y el tacto. Más tarde se desarrolla el lenguaje, que adquiere significado en el contexto del entorno físico.

Muchos psicólogos, entre ellos Piaget, Bruner y Dienes, señalan que la manipulación de objetos "concretos" constituye la base del conocimiento humano en general y de las matemáticas en particular. Las acciones físicas pasan a ser interiorizadas y generalizadas en forma de conceptos y relaciones, a las cuales se les pueden asociar símbolos matemáticos.

Teoría de Piaget sobre el desarrollo del pensamiento geométrico

El punto de partida de los estudios sobre la representación del espacio en el niño son los trabajos de Piaget plasmados en dos de sus obras fundamentales: La représentation de l'espace chez l'enfant (1947) y La gémétrie spontanée de l'enfant (1948).

Tras numerosos experimentos, Piaget (Neuchâtel, 1896-1980) propuso una teoría del desarrollo de conceptos espaciales en el niño en la que distingue entre percepción y representación:

• Percepción: conocimiento de los objetos a partir del contacto directo con ellos.
• Representación: evocación de objetos en ausencia de los mismos.

En cuanto a su desarrollo Piaget señala las siguientes etapas:

0-2 años: Percepción (estadio "sensoriomotor") 2-7 años: Representación (reconstrucción de imágenes espaciales) >7 años: Perfeccionamiento de la representación (período de las "operaciones concretas")

Los test de percepción que utiliza Piaget se basan en la capacidad de discriminar entre diferentes objetos presentados visualmente: los de representación en la capacidad de identificar formas al tacto y de reproducir formas.

En cada uno de estos estadios de desarrollo, Piaget distingue, además, una progresiva diferenciación de propiedades geométricas por parte del niño:

• Las que son independientes de la forma y del tamaño: Son las propiedades topológicas.
• Las que permiten predecir qué aspecto tendrá un objeto al ser visto desde diversos ángulos: Son las propiedades proyectivas.
• Las relativas a tamaños, distancias y direcciones: Son las propiedades euclídeas.

Las propiedades topológicas son propiedades independientes de la forma y el tamaño. Piaget cita las siguientes:

1. Aprendizaje de la Geometría

• Cercanía. Por ejemplo, dibujar un niño con los ojos muy juntos, aunque puede dibujarlos debajo de la boca.
• Separación. Por ejemplo, no superponer la cabeza y el tronco.
• Ordenación. Por ejemplo, dibujar la nariz entre los ojos y la boca.
• Cerramiento. Por ejemplo, dibujar los ojos dentro de la cabeza.
• Continuidad. Por ejemplo, que los brazos salgan del tronco, no de la cabeza.

Figura 1. Dibujo de un hombre realizado por un niño de 4 años y 4 meses.

Las propiedades proyectivas permiten predecir qué aspecto tendrá un objeto al ser visto desde diversos ángulos o la sombra que producirá un objeto.

Por ejemplo, los niños pequeños pueden dibujar una cara de perfil y poner dos ojos en ella; o un coche de perfil y dibujar las cuatro ruedas.

Figura 2. Dibujo de un hombre de perfil realizado por un niño de 7 años

Las propiedades euclídeas son las propiedades relativas a tamaños, distancias y direcciones, que conducen a la medida de distintas magnitudes (longitudes, áreas, ángulos, etc.). Por ejemplo, se puede distinguir entre un rectángulo y un trapecio basándose en las longitudes de los lados y en los ángulos. Estas figuras son equivalentes desde un punto de vista proyectivo, ya que el tablero de una mesa rectangular se ve como un trapecio desde ciertos ángulos, pero no desde un punto de vista euclídeo.

Piaget considera que esta secuencia se mantiene no sólo a nivel de representación sino también de percepción.

Desarrollo del pensamiento geométrico desde el modelo de Van Hiele

El pensamiento geométrico se desarrolla gradualmente. En un primer momento el razonamiento de los niños se basa en la apariencia física de los objetos y posteriormente cuando se va construyendo una mejor comprensión de los conceptos geométricos sus razonamientos van dejando de lado la apariencia física de los objetos para empezar a identificar atributos asignandoles significado matemático, etiquetandolos y relacionándolos para considerar semejanzas y diferencias. Este proceso gradual ha sido descrito por los holandeses Pierre Marie Van Hiele y Dina Van Hiele en los años 50 a través de 4 niveles de desarrollo del razonamiento: Reconocimiento, Análisis, Clasificación y Deducción Formal.

El modelo consta de dos partes:

• una parte descriptiva que identifica una secuencia jerárquica de cuatro niveles de razonamiento matemático de los individuos desde que inician su aprendizaje hasta que llegan a su máximo grado de desarrollo intelectual en este campo;
• otra parte con directrices para el profesorado sobre cómo puede ayudar a sus alumnos a alcanzar con más facilidad un nivel superior de razonamiento; estas directrices se conocen con el nombre de fases de aprendizaje.

Las teorías de van Hiele y Piaget comparten algunas importantes características:

• Evolución del pensamiento de acuerdo con ciertos estadios o niveles.
• El papel del individuo en la construcción activa de su propio conocimiento.

Las diferencias entre ambas teorías se centran en:

• van Hiele enfatiza el papel de los procesos de instrucción para el desarrollo de los procesos de pensamiento.
• Piaget liga el desarrollo del pensamiento geométrico a la evolución biológica del individuo, consecuencia de las interacciones generales con el medio.

A continuación, describiremos con detalle los tres primeros niveles del modelo de van Hiele.

Nivel 1: Reconocimiento

En este nivel los individuos distinguen las figuras y los cuerpos por sus formas individuales, como un todo, sin detectar relaciones entre los mismos y sus partes. Por ejemplo, un niño puede reproducir con gomas elástica en un geoplano distintos tipos de cuadriláteros (un cuadrado, un rombo, un paralelogramo y un rectángulo), pero no es capaz de ver que un rombo es un tipo de paralelogramo, o que un cuadrado es un tipo de rectángulo, pues ve cada figura como una forma distinta y aislada.

En este nivel los niños:

• Reconocen los objetos geométricos por su apariencia física, como un todo, es decir, perciben los objetos globalmente, y en las descripciones de los mismos pueden incluir atributos irrelevantes.
• Describen los objetos por su apariencia física. Frecuentemente hacen descripciones por su semejanza con otros objetos, no necesariamente matemáticos: "se parece a ... "; "tiene forma de ... ".
• La identificación, distinción o clasificación se basa en semejanzas físicas globales.
• Perciben cada objeto individualmente, sin generalizar sus propiedades a otros objetos de su misma clase.
• No suelen reconocer explícitamente las partes de que se componen las figuras ni sus propiedades matemáticas.

Nivel 2: Análisis

En este nivel comienza a desarrollarse la conciencia de que las figuras constan de partes. Por ejemplo, el niño es capaz de ver que un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos, que tiene dos diagonales y que son congruentes, pero todavía no es capaz de ver el rectángulo como un tipo de paralelogramo.

En este nivel los niños:

• Reconocen que los objetos geométricos están formados por partes o elementos y están dotadas de propiedades. Son capaces de describir las partes que integran una figura y sus propiedades.
• Deducen las propiedades mediante experimentación.
• No relacionan unas propiedades con otras.
• No establecen clasificaciones a partir de las relaciones entre las propiedades. No hacen clasificaciones inclusivas.
• Una forma típica de "demostrar" es generalizar a partir de la comprobación de muy pocos casos.

Nivel 3: Clasificación

En este nivel las relaciones y clasificaciones empiezan a quedar clarificadas si se dan orientaciones. Por ejemplo, el cuadrado se ve como un caso particular de rectángulo y este como un caso particular de paralelogramos. Comienzan a establecerse relaciones lógicas entre propiedades.

En este nivel los niños:

• Son capaces de relacionar propiedades de figuras y entre figuras. Por ejemplo, en el caso de los cuadriláteros, los alumnos comprenden que la igualdad de los ángulos opuestos implica el paralelismo de los lados, la igualdad de los lados en un paralelogramo implica la perpendicularidad de las diagonales, etc. Esta característica empieza inicialmente con asociaciones empíricas (viendo en varias actividades que cuando ocurre la propiedad X entonces ocurre Y), lo que permite inferir una propiedad a partir de la otra.
• Pueden deducir propiedades de una figura y reconocer tipos de figuras. Tarea: Proporciona una definición para un rectángulo que no sea una lista de todas sus propiedades. Estudiante: Yo sé que los rectángulos son cuadriláteros con 4 ángulos rectos, lados opuestos iguales y paralelos dos a dos. Así que mi definición puede ser:

• Un rectángulo es un cuadrilátero que tiene 4 ángulos rectos y lados opuestos iguales. Maestro: ¿ Por qué no has incluido que los lados opuestos deben ser paralelos dos a dos? Estudiante: Yo sé que, si un cuadrilátero tiene 4 ángulos rectos, sus lados son paralelos. Me acuerdo que le otro día aprendimos que dos rectas son paralelas si sus ángulos interiores miden 180º. Si yo dibujo mi rectángulo D B c € Ya que los ángulos A y D son de 90°, ellos suman 180°, así que la parte de arriba y la de abajo del rectángulo son paralelas. Y ya que los ángulos A y B miden 90°, los otros dos lados también son paralelos. Este estudiante usa su habilidad para deducir lógicamente una propiedad de los rectángulos a partir de otra propiedad, y así construye una definición de rectángulos que no lista todas las propiedades de un rectángulo que él conoce. En su respuesta el