Funzioni reali di variabile reale: calcolo del dominio e logaritmi

Università eCampus: Economia e Commercio

Metodi Matematici - Lezione 12

R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI 12 FUNZIONI RXR 1 E Facoltà di Economia CAP 8 8 - FUNZIONI c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TAA

Funzioni Reali di Variabile Reale

Definizione di Funzione

REAL UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI 12 FUNZIONI RXR 1 E Facoltà di Economia 8 -1 FUNZIONI REALE DI VARIABILE REALE La funzione, anche detta applicazione, è una legge definita dalle seguenti condizioni :

• Esiste un insieme non vuoto detto dominio della funzione.
• Esiste un insieme non vuoto detto codominio della funzione
• Esiste una relazione che ad ogni elemento del domino associa uno ed un solo elemento del codominio ( attenzione, non è detto il viceversa).

c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it VLCorso di Laurea: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI A Insegnamento: Lezione nº: 12 Titolo: Attività nº: FUNZIONI RXR 1 E Facoltà di Economia L'elemento associato ad xEX tramite la relazione f viene abitualmente indicato con y= f(x) X è l'argomento della funzione, oppure un valore della variabile indipendente, mentre y = f(x) è un valore della variabile dipendente della funzione. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Esempi di Funzioni in RxR

REAL UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS TAA REAL UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI 12 FUNZIONI RXR 1 E Facoltà di Economia Abbiamo già visto numerosi esempi di funzione in RxR nei precedenti cenni di geometri analitica. ad esempio y=3x+1 (equazione di una retta) La relazione dice che ad ogni valore di x scelto in R-dominio- dobbiamo associare un valore y ( che varia in questo caso pure in R codominio) ottenuto moltiplicando per 3 il valore di x ed aggiungendo una unita. Se x = 5 -> f(x)= f(5) = 15 + 1 = 16 Questo vale per tutti e soli i punti che stanno sulla curva descritta dalla funzione precedente. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Tipologie di Funzioni

TAR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI 12 Titolo: Attività nº: FUNZIONI RXR 1 E Facoltà di Economia Per ora tratteremo funzioni RXR cioè funzioni reali di una variabile reale. f : R ->R , Più avanti verranno presentate funzioni , cioè funzioni reali di due variabili reali : z=f(x,y) . f:R2 ->R Esistono ovviamente anche funzioni per le quali il numero di variabili indipendenti, sempre reali, è maggiore di due f : R" -> R c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Funzioni Univoche e Biunivoche

VLR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI 12 FUNZIONI RXR 1 E Facoltà di Economia Nella figura sono schematizzate due funzioni; entrambe sono univoche nel senso che alla variabile indipendente x corrisponde un'unica variabile dipendente; la prima poi è biunivoca , perché non solo ad x corrisponde una ed una sola y, ma vale anche il viceversa, cioè y è immagine di un'unica x. x x1 Y X X2 c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Funzione Inversa

VLR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI 12 Titolo: Attività nº: FUNZIONI RXR 1 E Facoltà di Economia 8 - 2 FUNZIONE INVERSA Una funzione biunivoca è anche invertibile: data cioè y= f(x) f: X ->Y esiste anche una sua funzione inversa x= f-1(y) f1 : Y ->X che ha come dominio l'insieme Y e come codominio l'insieme X; la y è in questo caso la variabile indipendente mentre la x è la variabile dipendente. Es. y= x + 5 funzione inversa X= y - 5 c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Il Grafico di una Funzione

TAR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI 12 Titolo: Attività nº: FUNZIONI RXR 1 E TA 8 - 3 IL GRAFICO Il grafico di una funzione è la rappresentazione grafica dell'insieme di tutte e sole le coppie ordinate costituite dagli elementi del dominio e dalle rispettive immagini nel codominio. Nel piano cartesiano RxR saranno rette o curve. Nello spazio a 3 dimensioni saranno delle superfici Facoltà di Economia 15 y=x^3 -9x 10 5 0 -5 -10 -15 N -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 z=sin^2(x)cos^2(y) -15 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Studio del Grafico di una Funzione

T R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI 12 FUNZIONI RXR 1 E U Facoltà di Economia La disponibilità del grafico di una funzione è , di norma , conseguente ad un accurato studio della funzione stessa : si deve determinare il suo dominio , i sottodomini di positività e di negatività , quelli di crescenza e di decrescenza , ecc ... Di grande utilità è iniziare la stesura del grafico sin dai primi studi, dalla definizione del domino, poi dal segno e così via .. In questo modo di ha una visione graduale dell'andamento della funzione che permette di avanzare previsioni sui passaggi successivi . Si vedano gli esercizi c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Approfondimento sulle Funzioni

Funzioni in Spazi Euclidei

R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: ECONOMIA E COMMERCIO Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: METODI MATEMATICI 12/S1 APPROFONDIMENTO 1 E Facoltà di Economia Attività 2 - Approfondimento La funzione con il massimo numero di variabili rappresentabile in uno spazio fisico euclideo, ovvero tridimensionale, è la funzione di due variabili. Ciò perché se il dominio è composto da due variabili reali che porremo sul piano x-y, e il codominio da valori scalari reali z = f(x,y)), che porremo su di un terzo asse perpendicolare al piano x- y, allora abbiamo già completato le tre dimensioni dello spazio geometrico tridimensionale euclideo a cui siamo abituati. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Rappresentazione di Superfici

TAR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: ECONOMIA E COMMERCIO Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: METODI MATEMATICI 12/S1 APPROFONDIMENTO E 1 Facoltà di Economia Attività 2 - Approfondimento In questo modo vediamo che ad ogni punto bi- dimensionale del piano x-y la funzione abbina una certa altezza o quota dal piano base: ciò che si ottiene è una superficie. Per rappresentare funzioni di più di due variabili reali, in uno spazio euclideo a n dimensioni è necessario astrarre dallo spazio fisico tradizionale. . c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Funzioni a n Dimensioni

TAR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: ECONOMIA E COMMERCIO Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: METODI MATEMATICI 12/S1 APPROFONDIMENTO 1 E Facoltà di Economia In realtà diverse da quella fisica quotidiana a cui siamo abituati, staccandoci dalle geometrie euclideee, le funzioni sono ad n dimensioni. Una quarta dimensione famosa fu introdotta da Einstein con la sua relatività generale : la dimensione tempo. Le funzioni di più variabili sono un'estensione del concetto di funzione di una sola variabile. Continuano ad abbinare ad ogni elemento del dominio (insieme di partenza) un solo elemento del codominio (insieme d'arrivo o immagine). c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Elementi delle Funzioni a Più Variabili

VLR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI 12/S1 APPROFONDIMENTO 1 E Facoltà di Economia Tuttavia, mentre gli elementi dell'insieme di partenza delle funzioni ad una variabile sono composti da un solo valore scalare, le funzioni a più variabili hanno elementi dell'insieme di partenza composti da n-uple (ennuple) ordinate di valori scalari, dei vettori. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it

Esercitazioni sulle Funzioni

Individuazione del Dominio

TAT R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: 12/S2 ESERCITAZIONI 1 E Facoltà di Economia Attività 3 - Esercitazione Quando viene assegnata una formula per il calcolo del valore di una funzione , e la stesura del suo grafico, normalmente la prima indagine che si esegue è quella di individuare l'insieme degli x a partire dai quali il computo da effettuare può essere condotto a buon fine , senza incontrare ostacoli oltre i quali non è possibile procedere Da adesso, si farà sempre precedere la parte degli esercizi da alcuni di essi già solti per creare delle trecce: Traccia A Si consideri ad esempio la funzione: f(x)=\2x2-3x+1 c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it