Metodi di risoluzione di sistemi di equazioni lineari a due incognite

METODI DI RISOLUZIONE DI SISTEMI

Classe II
a. s. '10/'11
prof.ssa R. Schettino

METODI DI RISOLUZIONE

• Esistono quattro metodi per risolvere un sistema lineare in
  due incognite
• a) metodo di Cramer
  b) metodo di sostituzione
  c) metodo del confronto
  d) metodo di addizione e sottrazione

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PREMESSA

• Le prossime diapositive danno esclusivamente regole
  pratiche ed immediate per l'applicazione dei metodi
  risolutivi di sistemi lineari
• Tali regole vanno applicate quando il sistema dato è
  ridotto in forma normale
  Analizzare bene gli esempi che danno la correttezza di
  tutti i passaggi
• Negli esempi sono stati applicati anche due metodi nella
  risoluzione della stesso sistema

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METODO DI- CRAMER

• Questo metodo fa uso delle matrici e dei
  determinanti
  Una volta assicurati che il sistema è risolubile
  perché i ranghi delle matrici incompleta e completa
  sono uguali, si applicano le seguenti formule:
  x =
  ∆
  ∆
  ·
  ;
• y =
  Ay
  ∆

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METODO DI CRAMER

a
b
A =
det. della M.I.
1
bı

Ax =
bı
c b
C1
det. che si ottiene ponendo nella 1ª colonna i termini noti

Ay =
C1
a c
a 1
det. che si ottiene ponendo nella 2ª colonna i termini noti

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ESEMPI

Il seguente sistema è risolvibile perché i ranghi delle
matrici valgono entrambi 2
[4x+12y-4=0
x-y-5=0

4
A =
1
12
-1
=- 4-12 =- 16

Ax=
4
5
12
=- 4-60 =- 64
-1

4
Ay =
4
1
=20-4=16
5

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6

x =
Δχ
=
=4
∆
ly
16
y =
=
−
-=- 1
∆
16
Soluzione del sistema : x=4; y=-1

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7

64
16

ESEMPI

5x-2y =3
9x+3y =- 1

=
5
9
-2
3
=15+18=33

Ax =
3
-2
3
=9-2=7
-1

Ay =
5
9
3
-1
=- 5-27 =- 32

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8

Ar
7
x =
=
∆
33
−
32
y =
Ay
∆
=
33
Questa è la coppia di numeri soluzione del sistema

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METODO DI SOSTITUZIONE

Si procede in più passaggi:

1. Si ricava un'incognita da un'equazione
2. Si sostituisce nell'altra equazione che diventa così in
   una sola incognita
3. Si risolve quest ' equazione secondo le regole già note
4. Il valore trovato lo si sostituisce nella equazione iniziale

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ESEMPI

4x+12y-4=0
x-y-5=0

[x= y+5
4y + 20+12 y - 4 = 0

[x = y +5
16
y = -
⇒

x = y + 5
4(y +5)+12 y - 4 = 0
⇒

⇒
(x = y + 5
16y +16 = 0
⇒

=- 1
⇒

[x = - 1+ 5 = 4
y =- 1
=>

[x = 4
y =- 1
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. -

ESEMPI

3 x + y = 5
2 x + 3 y = 8
⇒

y = 5-3x
2 x + 3(5- 3 x )= 8

S y = 5 - 3 x
⇒

y = 5 - 3 x
2 x + 15 - 9 x = 8
- 7 x = - 7
⇒

⇒
X ≥1
⇒

y = 5 - 3 x
y = 2
x = 1

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METODO DEL CONFRONTO

• Si procede in più passaggi:
  I. Si ricava un'incognita dalla prima equazione
• Si ricava la stessa incognita dalla seconda equazione
• Si uguagliano le espressioni così ottenute e che
  costituiscono un'equazione in una sola incognita
• Si risolve quest'equazione secondo le regole già note
• Si sostituisce il valore trovato in una delle due equazioni
  determinando il valore dell'altra incognita

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ESEMPIO

(qui è stata applicata anche una sostituzione nell'ultimo
passaggio)
3x+y=5
2x+3y=8
⇒

y=
y=5-3x
3
8-2x=>

8-2x
5-3x=
3

y=5-3x
15-9x=8-2x

y=5-3x
⇒

-7x =- 7

y=5-3x
⇒

[x=1
y=2
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METODO DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

• Si applica quando i coefficienti di una stessa incognita nelle due
  equazioni sono uguali o opposti ( se non lo sono, si moltiplica
  una delle due equazioni per un opportuno coefficiente non
  nullo, in modo da renderli tali)
• Si addizionano (risp. sottraggono) membro a membro le
  equazioni del sistema se i coefficienti sono opposti (risp.
  uguali) in modo che un'incognita si elimina e rimane
  un'equazione con solo l'altra incognita
• Si risolve quest'equazione determinando il valore della
  incognita che poi va sostituito in una delle due equazioni per
  determinare il valore dell'incognita rimanente

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ESEMPIO

(qui è stata applicata una sostituzione nel penultimo
passaggio)
3x+1= 4y
6x+2y-3=0
⇒

3x-4y =- 1
6x+2y=3
⇒

2(3x-4y)= 2(-1)
6x+2y = 3

6x-8y =- 2
6x+2y=3
sottrendo membro a membro
⇒

[-10y =- 5
6x+2y =3
⇒

2
6x+1=3
y =
1
-
⇒

y =
-
1
-
2
X =
-
3
1

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