Elementi di Matematica Finanziaria: interesse, sconto e montante

Università degli Studi di Catania

Dipartimento di Ingegneria Civile e Architettura - DICAr

Corso di Studi in Architettura - Struttura Didattica Speciale di Architettura e Patrimonio Culturale di Siracusa Corso di Economia ed estimo ambientale - prof. Salvatore Giuffrida

Elementi di Matematica finanziaria

Aspetti generali della matematica finanziaria

La matematica finanziaria è una branca della matematica applicata che fornisce gli strumenti per il calcolo del valore di insiemi di somme di denaro collocate in tempi diversi, cioè che si ha il diritto di riscuotere a scadenza (crediti), o il cui utilizzo si rinvia al futuro (depositi). Tra i suoi molteplici ambiti di utilizzo, si delimita qui la trattazione ai soli problemi:

• dell'anticipazione e posticipazione di somme nei due regimi a interesse semplice e composto;
• dell'accumulazione iniziale e finale di annualità limitate;
• alla capitalizzazione di annualità illimitate;
• alla determinazione del valore di quote di ammortamento e reintegrazione di un capitale.

Preliminarmente saranno definiti i concetti di interesse e sconto e indicazioni relative alla questione della dialettica tra presente e futuro cioè della questione delle preferenze temporali.

Poteri della moneta

La moneta è una particolare merce caratterizzata principalmente da due capacità:

• è una forma di ricchezza astratta che può essere convertita in tutte le forme di ricchezza concreta il valore delle quali può essere misurato in moneta;
• mantiene nel tempo questa capacità che le viene garantita dall'autorità che la emette (per la nostra moneta, l'Euro, la Banca Centrale Europea di concerto con le banche nazionali dei paesi della zona Euro).

Di conseguenza la moneta può essere prestata in cambio di un interesse. Questa attività, detta "credito", è esercitata da specifiche istituzioni (istituti di credito, appunto, le banche) in due sensi:

l'istituto (una banca, in questo caso, il "creditore") presta per un determinato periodo di tempo, del denaro (il capitale) a un'azienda (il debitore) che lo utilizza per far fronte agli acquisti di beni e servizi necessari alla produzione; l'azienda, alla fine del tempo pattuito restituisce il capitale maggiorato di un interesse; quest'ultimo è il costo sostenuto dall'azienda per avere usufruito per un certo periodo della possibilità di svolgere l'attività che altrimenti non avrebbe potuto svolgere;

un risparmiatore (creditore) deposita in un conto corrente bancario una somma di denaro per un determinato periodo di tempo ottenendone in cambio un interesse; con questi depositi la banca (debitore) svolge l'attività del credito e restituisce a richiesta del risparmiatore il valore del deposito maggiorato degli interessi maturati nel periodo.

Come si vede, per finalità diverse (e opposte) tra azienda e risparmiatore, la moneta, fornisce:

• nel primo caso, un vantaggio per l'azienda che gode della possibilità di acquistare beni e servizi pur senza averne le disponibilità finanziare immediate;
• nel secondo caso, un vantaggio per il risparmiatore, che gode dei servizi che la banca associa al conto corrente (custodia del deposito, bancomat, carte di credito, servizi finanziari e di consulenza etc.) e ottiene anche un (pur minimo) interesse.Università degli Studi di Catania Dipartimento di Ingegneria Civile e Architettura - DICAr Corso di Studi in Architettura - Struttura Didattica Speciale di Architettura e Patrimonio Culturale di Siracusa Corso di Economia ed estimo ambientale - prof. Salvatore Giuffrida

In forza di queste capacità e di queste relazioni tra creditori e debitori, la moneta assume una particolare caratteristica, quella di essere il riferimento dell'ordine ordine economico- finanziario di un sistema economico avanzato:

consente di agevolare le funzioni della produzione col credito alle imprese;

• consente gli scambi tra beni diversi attraverso la misura del loro valore;
• consente di custodire il risparmio.

Ma la funzione che più caratterizza la moneta, e che dipende in parte anche da quelle suddette, è quella di avere la capacità di creare valore aggiunto. Infatti, date le opportunità che un sistema economico avanzato fornisce, negare un impiego alla moneta, quindi detenerla in depositi inattivi, è contrario alle caratteristiche e funzioni fin qui indicate.

(Delle ragioni per cui questo è invece in certa misura "razionale" si dirà in altra sede.)

La conclusione di questa premessa è che la moneta ha un valore che dipende dalle opportunità del suo impiego date dal sistema economico-finanziario di riferimento, dalle sue caratteristiche e dal suo livello di regolamentazione.

Qualunque somma di denaro ecceda i fabbisogni della sussistenza, quindi l'ammontare necessario alle famiglie per le esigenze legate al mantenimento del loro tenore di vita, ha la possibilità di essere impiegato produttivamente, quindi nel settore del credito o degli investimenti, con diverse prospettive di guadagno (nelle tipologie dell'interesse, del dividendo, della cedola, del profitto, della rendita) a seconda del settore d'investimento. Di conseguenza, e questo è l'aspetto su cui si basa il calcolo finanziario:

• una somma di denaro si considera un capitale avente la capacità "intrinseca" di fruttare un interesse:
• qualora essa venga mantenuta nella condizione di un "deposito inattivo" (in cassaforte) essa implica un "costo-opportunità", misurato dalla perdita dell'interesse che potenzialmente questa somma di denaro avrebbe prodotto se impiegata in uno qualunque dei possibili settori di investimento a parità di rischio).

La questione della preferenza temporale

Per quanto detto, la moneta è un bene che consolida il suo valore nel tempo, perché è con il trascorrere del tempo che essa crea valore aggiunto (interesse).

Di conseguenza, per convenzione, si riconosce alla moneta lo statuto del capitale; un bene capitale è quell'occorrenza, materiale o immateriale, capace di produrre un reddito (profitto, se capitale industriale, interesse se capitale monetario).

Quindi, non è difficile immaginare che questo capitale (cioè qualunque ammontare di denaro sia comunque investito), produca interesse.

Poiché l'interesse si produce nel tempo, la sua entità dipende dalla dimensione del capitale investito, dal tempo per il quale esso è investito (ad esempio prestato) e dal "tasso di interesse". Le prime due variabili non richiedono ulteriori definizioni, mentre il tasso di interesse, non è ancora stato introdotto.

Il tasso di interesse misura l'intensità con cui un capitale produce interesse. È una misura che si riferisce convenzionalmente all'investimento di un capitale in un anno, ed è dato dal rapporto tra l'interesse riscosso nell'anno e il valore del capitale investito (cioè distolto da usi alternativi) per quello stesso anno.

INTERESSE X riscosso in 1 anno CAPITALE investitoUniversità degli Studi di Catania Dipartimento di Ingegneria Civile e Architettura - DICAr Corso di Studi in Architettura - Struttura Didattica Speciale di Architettura e Patrimonio Culturale di Siracusa Corso di Economia ed estimo ambientale - prof. Salvatore Giuffrida

Da queste considerazioni si deduce il concetto di preferenza temporale.

Dato che una somma di denaro produce interesse, se viene depositata in un conto corrente, essa merita un interesse, se viene richiesta in prestito implica il pagamento di un interesse.

La Preferenza Temporale del Presente rispetto al Futuro (PTPF)

La Preferenza Temporale del Presente rispetto al Futuro (PTPF) consiste:

• nella percezione da parte di un soggetto economico del vantaggio di poter disporre prima possibile di un ammontare monetario che gli spetta;
• nella pretesa da parte di un soggetto economico di riscuotere un interesse qualora un pagamento che gli spetta oggi, gli venga corrisposto in futuro, e di un interesse tanto più elevato quanto più questo pagamento venga differito (cioè posticipato) dal presente.

L'intensità della PTPF è misurata dal tasso di interesse. Se è ragionevole che ciascuno di noi esprima una propria PTPF, è da dire che il tasso di interesse non può certo essere una variabile soggettiva e quindi variabile da persona a persona e da momento a momento; come ogni variabile che regola l'ordine economico anche il tasso di interesse è deciso dalla interazione tra le forze del mercato e le regole imposte dallo Stato attraverso le autorità monetarie (Banca d'Italia) e finanziarie (Consob) a ciò preposte.

Pertanto, poiché il tasso di interesse riveste un ruolo fondamentale nella regolamentazione del credito esso è una variabile nota, seppur nella sua articolazione con riferimento ai diversi settori del credito e ai diversi profili rendimento/rischio degli investimenti che il credito sostiene.

Il tasso di interesse si definisce come il prezzo d'uso di un capitale monetario unitario (1 €) nell'unità di tempo (1 anno).

Un tasso d'interesse del 2% indica che un capitale di 1 € depositato in banca frutta in un anno al risparmiatore 0,02 € in un anno; un capitale di 1000 € investito allo stesso tasso e per un anno frutterà di conseguenza 20 €.

Allo stesso modo, un capitale di 100.000 € prestato da una banca a un'impresa al tasso del 6% frutterà alla banca in un anno 6000 €.

Si osservi che le diverse dimensioni del tasso d'interesse per quanto non esatte sono comunque verosimili e il diverso tasso di interesse indica diversi "Saggi di Preferenza Temporale del Presente rispetto a Futuro (SPTPF).

I due tassi sono verosimili perché il SPTPF dipende dal rischio connesso al differimento temporale: investire un capitale significa consegnarlo a un soggetto che lo usa per scopi propri con il vincolo che lo deve restituire a scadenza maggiorato di un interesse. Questo differimento ha un certo margine di rischio che dipende tanto dal tempo quanto dalla affidabilità del soggetto che userà questo capitale altrui.

Un risparmiatore sa per certo che la banca restituirà il capitale e l'interesse, mentre la banca affronta il rischio che l'impresa possa anche fallire, rischiando che il capitale dell'azienda non sia adeguato a ripagare il debito.

Di conseguenza, l'interesse, inteso anche come "premio per il rischio" dovrà essere tanto più elevato quanto più alto sarà il rischio. Questo significa che un investimento più rischioso pretenderà un tasso di interesse più alto e viceversa.

Un investimento che rende il 6% di interesse (cioè 0,06 € per ogni euro investito) sarà più rischioso e quindi più remunerativo di un investimento che rende il 2%.