Funzioni matematiche: limitate, iniettive e monotone

Slide dall'Università eCampus su Funzioni. Il Pdf presenta una panoramica delle proprietà delle funzioni matematiche, come quelle limitate, iniettive e monotone, con definizioni e rappresentazioni grafiche, utile per studenti universitari di Matematica.

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16 pagine

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ECONOMIA E COMMERCIO

METODI MATEMATICI

FUNZIONI

8 – 4 FUNZIONI LIMITATE

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ECONOMIA E COMMERCIO

METODI MATEMATICI

FUNZIONI

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS

Corso di Laurea: ECONOMIA E COMMERCIO

Insegnamento: METODI MATEMATICI

Lezione nº: 13

Attività nº: 1

R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI 13 FUNZIONI 1 EA Facoltà di Economia

Funzioni Limitate

Sia data una funzione f e sia f(x) l'immagine del suo dominio, cioè l'insieme dei valori che essa assume. La funzione si dice

limitata superiormente se il codominio è limitato superiormente, cioè ammette estremo superiore;
limitata inferiormente se è limitato inferiormente, cioè ammette estremo inferiore
limitata se è limitato, cioè ammette sia estremo inferiore che superiore

c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TAR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI 13 FUNZIONI 1 EA VL Facoltà di Economia

Esempi di Funzioni Limitate

005.1-6C 3 1,5 -1 1 2 3 -1,5 Fig. 1 - Funzione limitata inferiormente

1 1 T 0.5 1 1,5 2 2,5 3 -1 -2 - -3 Fig. 2 - Funzione limitata superiormente

T -3 -2 1 2 3 Fig. 3 - Funzione limitata c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI Titolo: Attività nº: Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: 13 FUNZIONI 1 EA Facoltà di Economia

Funzioni Pari e Dispari

Sia f(x) una funzione a valori reali di variabile reale. Allora f(x) è pari se per ogni r E IR vale l'equazione f(x) = f(-x)

Funzione Pari: Esempio Grafico

f(x) f(x) 1 X 0 -2 0 2 0 -X x Come si vede dagli esempi, geometricamente, una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse . c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TAR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI Titolo: Attività nº: Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: 13 FUNZIONI 1 EA Facoltà di Economia

Funzione Dispari

Ancora siaf (x) una funzione a valori reali di variabile reale. Alloraf (x) è dispari se per ogni r E R vale l'equazione f(-x) =- f(x) f(x) Che equivale a f(x) = - f(-x) -x x f(x) Geometricamente, una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine degli assi, cioè i valori a destra dell'origine sono uguali a quelli a sinistra cambiati di segno. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it VLR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI Titolo: Attività nº: Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: 13 FUNZIONI 1 EA Facoltà di Economia

Funzioni Iniettive

Sia data una funzione f : X -> Y essa si dice iniettiva se Vx1,x2 EX f(x1)=f(x2) => x1 =X2 ovvero, una funzione se a punti distinti di X, corrispondono punti distinti di Y

Esempi di Funzioni Iniettive e Non Iniettive

f(x) x f-x) funzione iniettiva

f(-x) 0 -* x funzione NON iniettiva c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TAR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: 13 ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI Titolo: Attività nº: FUNZIONI 1 EA Facoltà di Economia

Funzioni Monotone

Sia data una funzione f : (a,b)->R definita in un intervallo (a,b)ER che può essere chiuso, aperto, limitato o illimitato. Se VX1, X2 E (a,b). tale.che x f(x1)≤ f(x2) è (monotòna) crescente f(x1)≥f(x2) è monotona decrescente

Esempi di Funzioni Monotone

1 crescente decrescente c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TAR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: 13 ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI Titolo: Attività nº: FUNZIONI 1 EA Facoltà di Economia

Asintoti

Il termine asintoto è utilizzato per designare una retta, o più generalmente una curva, alla quale si avvicina indefinitamente una funzione data (si inizia a intravedere il concetto di andamento al limite). Una retta r è quindi un asintoto per il grafico della funzione f, se la distanza PO di un punto del grafico di f da r diminuisce all'aumentare della distanza OP dello stesso punto dall'origine. Gli asintoti possono essere: obliqui, verticali, orizzontali c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TAR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI 13 FUNZIONI 1 EA Facoltà di Economia

Tipi di Asintoti

P H: Q asintoto .. obliquo O y = 1 : asintoto orizzontale 1 -- - -2 .H 0 1 2 3 4 - - -1 - ' X =- 1 : asintoto verticale -3 c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TA rR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI 13 FUNZIONI 1 EA Facoltà di Economia

Estremanti della Funzione

Sia x e dom f x" è un punto di massimo locale, o relativo, per f (x) se esiste un intorno U, * di x* tale che VxEU. domf f(x) =f(x*)

Massimo Relativo Proprio

x (1) Se VxEU. ndomf f(x)<(x*) x (2) * allora x è un punto di massimo relativo proprio. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TAR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI 13 FUNZIONI 1 EA Facoltà di Economia

Massimo Assoluto e Minimi

Se le condizioni (1) e/o (2) avvengono Vx E dom f , non solo in un intorno x ,allora x* è un punto di massimo assoluto. Analogamente, invertendo le disequazioni precedenti si arriva alla definizione di minimo relativo, minimo relativo proprio, minimo assoluto Sia i punti di minimo che quelli di massimo prendono il nome di estremanti. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TAR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: 13/S1 APPROFONDIMENTO E 1 Facoltà di Economia

Approfondimento sulle Funzioni

Attività 2 - Approfondimento

Non bisogna pensare che la regola per il calcolo di f (x) sia affidata ad una formula unica valida per ogni x : sono infatti abbastanza frequenti le così dette definizioni composite o definizioni a tratti di una funzione , come nel seguente esempio : f (x)=x-1, per x<0, e f(x)=x+1, per x>0; si definisce in tal modo una funzione il cui dominio risulta R - {0} , ma con una formula vigente in R+ , e un'altra , diversa , vigente in R -. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO METODI MATEMATICI 13/S2 ESERCITAZIONI 1 E Facoltà di Economia

Esercitazioni sulle Funzioni

Attività 3 - Esercitazioni

Determinare se le seguenti funzioni sono iniettive:

..... y = 4x+5
..... y = x2 -6

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Soluzioni Esercizi Funzioni Iniettive

soluzioni Geometricamente la prima funzione rappresenta una retta, quindi la corrispondenza X-Y è sempre uno a uno. La seconda invece è una parabola e quindi ad ogni y corrispondono due x

..... iniettiva : posti .. f (x1) = f (x2) -> 4x1 +5 = 4x2 +5 -> x1 = X2
..... NON.è.iniettiva

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Esercizi Funzioni Pari o Dispari

Attività 3 - Esercitazioni Determinare se le seguenti funzioni pari o dispari:

..... y=x+ +3x2
..... y = 2x +3x5 +4x
..... y = x7 + x6 + 2x4 + 3x

Soluzioni Esercizi Funzioni Pari o Dispari

soluzioni

..... pari ... f(-x)=(-x)4 +3(-x)2 = x4 + 3x2 = f(x)
..... dispari ... f(-x) =2(-x)7 +3(-x)3 +4(-x) = -2x7-3x3-4x =- (2x +3x3 +4x) == f(x)
.... non.è.nè.pari.nè.dispari(verificare)

Parole Chiave

Attività 4 - da ricordare

Funzioni limitate
Funzioni pari e funzioni dispari
Funzioni iniettive
Funzioni monotone
Asintoti
- obliquo
- verticale
- orizzontale
Estremanti - Massimi e minimi

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