Prestazioni in salita degli aeromobili: equazioni di equilibrio e SEP

Documento dall'Università sulle prestazioni in salita degli aeromobili. Il Pdf esplora concetti chiave come SEP e SET, fondamentali per l'analisi delle prestazioni. Questo documento di Fisica, adatto per l'Università, include formule matematiche e grafici esplicativi, trattando anche le quote di tangenza e l'ottimizzazione del tempo di salita.

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16 pagine

Capitolo 12
Prestazioni in salita
12.1 Equazioni di equilibrio
12.1.1 Ipotesi operative
Le ipotesi principali considerate sono:
1. Il volo `e simmetrico, ovvero non ci sono deviazioni laterali o scivolamenti: β = 0
2. Il moto avviene nel piano verticale, quindi: ˙x = 0
3. La spinta T `e applicata al baricentro (CoG) e allineata con l’asse x
B
.
4. L’angolo di attacco (α) `e piccolo: α ≪ 1
5. La componente T sin α `e trascurabile rispetto alla portanza L: T sin α ≪ L
6. Il momento di inerzia attorno a y
A
, J
y
, `e costante.
12.1.2 Equazioni di Equilibrio
Nel sistema di riferimento aerodinamico (x
A
, z
A
), le equazioni di equilibrio sono:
1. Lungo x
A
:
Il bilancio delle forze lungo l’asse x
A
`e dato da:
m
˙
V = −D + T − W sin γ
2. Lungo z
A
:
Il bilancio delle forze lungo l’asse z
A
, considerando α ≪ 1, `e dato da:
m ˙γ = L − W cos γ
3. Attorno a y
A
:
Il bilancio dei momenti attorno all’asse trasversale y
A
`e:
J
y
¨
θ = M
G
271
272 CAPITOLO 12. PRESTAZIONI IN SALITA
12.1.3 Ipotesi aggiuntive: moto stazionario
Possiamo fare l’ipotesi di moto stazionario, e quindi avremo che:
˙
V = ˙γ =
¨
θ = 0
Le nuovi equazioni di equilibrio sotto queste ipotesi sono:
T = D + W sin γ
L = W cos γ
M
G
= 0
12.1.4 SEP e SET: indicatori di eccesso
Per analizzare le prestazioni del velivolo, si introducono due grandezze fondamentali:
• SEP (Specific Excess Power): indica la potenza in eccesso specifica disponibile, utilizzabile per
guadagnare quota o aumentare la velocit`a verticale.
SEP =
˙
H =
˙
h = V
v
=
P
A
− P
R
W
• SET (Specific Excess Thrust): indica la spinta specifica in eccesso, che permette di incrementare
l’angolo di rampa (γ).
SET = sin γ =
T − D
W
12.1.5 Osservazioni su sin γ e velocit`a Verticale (V
v
)
sin γ =
T − D
W
=
T (h, V, δ
T
) − D(h, V, L)
W
=
T (h, V, δ
T
) − D(h, V, W, γ)
W
V
v
=
P
A
− P
R
W
= ··· =
P
A
(h, V, δ
T
) − P
R
(h, V, W, V
v
)
W
Sotto le ipotesi semplificative:
γ ≪ 1=⇒sinγ ≈ γ, cos γ ≈ 1, L = W
Le formule si semplificano ulteriormente:
sin γ =
T (h, V, δ
T
) − D(h, V, W )
W
V
v
=
P
A
(h, V, δ
T
) − P
R
(h, V, W )
W
Grazie alle ipotesi semplificative, possiamo ritenere ancora validi i diagrammi di P´enau, analizzati in precedenza,
che descrivono l’equilibrio tra potenza disponibile e potenza richiesta per diverse condizioni di volo.
12.2 Prestazioni
Le prestazioni che vogliamo ottimizzare sono 2:
1. Massimizzazione della variazione di quota a pari spazio orizzontale percorso.
L’obiettivo `e massimizzare l’angolo γ, che rappresenta la salita ripida, ovvero la massima variazione di quota
rispetto allo spazio orizzontale percorso.
L’angolo di salita γ `e definito come:
γ =
T − D
W
=⇒ max γ = salita ripida

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Capitolo 12 Prestazioni in salita

Equazioni di equilibrio

Ipotesi operative

Le ipotesi principali considerate sono:

  1. Il volo è simmetrico, ovvero non ci sono deviazioni laterali o scivolamenti: 3 = 0
  2. Il moto avviene nel piano verticale, quindi: x = 0
  3. La spinta T è applicata al baricentro (CoG) e allineata con l'asse xB.
  4. L'angolo di attacco (a) è piccolo: a « 1
  5. La componente T sin & è trascurabile rispetto alla portanza L: T sina « L
  6. Il momento di inerzia attorno a yA, Jy, è costante.

Equazioni di Equilibrio

Nel sistema di riferimento aerodinamico (x4, zA), le equazioni di equilibrio sono:

  1. Lungo x4: Il bilancio delle forze lungo l'asse x4 è dato da: mV =- D+T-W siny
  2. Lungo z4: Il bilancio delle forze lungo l'asse z4, considerando a « 1, è dato da: my= L - W cosy
  3. Attorno a y4: Il bilancio dei momenti attorno all'asse trasversale y4 è: JyÖ = MG XB L T a piano xH yH D W ZH 271272

CAPITOLO 12. PRESTAZIONI IN SALITA

Ipotesi aggiuntive: moto stazionario

Possiamo fare l'ipotesi di moto stazionario, e quindi avremo che: V == = 0 Le nuovi equazioni di equilibrio sotto queste ipotesi sono: T = D+ W siny L = W cos y MG=0

SEP e SET: indicatori di eccesso

Per analizzare le prestazioni del velivolo, si introducono due grandezze fondamentali:

  • SEP (Specific Excess Power): indica la potenza in eccesso specifica disponibile, utilizzabile per guadagnare quota o aumentare la velocità verticale. SEP = H = h = Vy = PA - PR W
  • SET (Specific Excess Thrust): indica la spinta specifica in eccesso, che permette di incrementare l'angolo di rampa (y). T - D SET = sin y = W

Osservazioni su sin y e velocità Verticale (Vu)

sin y = T - D W T(h, V, ỚT) - D(h, V, L) W T(h, V, ỚT) - D(h, V, W, y) W = = Vv = PA - PR W = = · · · PA(h, V, ST) - PR(h, V, W, Vu) W Sotto le ipotesi semplificative: y<1=>siny~y, cosy~1, L=W Le formule si semplificano ulteriormente: T(h, V, ỚT) - D(h, V, W) sin y = W Vu = PA(h, V, ỚT) - PR(h, V,W) W Grazie alle ipotesi semplificative, possiamo ritenere ancora validi i diagrammi di Pénau, analizzati in precedenza, che descrivono l'equilibrio tra potenza disponibile e potenza richiesta per diverse condizioni di volo.

Prestazioni

Le prestazioni che vogliamo ottimizzare sono 2:

  1. Massimizzazione della variazione di quota a pari spazio orizzontale percorso. L'obiettivo è massimizzare l'angolo y, che rappresenta la salita ripida, ovvero la massima variazione di quota rispetto allo spazio orizzontale percorso. L'angolo di salita y è definito come: T - D y = W max y = salita ripida273

12.2. PRESTAZIONI

  1. Minimizzazione del tempo per raggiungere una quota. L'obiettivo è massimizzare Vu, che rappresenta la salita rapida, ovvero minimizzare il tempo necessario per raggiungere una quota. La velocità verticale Vy è definita come: Vu = PA - PR W max Vv = salita rapida V XA Y 1ZH Figura 12.1: salita ripida V XA 000 Vy ZH Figura 12.2: salita rapida

Soluzioni grafiche

Salita ripida

1. formula del Massimo Angolo di Rampa: T - D y = - W Per ottenere il massimo angolo di rampa (max), è necessario massimizzare la differenza (T - D) rispetto alla velocità V. La condizione per il massimo è: ₴D ӘT Questa relazione implica che il massimo angolo di rampa si verifica quando il tasso di variazione della resistenza rispetto alla velocità è uguale a quello della spinta. 2. soluzione grafica: a) Grafico Superiore (T, D vs V):

  • L'asse x rappresenta la velocità (V).
  • L'asse y mostra la spinta (T) e la resistenza (D).
  • La curva arancione rappresenta la spinta T, che varia con la velocità.
  • La curva nera rappresenta la resistenza D, che cresce in modo non lineare con la velocità. Il massimo angolo di rampa si trova dove la distanza verticale tra T e D è massima. (b) Grafico Inferiore (y vs V):
  • L'asse x rappresenta la velocità (V).
  • L'asse y rappresenta l'angolo di rampa (y).
  • La curva mostra y in funzione della velocità. I punti principali sul grafico sono:
  • Vmin: velocità minima per il volo.
  • Vymax: velocità alla quale si ottiene il massimo angolo di rampa (max).
  • Vmax: velocità massima sostenibile dal motore.274

CAPITOLO 12. PRESTAZIONI IN SALITA

D,T Î D T V Y V min V maxY __ max Vv max > > > > max y / V V

Salita Rapida

1. Formula per la Velocità Verticale (Vu): La velocità verticale (Vu) è definita come: Vv = PA - PR W Per ottenere la massima velocità verticale (Vv,max), si deve massimizzare la differenza (PA - PR) rispetto alla velocità V. La condizione per il massimo è: OPA OPR Questa condizione implica che il massimo di Vy si verifica quando il tasso di variazione della potenza disponibile è uguale a quello della potenza richiesta. 2. Soluzione Grafica: (a) Grafico Superiore (PA, PR VS V):

  • L'asse x rappresenta la velocità (V).
  • L'asse y mostra le curve della potenza: - PA: potenza disponibile (curva arancione), che diminuisce con la velocità. - PR: potenza richiesta (curva nera), con un minimo in corrispondenza di una certa velocità.
  • Il massimo di Vu si verifica dove la distanza verticale tra PA e PR è massima. (b) Grafico Inferiore (Vy vs V):
  • L'asse x rappresenta la velocità (V).
  • L'asse y mostra la velocità verticale (Vu).
  • La curva rappresenta Vy in funzione di V, con i seguenti punti chiave: - Vmin: velocità minima per il volo. - Vy,max: velocità alla quale si ottiene il massimo angolo di rampa (y). - Vy,max: velocità alla quale si ottiene la massima velocità verticale. - Vmax: velocità massima sostenibile dal motore. 3. Relazione tra Vy,max e Vy,max: Dal grafico inferiore si osserva che: Vy, max ≤ Vy,max Questa relazione indica che la velocità alla quale si ottiene il massimo angolo di rampa è sempre minore o uguale alla velocità alla quale si ottiene la massima velocità verticale. PA, PR PA PB V VvÎ maxɣ V max275

12.2. PRESTAZIONI

4. Interpretazione:

  • La velocità verticale massima (Vv,max) è utile per massimizzare il tasso di salita verticale, ad esempio per raggiungere rapidamente un'altitudine.
  • La velocità di massimo angolo di rampa (V7,max) è più bassa ed è utilizzata per massimizzare il guadagno di quota per unità di distanza orizzontale, ad esempio per superare ostacoli vicini.

Soluzioni analitiche

Salita ripida, velivolo turbogetto

1. Obiettivo: Massimizzare y L'angolo di salita y è definito come: T - D W Per massimizzare y, la condizione ottimale si verifica quando: OD _OT Questo implica che il massimo valore di y corrisponde a un equilibrio dinamico tra la variazione della resistenza aerodinamica e della spinta rispetto alla velocità V. 2. Velocità ottimale per la salita ripida La velocità ottimale Vmaxy, che massimizza l'angolo di salita, è indicata anche come: Vmaxy = VminD = VmaxE = V SpCLmaxE W/S Dove CLmaxE = VCD0/K 3. Grafico delle curve di D e T rispetto a V Il grafico mostra la relazione tra la velocità V, la resistenza aerodinamica D, e la spinta T.

  • L'asse orizzontale rappresenta la velocità V.
  • L'asse verticale rappresenta D (resistenza) e T (spinta).
  • I punti chiave sono: - Vmin: Velocità minima associata al regime di volo stabile, - Vmaxy: Velocità che massimizza l'efficienza di salita ripida, - Vmax: Velocità massima del velivolo. 4. Osservazione La massima efficienza di salita ripida dipende esclusivamente dall'aerodinamica del velivolo, ovvero dal rapporto tra la spinta T e la resistenza D, e non dalla propulsione in sé. D,T1 D T V min V maxy V max V276

CAPITOLO 12. PRESTAZIONI IN SALITA

Salita rapida, velivolo turbogetto

1. Formula per la Velocità Verticale (Vu): La velocità verticale (Vu) è definita come: Vy =- PA - PR W 2. Espressione di PA e PR: Per un velivolo turbogetto, le espressioni per PA e PR sono: PA= TV PR = 50V3SCDo + k7 2pVS W2 Dove k è un fattore di efficienza aerodinamica. La potenza richiesta (PR) è composta da:

  • Una componente proporzionale a V3 (resistenza parassita).
  • Una componente inversamente proporzionale a V (resistenza indotta). 3. Condizione per Vy,max: Per ottenere Vu,max, è necessario massimizzare la differenza (PA - PR) rispetto alla velocità (V). La condizione di massimo è: OPA av = av aPR 1/2 Vy,max = 3PSCDo T 1+1/1+3 min D T 2 4. Interpretazione Grafica: (a) Grafico di PA e PR:
  • L'asse x rappresenta la velocità (V).
  • L'asse y rappresenta la potenza: - PA: potenza disponibile (curva arancione), che cresce linearmente con V. - PR: potenza richiesta (curva blu), con un minimo in corrispondenza di Vmin.
  • La differenza PA - PR determina Vu-
  • Possiamo individuare i seguenti punti principali: - Vmin: velocità minima per il volo. - Vy,max: velocità corrispondente alla massima velocità verticale. - Vmax: velocità massima sostenibile dal motore. 5. Osservazioni:
  • La velocità Vy,max dipende sia dall'aerodinamica (coefficiente di resistenza parassita CDo e fattore k) che dalla propulsione (spinta T).
  • Un corretto bilanciamento tra potenza disponibile e potenza richiesta è essenziale per ottimizzare le prestazioni. PA, PR PR 1 PA 1 V min - V maxVv max - V >277

12.2. PRESTAZIONI

Salita rapida, velivolo motoelica

1. Massimizzazione di Vv La velocità verticale (Vv) è definita come: Vu = - PA - PR W Per massimizzare Vụ, la condizione ottimale si verifica quando: OPA OPR Questo definisce la velocità alla quale Vy è massimizzato, ovvero V.P. max Vu. 2. Velocità ottimale per la salita rapida (VPa, max Vu) La velocità ottimale per massimizzare Vy è data da: VP maxV2 = min PR = VP V ¿PCLmaxF W/S 3CD0 Dove CLmaxF V K 3. Grafico delle curve di PA e PR rispetto a V Il grafico mostra la relazione tra la velocità V, la potenza disponibile PA, e la potenza richiesta PR:

  • L'asse orizzontale rappresenta la velocità V,
  • L'asse verticale rappresenta PA (potenza disponibile) e PR (potenza richiesta).
  • i punti chiave nel grafico sono: - VminPR: Velocità alla quale la potenza richiesta è minima, - VP maxV .: Velocità che massimizza Vy, coincidente con VminPR e VmaxF, - Vmax: Velocità massima del velivolo. 4. Osservazione La massimizzazione della velocità verticale (V) dipende esclusivamente dall'aerodinamica del velivolo, in particolare dal rapporto tra potenza disponibile e potenza richiesta, e non dalla propulsione. PA, PR PR PA min V max V VminPr = VmaxF = VmaxVv

Salita ripida, velivolo motoelica

1. Formula Generale per y: L'angolo di rampa y è espresso come: y = T - D W 2. Relazione tra Potenza e Forza: La tangente dell'angolo di salita può essere espressa in termini di potenza: tand = PA - PR V = W sin y

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