Lezione 18: Moto di precessione e conservazione del momento angolare

Lezione 18

• Conservazione momento angolare a momento d'inerzia variabile
• Moto di precessione

Cap. 13 Gettys

Lezione 17

... Moto di precessione Cinematica del moto armonico:

• Grandezze caratteristiche ed equazione del moto

Cap. 14 Gettys

• Velocità e accelerazione nel moto armonico

STUDIORU UNIVERSI UM . A · PARMENSIS ALMA · A.D. 962 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 1

Cap. 13 Gettys: Moto di precessione

Altro esperimento per mostrare il moto di precessione: forza peso come forza costante esterna STUDIORU ERSI UM . ALMA . A · PARMENSIS A.D. 962 Ruota il cui centro Q è attaccato ad un giunto in O che la lascia libera di ruotare lungo tutti e tre gli assi il sistema ruota + albero di raggio r. Poniamo la ruota in orizzontale (lungo x) Z 1 r - y > T x Mg Supporto (1) Ruota NON ha un momento angolare di spin iniziale (non sta ruotando su se stessa) -- > La lascio libera a partire dalla posizione orizzontale. Per azione della forza peso M g della ruota stessa (ipotesi braccio del giunto senza massa) c'è un momento torcente rispetto ad O di modulo to = rMg (Mg er ortogonali), la cui direzione è lungo y -- > questo fa ruotare il sistema ruota + albero attorno ad y (verso il basso). Ci sarà un momento angolare associato a questa rotazione attorno ad y (Lo orientato cometo lungo y) https://www.youtube.com/watch?v=XPUuF_dECVI -- > min 24:00 https://www.youtube.com/watch?v=1sLbkfHXIDA -- > min 24:30 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 2

Moto di precessione: Rotazione di spin

(2) Mettiamo in rotazione di spin la ruota. Azione della forza peso M g provoca come prima un momento torcente rispetto ad O orientato lungo y. In questo caso però abbiamo un momento angolare già presente Lo,spin orientato lungo x calcolato rispetto al centro della ruota Q. Lo,spin = IQ@Q,spin dLo dt > Si forma un dZo istantaneo (inizialmente lungo y) associato al momento esterno to che continua a variare nel tempo insieme a Lo - -> moto di precessione (rotazione attorno z) non fa cadere la ruota STUDIORU VERSI UM . ALMA · A.D. 962 2 FN = Mg 3 0 -y r L Q dL T= dt x Mg V ! Centro di massa del sistema ruota + albero non accelera verso il basso durante il moto di precessione perchè la forza peso è compensata dalla forza vincolare FN applicata al giunto O (e alla quale non è associato un momento torcente in quanto non ha braccio) -- > _ Fest = 0 Ci sarà una velocità di rotazione associata a questo moto di precessione attorno a z. Posso valutare il moto di precessione e capire come controllarlo? https://www.youtube.com/watch?v=XPUuF_dECVI -- > min 24:00 https://www.youtube.com/watch?v=1sLbkfHXIDA -- > min 24:30 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 3 A . PARMENSIS

Moto di precessione: Espressione analitica

Lo,spin = IQ@Q,spin Calcolato rispetto a centro ruota Q (rotazione attorno a x) che varia istantaneamente la sua posizione durante il moto di precessione Calcolato rispetto a giunto O (rotazione attorno a z). Causato da momento torcente delle forze esterne caloclato rispetto ad O ed orientato lungo y (varia istantaneamente la sua posizione durante il moto di precessione) -- > provoca componente dL, orientata nella stessa direzione di to -- >To= dLo dt Z Todt y LQ,spin(t) do dLo LQ,spin (t + dt) x Considerando L Q,spin molto maggiore del dLo causato dal momento torcente, possiamo considerare il modulo Lo,spin costante nel tempo, mentre la sua direzione varia continuamente, generando la traiettoria circolare del sistema giunto-ruota, ovvero il moto di precessione P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 4 -y ľ L Q dL T= dt x Mg V STUDIORU VERSI UM . ALMA · A . PARMENSIS A.D. 962 2 FN = Mg 3 Lo,pre = Io@z,pre

Moto di precessione: Grandezze in gioco

Esprimiamo analiticamente le grandezze in gioco. Il modulo del momento torcente vale To =rMg La variazione di momento angolare causata da questo deriva da to = dLe dt Il suo modulo vale dLo = Todt = rMg dt La traiettoria del moto di precessione è descritta dalla variazione della posizione angolare de dell'asse di rotazione di spin della ruota 2 FN = Mg 3 -y ľ L Q dL T= dt x Mg V Z Ľ 'o,pre todt y LQ,spin(t) do Lo,spin sin do = dL. sin do LQ,spin dLo do = dLo Lo,spin IQwQ,spin = x dÃo LQ,spin(t + dt) per piccoli angoli sin 0 ~ 0 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 5 VERSI STUDIORU UM . ALMA · A . PARMENSIS A.D. 962 Sapendo che il modulo Lo,spin può essere considerato costante se il moto di precessione è molto più lento rispetto al moto di spin (wo,spin >> wo,pre), allora posso esprimere la variazione della coordinata angolare come rMg dt

Variazione della velocità di precessione di un giroscopio

STUDIORU VERSI UM . ALMA · A . PARMENSIS A.D. 962 do = dLo LQ,spin = rMg dt IQ@Q,spin Posso esprimere il modulo della velocità di precessione come wo,pre = do dt = rMg IQ@Q,spin Z + Ľ o,pre todt y LQ,spin(t) do dÃo LQ,spin(t + dt) x Sotto l'ipotesi che la velocità di precessione sia molto minore rispetto a quella di spin della ruota -- > se aumento il momento torcente (es. applicando un peso nel punto Q, quindi non variando il momento d'inerzia della ruota Io), aumenterà la velocità angolare del moto di precessione https://www.youtube.com/watch?v=XPUuF_dECVI -- > min 38:30 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 6 -y ľ L dL Q T= dt x Mg V 2 FN = Mg 3

Moto di precessione: Applicazioni

STUDIORU JERSI · WO UNIL to ALMA . A · PARMENSIS A.D. 962 La medesima cosa succede nella trottola Ed è alla base del motivo per il quale possiamo fare una curva in moto o bicicletta semplicemente piegandola in curva precessione spin spin ycator YAMARA A movistar ENEOS YAMAHA 46 ENEOS YAMALUBE AKAHA GAN P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 7

Moto periodico (o moto oscillatorio)

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 Un moto periodico è tale quando la posizione assunta da un punto materiale si ripete nel tempo Il punto riprende la stessa posizione dopo un lasso di tempo chiamato periodo T [s] T può essere collegato ad un'altra grandezza tipica dei moti periodici -- > frequenza f che mi dice il numero di volte che la particella considerata compie un ciclo completo in un secondo [Hz] > [s-1] 1 T = = f Il moto periodico che tratteremo è il moto armonico semplice > Un corpo che si muove di tale moto varia la sua posizione nel tempo con una legge sinusoidale (facile da trattare analiticamente). Nel caso 1d: x(t) = A cos(wt ++) P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 8

Moto armonico semplice: Equazione di coordinata spaziale

STUDIORU VERS DOD UM . UNI ALMA A . PARMENSIS A.D. 962 La coordinata spaziale del corpo (punto materiale) che si muove di moto armonico semplice varia nel tempo secondo: x(t) = A cos(wt ++) X o/w A --- 2 0 t -A - - - 1 - I T -Xm= - A 0 Xm = A A = ampiezza > è la distanza massima del corpo dalla posizione centrale x = 0 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 9 Il punto materiale oscilla tra due punti xm di massimo e minimo di modulo A attorno alla sua posizione centrale x = 0 seguendo una legge sinusoidale (seno o coseno, equivalenti ma sfasati di nt/2) Es. molla ideale in oscillazione Fel el 1 2

Moto armonico semplice: Analisi della fase

STUDIORU UNIVER ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 Analizziamo l'argomento del coseno, detto fase del moto fase [rad] x(t) = A cos (wt + +) + = costante di fase -> dipende dall'istante di tempo in cui si inizia a registrare il moto armonico (t iniziale misura). Es. Se iniziassimo a registrare il moto del blocco attaccato alla molla alla posizione di massima trazione (2) > ¢=0 w = pulsazione o frequenza angolare del moto (ritmo oscillazione) Sarà in relazione con il T in che modo? X o/w A -- 2 0 t -A -- + -- 1 T Fel Fe 1 2 -Xm =- A 0 Xm = A Es. molla ideale in oscillazione P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 10

Moto armonico semplice: Relazione tra pulsazione e periodo

STUDIORU UNIVER ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 fase [rad] x(t) = A cos(wt + +) X 0/w A --- 2 0 t -A - - - 1 T Funzione coseno riprende stesso valore quando il suo argomento (la fase) è aumentato di 21 rad w(t +T) = wt + 2T WT = 2T T = 2TT ω Maggiore è la pulsazione w, minore è il periodo (più sinusoidi nello stesso At) W=,= 2mf [rad/s] P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 11 In un moto armonico la posizione x(t) alla fine di un ciclo intero (ovvero un periodo T) deve assumere lo stesso valore iniziale > x(t) = x(t + T) Poniamo per semplicità ¢=0 (iniziamo a monitorare il fenomeno a t=0 con corpo in posizione di massimo) A cos(wt) = Acos(w(t +T))

Ricapitolazione grafica del moto armonico

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 x(t) = A cos(wt +(0) Questo valore negativo di ¢ trasla la curva del coseno verso destra (c) x π Ø= - Spostamento Xm 4 0 t Le ampiezze sono diverse, ma frequenza e periodo sono uguali (a) x Xm Spostamento Xm 0 Tempo (t) -Am -x m x T 1 Spostamento Xm 0 t 2TT W == 2mf T' T' > Fase (argomento del coseno) P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 12 ¢ = 0 dà la curva del coseno usuale Le ampiezze sono uguali, ma frequenze e periodi sono diversi pulsazione maggiore

Cinematica del moto armonico: Velocità e accelerazione

STUDIORU IERS UM . UNI ALMA . A . PARMENSIS A.D. 962 A partire dalla funzione posizione del punto materiale in moto armonico x (t) posso valutare velocità e accelerazione x(t) = A cos(wt ++) Vx = ax = a dt dx dt cost. A cos(wt + +) derivata di funzione composta h(t) = g(f (t)) -h(t) =g'(f(t)) f'(t) dt d Vx(t) = - wA sen(wt ++) ax = d2x dt2 = dt · x , Vx, ax a coppie sono sfasate di T/2 · Le ampiezze di vx e ax sono diverse da x e funzione della pulsazione w ax(t) = - w2Acos(wt++) ax = - w2x Segno distintivo del moto armonico P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 13 - wA sen(wt + +)

Esempio con molla ideale in orizzontale

STUDIORU ERS UM . ALMA . A.D. 962 Poniamo per semplicità ¢=0 Es. Fel Fel -Xm =- A 0 Xm = A x = A cos(wt) Vx = - WA sen(wt) ax = - w2 A cos(wt) - Xm > ax massima, vx=0 Xm > ax minima (negativa, decelerazione max), vx=0 x = 0 > ax = 0, Vx massima Analogie con analisi grafica energia molla x = - A x = 0 x = A I I I I V -O I 1 t = 0 X - a I I t = 1 T 8 X I a I V t = - T 4 på = 0 X 1> I I t = 2 T 8 X I I a I I v= 0 I - t = 1T I 2 X P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 14 A . PARMENSIS V I