Lezione 19: Cinematica e dinamica del moto armonico, Alma Studiorum Parmensis

Lezione 19

Moto di precessione .. Cinematica del moto armonico: · Grandezze caratteristiche ed equazione del moto Cap. 13 Gettys Lezione 18 Cap. 14 Gettys

• Cinematica del moto armonico semplice Dinamica del moto armonico semplice: · Blocco-molla orizzontale e verticale · Energia nel moto armonico · Pendolo semplice · Pendolo fisico · Moto circolare uniforme come moto armonico Cap. 14 Gettys

STUDIORU UNIVERSI UM . A · PARMENSIS ALMA · A.D. 962 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica

Cinematica del moto armonico

STUDIORU IERS UM . UNI ALMA . A . PARMENSIS A.D. 962 A partire dalla funzione posizione del punto materiale in moto armonico x (t) posso valutare velocità e accelerazione dx Vx = ax = a dt Vx(t) = - wA sen(wt ++) ax = d2x dt2 = dt - wA sen(wt + +) · x , Vx, ax a coppie sono sfasate di T/2 · Le ampiezze di vx e ax sono diverse da x e funzione della pulsazione w ax(t) = - w2Acos(wt++) ax = - w2x Segno distintivo del moto armonico P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 2 dt cost. A cos(wt + +) derivata di funzione composta h(t) = g(f (t)) -h(t) =g'(f(t)) f'(t) x(t) = A cos(wt ++) dt dEsempio con molla ideale in orizzontale (no attriti) Poniamo per semplicità ¢=0 Es. Fel Fel -Xm =- A 0 Xm = A x = A cos(wt) Vx = - WA sen(wt) ax = - w2 A cos(wt) - Xm > ax massima, vx=0 Xm > ax minima (negativa, decelerazione max), vx=0 x = 0 > ax = 0, Vx massima Analogie con analisi grafica energia molla x = - A x = 0 x = A I I I I V -O I 1 t = 0 X - a I I t = 1 T 8 X I a I V t = - T 4 på = 0 X 1> I I t = 2 T 8 X I I a I I v= 0 I t = 1T I 2 X P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 3 A . PARMENSIS ALMA . A.D. 962 STUDIORU ERS UM . V I

Rappresentazione grafica di x, Vx, ax

x, Vx , ax hanno stessa frequenza (stesso periodo) Ampiezza diversa: x fra +A e -A vy fra +WA e -wA ax fra +@2A e -w2A Vx = - WA sen(wt) Fase diversa: Vx +1/2 T rad rispetto a x ax +1nt rad rispetto a x ax = - @2 A cos(wt) ax =- w2x Si noti come x e ax sono in opposizione di fase x Spostamento +Xm t 0 -Xm T > (a) C +0xm Velocità 0 t 1 -@Xm (b) a + wfxm - 0 - t -co- Fxm P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 4 JERSI UM . UNI ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 Poniamo per semplicità ¢=0 x = A cos(wt) Accelerazione STUDIORU

Dinamica del moto armonico

VERSI STUDIORU UM ALMA · A . PARMENSIS A.D. 962 Sappiamo con quale legge vari l'accelerazione di una particella in funzione del tempo quando questa è sottoposta ad un moto armonico > ax = - w2x Ora cerchiamo di capire il legame con la forza necessaria a generare questa accelerazione nel corpo (dinamica) > partiamo dalla seconda legge della dinamica Fx = max = m(-w2x) =- (mw2)x Il moto armonico è il movimento di una particella di massa m soggetta ad una forza proporzionale al suo spostamento, ma di segno opposto Segno negativo indica che si tratta di una forza di richiamo, che cerca di opporsi al moto tentando di riportare la particella nella posizione x = 0 > ricorda legge di Hooke, forza agente sul blocco collegato ad una molla di costante elastica k > Fx =- kx P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 5

Sistema blocco-molla orizzontale (ideale, no attriti)

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 Es. molla ideale Fel Fel max =- kx ん W = m 1 Pulsazione Periodo ax = - - w 2 x Equazione distintiva del moto armonico T = 2T m Vk ax = - k m - X -Xm 0 Xm Il blocco collegato alla molla compie un moto armonico lineare Più una molla è rigida (k elevato) e più un corpo posto fuori dalla sua posizione di equilibrio oscillerà attorno ad essa con una pulsazione maggiore ("oscillazioni più rapide", ovvero frequenza maggiore -- T minore) Maggiore è la massa in oscillazione e minore sarà la pulsazione ("oscillazioni più lente", ovvero frequenza minore -- T maggiore) P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 6

Esempio

Blocco (m = 680g ) fissato a molla (k = 65 N/m) spostato dalla sua posizione di equilibrio di Xm = 11 cm e lasciato andare da fermo al tempo t = 0 (no attriti, molla ideale). Valutare: 1. w, f, T, A e ¢ del moto armonico risultante 2. massima velocità del blocco oscillante e dove si trova quando questa si verifica 3. L'accelerazione massima del blocco STUDIORU VERSI UM . DOD UNI ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 Fel TRI el 0 -Xm Xm P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 7

Energia nel moto armonico

UNIVERSI STUDIORU UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 Sappiamo che la forza elastica esercitata da una molla è conservativa e la sua energia potenziale è U = = kx2 L'energia potenziale della molla può essere quindi descritta in funzione della coordinata posizione che esprime il suo moto armonico semplice x = A cos(wt + +) U = = k A2 cos2(wt + +) 2 1 Analogamente possiamo definire la sua energia cinetica dalla definizione K = = mv2 e utilizzando l'espressione vx = - WA sen(wt + +) 2 1 K = = m w2 A2 sen2 (wt ++) 2 Fe Fe 0 -Xm Xm Il valore massimo di entrambe lo si ottiene per seno e coseno = 1, possiamo esprimere le due energie come U = Umax cos2 (wt + +) K = Kmax sen2(wt + +) P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 8

Energia nel moto armonico: conservazione

UNIVERSI UM . ALMA · A . PARMENSIS A.D. 962 L'energia meccanica totale (in assenza di fenomeni dissipativi) si mantiene costante nel tempo Funzioni trigonometriche sfasate di nt/2 -- > quando cos = 1, sen = 0 E = U + K = Umax cos2(wt + +) + Kmax sen2(wt ++) Inoltre, nel caso particolare del sistema blocco-molla orizzontale w = 1 Kmax = = m w2A2 == m 1 m 2 (m)A2 = KA2 1 2 k Vm Umax = Kmax E = U + K = Umaxl cos-(wt + +) + sen2 (wt + +)] = 1 E = = m @2 A2 = = kA2 1 1 2 2 P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 9 1 Umax = = kA2 STUDIORU

Energia nel moto armonico: espressione grafica per t e x

1 U = = k A2cos2(wt ++) 2 Al trascorrere del tempo l'energia si travasa alternativamente tra i due tipi, ma la somma è costante E = = m @2 A2 = = kA2 (a) U(t) + K(t) E U(t) Energia K(t) 0 T/2 T Possiamo anche esprimere K e U in funzione di x U = = kx2 2 1 1 K = = k(A2 - x2) K = = m @2 A2 sen2 (wt ++) 2 1 Fel Fe - x 0 E [J] Kmax Umax E K U x [m] -A A P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 10 STUDIORU JERSI UM . ALMA · A . PARMENSIS A.D. 962 X t 1 2 1 2

Sistema blocco-molla verticale (ideale, no attriti)

STUDIORU VERSI UM . ALMA A.D. 962 Molla con costante elastica k appesa al soffitto -- > no estensione rispetto a sua posizione di equilibrio in assenza di massa collegata (massa trascurabile) Collego blocco di massa m -- > provoca estensione { molla Forze in gioco: Forza elastica di richiamo molla esercitata sul blocco e diretta verso l'alto -- > kłĵ Forza peso del blocco rivolta in verso opposto -- > -mgĵ y=0 rh - mg j In posizione di equilibrio (Y=0) kł = mg problema 1d! (possiamo omettere versore) mg e = mg P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 11 A · PARMENSIS y e kej

Sistema blocco-molla verticale: sollevamento

Solleviamo di y il peso dalla posizione di equilibrio Sposto molla verso l'alto rispetto a condizione equilibrio sistema blocco-molla. La nuova posizione del blocco fuori equilibrio diventa ({ - y) Fy = k({ - y) - mg = may mg k ℓ 1 k(e - y ) } y m eq. y = 0 Da condizione di equilibrio - mg j k mg k -y) - mg = may -> -ky = may 𝑦𝑦 k dy === y m accelerazione e spostamento in opposizione di fase! -- > Ricordando ax = - w2x per w = vk/m le equazioni coincidono Moto blocco-molla verticale è armonico con pulsazione analoga al sistema blocco-molla orizzontale y = A cos(wt + +) w=k/m Più rigida è molla (k >), più è elevata la frequenza di oscillazione ( w>). >m, <w P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 12 UNIVERSI DOD UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 STUDIORU 1

Esperimento per dimostrare legge della y(t) in moto armonico semplice

STUDIORU UNIVERSI UM . ALMA · A · PARMENSIS A.D. 962 https://www.youtube.com/watch?v=P-Umre5Np 0 > (massa-molla verticale) y - -- I 0 t ----------- P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 13

Pendolo semplice

STUDIORU VERS UM . UNI ALMA . A . PARMENSIS A.D. 962 y F. F . Posizione di equilibrio Forza peso Fg = - mgî equilibrata dalla tensione del filo Ff Il pendolo semplice offre un altro esempio di moto periodico. Esso ha la massa concentrata a un'estremità ed è sospeso all'altra estremità di un filo considerato come privo di massa L 1 S 1 X 1 1 F g Situazione fuori equilibrio Produce un'accelerazione tangenziale at che tende a riportare la massa verso la posizione di equilibrio P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 14 Componente tangenziale della forza peso Pg E Ft = - Fg sen O > Ft = - mg sen 0 = mat IF 1 gt 1

Pendolo semplice: bilancio forze approssimando arco a spostamento x lineare

STUDIORU VERSI UM- ALMA . A · PARMENSIS A.D. 962 Per piccoli spostamenti (piccoli angoli 0) Allora: arco s ~ x con x = L sene -- > sent = x/L La componente tangenziale della forza peso diventa componente x: Ft ~ Fx = - mg sen 0 = - mg x/L 1 gt 1 1 1 1 F g ax =2x accelerazione e spostamento in opposizione di fase! -- > Ricordando ax = - @02x Per piccoli spostamenti s, pendolo semplice si muove di moto armonico con pulsazione W=g/L x = A cos(wt + +) T = 21 L / g A differenza del sistema blocco-molla, il suo moto oscillatorio è indipendente dalla massa collegata P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 15 L Per la seconda legge di Newton -mg= max x S X Ff IF 1

Pendolo semplice: momento torcente di richiamo

STUDIORU JERSI UM. UNI ALMA A.D. 962 O 1 I I I F L 1 S IF \ gt 1 1 X 1 1 g Situazione fuori equilibrio Le due forze agenti sul sistema sono la forza peso Fg e la forza di tensione del filo Ff > l'unica alla quale è associato un momento torcente di richiamo è la forza peso il cui modulo vale Tz,o = - LFgsen 0 = - Lmgsen 0 ~ - Lmge piccoli spostamenti sen 0 ~ 0 ETzo = 470 = 10 dLzo Essendo T zo l'unico momento torcente esterno agente sul mio pendolo semplice fuori dalla sua posizione di equilibrio, Tz = Iaz lodz = - mgLe z = - mo mgL Il moto del pendolo semplice è di rotazione, per cui a differenza della molla avrò a che fare con spostamenti angolari 0 ed accelerazioni angolari az > valgono le stesse considerazioni fatte per il moto traslatorio! accelerazione angolare e posizione angolare sono in opposizione di fase! -- > Ricordando ax = - @02x, possiamo esprimere le stesse relazioni del moto armonico in forma angolare P. Mazzolini Fisica I - LT Chimica 16 A . PARMENSIS