Metodi Quantitativi: Discounted Cash Flow e Valore Attuale Netto

UNIVERSITÀ DELLA VALLE D'AOSTA

UNIVERSITÉ DE LA VALLÉE D'AOSTE

Università della Valle D'Aosta - Dipartimento di Scienze Economiche e Politiche Corso di laurea in Economia e Management (classe laurea L-18) Curriculum Economia e analisi dei sistemi economici Economia e gestione delle Imprese

METODI QUANTITATIVI - MODULO MATEMATICA 2 6 CFU - ORE 45 Docente: Dott.ssa Tiziana Ciano Anno Accademico 2024/2025

Discounted Cash Flow e valore attuale netto

Il Discounted Cash Flow è un metodo di valutazione finanziaria ampiamente utilizzato per valutare l'attuale valore di un investimento futuro, prendendo in considerazione il flusso di cassa che tale investimento genererà nel corso del tempo. Questo metodo di valutazione è basato sul presupposto che il valore di un investimento è determinato dal valore attuale dei suoi flussi di cassa futuri.

Il Discounted Cash Flow è ampiamente utilizzato da investitori, analisti finanziari e imprenditori per:

1. valutare il valore di un'impresa o di un progetto di investimento,
2. determinare se un'azione o un'obbligazione è sottovalutata o sopravvalutata,
3. valutare l'opportunità di investire in un progetto di investimento specifico.

Questo metodo di valutazione fornisce un quadro dettagliato e completo della situazione finanziaria dell'impresa o del progetto e aiuta gli investitori a prendere decisioni informate sulla base di dati concreti.

Discounted Cash Flow e valore attuale netto: Limiti e Valore Temporale del Denaro

Tuttavia, il flusso di cassa attualizzato presenta anche alcuni limiti, come l'incertezza nell'accuratezza delle previsioni future e l'instabilità dei tassi di interesse, che possono influire sul risultato della valutazione. Una delle ragioni principali per cui le aziende utilizzano il flusso di cassa attualizzato è perché tiene conto del valore temporale del denaro. Questo significa che il flusso di cassa attualizzato tiene conto del fatto che i soldi ricevuti oggi sono più preziosi dei soldi ricevuti in futuro, poiché i soldi oggi possono essere investiti e generare interessi o profitti.

Discounted Cash Flow e valore attuale netto: Definizione e Funzione

Si dice Discounted Cash Flow (DCF) di un'operazione finanziaria f{(ts, as)} (con s = 0,1,2, ... ,n), indicato con G, la somma algebrica dei valori attuali, calcolati a tasso annuo d'interesse composto x, dei movimenti di cassa as, cioè:

+ ... + an (1 + x ) tn (1) G (x) = a0 + a1 (1 + x) +1 + (1 + x) +2 a2

Il DCF è funzione del tasso annuo d'interesse composto x definita per valori che appartengono all'intervallo (-1;+00) e a valori in R, quindi utilizzando la notazione vista per le funzioni, possiamo anche scrivere G : (-1;+00) -> R.

Discounted Cash Flow e valore attuale netto: Esempio e Proprietà

Esempio: Un'operazione finanziaria a fronte di un esborso immediato di 1000 € genera un incasso di 610 € tra un anno e un successivo incasso di 440 € tra due anni. Il DCF a tasso annuo d'interesse composto x > -1 risulta

G(x) = > s=0 2 (1 + x) = -1000 + 610 1 +x + 440 (1 + x)2

Si osserva che:

• per x molto vicino a -1 da destra la funzione assumerà valori positivi molto grandi, possiamo scrivere G (-1) = +00;
• per x che prende valori molto grandi la funzione si avvicinerà sempre di più al primo flusso di cassa do, da cui la scrittura G(+00) = - 1000.
• La derivata prima di G risulta: è sempre negativa per ogni valore di x, quindi si evince che G è strettamente decrescente;

G' (x) = 610 (1 + x)' 2 880 (1 + x) 3

G(x) 1 * X x -1

Discounted Cash Flow e valore attuale netto: Derivata Seconda e Grafico

• la derivata seconda di G vale

G" (x) = 1220 ( 1 + x )3 + 2640 (1 + x)3

sempre positiva per qualsiasi valore di x, perciò G è strettamente convessa. Con queste informazioni siamo in grado di tracciare nel piano un grafico qualitativo del DCF

G(x) * X X ao -1|

Grafico DCF

Sempre dal grafico possiamo osservare la presenza di un tasso annuo d'interesse composto, indicato con x, che divide la zona dove il DCF è positivo (per ogni -1 < x < x*) dalla zona dove il DCF è negativo (per ogni x > x*).

Discounted Cash Flow e valore attuale netto: Andamento del Grafico

In alcuni casi particolari possiamo tracciare immediatamente l'andamento del grafico del DCF al variare di x, questi sono:

• se ao < 0 e as ≥0, con s = 1; 2; ...; n, (con almeno un flusso di cassa non nullo) allora G(x) sarà una funzione strettamente decrescente e convessa, interseca l'asse delle x in un punto e quando x assume valori molto grandi (cioè per x ->+%) il DCF si avvicina sempre più al primo flusso di cassa ao (vedi figura (a)).
• se do > 0 e as ≤ 0, con s = 1; 2; ....; n, (con almeno un flusso di cassa non nullo) allora G(x) sarà una funzione strettamente crescente e concava, interseca l'asse delle x in un punto e quando x assume valori molto grandi (cioè per x -> +00) il DCF si avvicina sempre più al primo flusso di cassa (vedi figura (b)).

G(x) 1 G(x) 0° X * X X X do 1 1 -1! (a) -1! (b)

Discounted Cash Flow e valore attuale netto: Combinazione di Operazioni Finanziarie

Consideriamo due operazioni finanziarie A = {(ts, as)}, e B= {(ts, bs)}, con s = 0; 1; 2; ...; n, con DCF rispettivamente GA (x) e GB (x). È possibile costruire una nuova operazione finanziarie, che indicheremo con C, combinando le operazioni finanziarie A e B, generata semplicemente addizionando i flussi di cassa di A e B premoltiplicati per dei coefficienti a, ß E [0,1] che rappresentano le scale di attivazione delle operazioni, rispettivamente, A e B, cioè

C= {(ts,aas + 3bs)} con s = 0, 1, 2, ... , n

Esempio di Combinazione di Operazioni Finanziarie

Esempio: Consideriamo le seguenti due operazioni finanziarie biennali

Anni 0 1 2

A Importi -1000 700 600

B Importi -2000 1200 1100

Discounted Cash Flow e valore attuale netto: Calcolo del DCF Combinato

Possiamo costruire una nuova operazione finanziaria a due anni con flussi di cassa pari a 0.5 as + 0.5 bs (prendendo come scale di attivazione dei due impieghi i pesi a = B= 0.5, ciò vuol dire che di ogni operazione prendiamo solo il 50% dei flussi di cassa), ottenendo in tal modo l'impiego

Anni 0 1 2

C Importi -1500 950 850

Allora il DCF di questa combinazione di operazione finanziarie con pesi a, ß E [0, 1] risulta

Go (x) = a · GA (x) + B . GB (x) (2)

cioè è sufficiente moltiplicare i DCF delle due operazioni finanziarie per le rispettive scale di attivazione e poi calcolarne la somma (in modo più formale si dice anche che il DCF è un operatore di tipo lineare). Il risultato della (2) si può agevolmente generalizzare per un numero finito di operazioni finanziarie.

Tasso annuo effettivo globale

Nei contratti di credito al consumo e di leasing finanziario le rate oggetto dei contratti si calcolano utilizzando un tasso d'interesse composto effettivo (annuale, semestrale e cosi via). Occorre tenere conto che questo tasso non misura il costo effettivo (o reale) dei due contratti di finanziamento in quanto non tiene in considerazione dei costi accessori che normalmente vengono aggiunti nella costruzione di questi contratti. Il costo effettivo (o reale) di un finanziamento (con costi accessori) si stabilisce attraverso il calcolo di un particolare parametro che si chiama Tasso Annuo Effettivo Globale (TAEG). Questo indicatore corrisponde al tasso interno (o implicito) di un contratto di finanziamento comprensivo dei costi accessori quali le spese d'istruzione e di apertura della pratica di finanziamento, imposta di bollo, commissioni d'incasso delle rate di rimborso e dei costi di assicurazione (obbligatoria).

Consideriamo un contratto di finanziamento per un ammontare S da rimborsare attraverso il pagamento di n rate annue posticipate Rs, con s = 1; 2; ...; n, che possiamo descrivere con la seguente tabella

Scadenze to =0 t1 . .. ts ... tn

Importi S -R1 ... -Rs ... -Rn

con tasso interno di rendimento (TIR) esattamente uguale tasso annuo d'interesse del contratto di finanziamento.

Tasso annuo effettivo globale: Costi Accessori

I costi accessori relativi al finanziamento sono:

• spese d'istruzione della pratica di finanziamento (da decurtare all'ammontare finanziato): queste possono essere un ammontare fisso, che indicheremo con a, o parametrate in base all'ammontare finanziato S, in tal caso scriveremo BS;
• spese d'incasso delle rate di rimborso (da aggiungere alle rate di rimborso): queste possono essere un ammontare fisso, che indicheremo con y, o proporzionali alle rate di rimborso Rs (con s = 1; 2; ...; n), e scriveremo SRs.
• spese a titolo d'imposta: queste vengono decurtate dall'ammontare inizialmente finanziato per un ammontare pari a to e aggiunte alle rate di rimborso per un ammontare pari ts (con s = 1; 2; ...; n).

Tasso annuo effettivo globale: Flussi di Cassa e Calcolo del TAEG

I flussi di cassa generati da un contratto di finanziamento (per entrambi le parti del contratto) con costi accessori sono

Scadenze to =0 t1 . .. tn

Importi (Finanziato) S-a - BS - TO - (1 + 8) R1 - Y -T1 . .. - (1 + 8) Rn - Y- Tn

Importi (Finanziatore) -S + a + BS + TO (1 + 8) R1 + y + T1 . .. (1 + 8) Rn + Y + Tn

Il DCF, calcolato a tasso annuo d'interesse composto x > -1, di questa operazione di finanziamento (per il soggetto finanziato) risulta

G(x) = [(1-3) S-a - To] - >[(1+8) Rs + Y + Ts] (1 + x) -ts s=1 n

La struttura dell'operazione finanziaria prevede un'entrata iniziale seguita da tutte uscite, quindi esiste un unico tasso interno (o implicito) x* che è la soluzione dell'equazione G(x) = 0, cioè

S - a - To] ->[(1+8) Rs + Y + Ts] (1 + x*)-ts = 0 s=1 n

che rappresenta il tasso annuo effettivo globale (TAEG) del finanziamento.

Tasso interno di Rendimento

Data un'operazione finanziaria si dice Tasso interno di rendimento (TIR) dell'operazione stessa quel tasso di valutazione x* (x* > 1) in corrispondenza del quale il valore attuale dei suoi flussi di cassa si annulla, ossia è il tasso che rende equa l'operazione.

VAN(k; i*) = Eh=k Xk · (1 + i*)tk-th segue. VAN(k; x*) = 0

Tra più alternative d'investimento si preferisce quella che presenta un TIR maggiore; tra più alternative di finanziamento si preferisce quella con tir minore; in quest'ultimo caso si parla più propriamente di TIC (Tasso Interno di Costo). Se due alternative hanno il medesimo TIR esse sono ritenute indifferenti (ma non necessariamente identiche).

Tasso Interno di Rendimento: Determinazione e Significato

• La determinazione del TIR è legata alla soluzione dell'equazione VAN (k; x*) = 0
• La risoluzione di tale equazione può condurre all'individuazione di nessuna radice, una radice, più radici
• Di queste non tutte possiedono un significato finanziario, pertanto sarà compito dell'utilizzatore verificare l'accettabilità dei risultati, in particolare la loro compatibilità con le reali situazioni di mercato.
• Qualora si operi nel regime dell'interesse composto, il TIR si trova risolvendo l'equazione (di grado n) in i.

VAN(k; x*) = >h=k Xk . (1 + x*)tk-th = 0