Appunti sui radicali: proprietà fondamentali e operazioni principali

INDICE

• Introduzione ai radicali
• Proprietà invariantiva
• Semplificazione di un radicale
• Riduzione di radicali allo stesso indice
• Moltiplicazione di radicali
• Quoziente di radicali
• Trasporto di un fattore sotto il segno di radice
• Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice
• Potenza di un radicale
• Radice aritmetica di un radicale aritmetico
• Somma algebrica di radicali aritmetici
• Razionalizzazione del denominatore di una frazione
• Radicali doppi
• Formulario

INTRODUZIONE AI RADICALI

Si ricorda che si dice numero razionale un qualsiasi numero che può essere scritto sotto forma di frazione. Tutti i numeri interi Sono quindi numeri razionali Tutti i numeri decimali limitati Tutti i numeri decimali periodici Si dice invece numero irrazionale ogni numero che non può essere scritto sotto forma di frazione. Un numero razionale o irrazionale si dice numero Reale.

NUMERI REALI

NUMERI INTERI NUMERI RAZIONALI NUMERI DECIMALI LIMITATI NUMERI DECIMALI PERIODICI NUMERI IRRAZIONALI Non si possono scrivere sotto forma di frazione = NUMERI DECIMALI ILLIMITATI E NON PERIODICI

Sia a un numero reale relativo qualunque ed n un numero intero positivo; si vuole sapere se esiste un numero reale relativo x che elevato ad n dia a (cioè tale che x = a ). n Se il numero x esiste lo chiamiamo radice algebrica ennesima di a ("a ). Il simbolo "a si legge "radice ennesima di a" dove:

Componenti della radice

n a a = RADICANDO n = INDICE DELLA RADICE V = SEGNO DELLA RADICE

Se l'indice della radice n = 2, cioè quando si tratta di una radice quadrata si scrive semplicemente Va . Quindi la radice algebrica n-esima di a (numero positivo o negativo) è quel numero (positivo o negativo) la cui potenza n-esima dia il numero dato (cioè a).

Richiamo sulle proprietà delle potenze

Facendo un breve richiamo sulle proprietà delle potenze abbiamo: · Se a> 0 allora a" > O sia che n sia pari o dispari; · Se a < 0 allora a" > 0 se n è pari; a" < 0 se n è dispari;

Ricordando che se a" = b si deve determinare a, allora si avrà a = "/b e che quindi l'operazione di estrazione di radice altro non è che l'operazione inversa rispetto a quella di elevamento a potenza, si deduce da quanto abbiamo visto dalle proprietà delle potenze che la radice algebrica di un numero a (positivo o negativo) è tale che:

Radice con indice pari

· Quando l'indice di radice è pari (cioè se n è pari) allora: 1. se il radicando a è positivo (cioè se a > 0) allora ammette come soluzioni 2 valori che hanno lo stesso Valore Assoluto (ricordiamo che il valore assoluto o modulo di un numero relativo a (indicato con a ) è il numero stesso privato del segno) ma segno opposto cioè: Ja = +b; 2. se il radicando a è negativo (cioè se a < 0) allora non ammette alcuna soluzione nel campo dei numeri reali (infatti la potenza pari di un numero negativo è sempre positiva: esempio -42 =16 ).

Radice con indice dispari

· Quando l'indice di radice è dispari (cioè se n è dispari) allora: 1. se il radicando a è positivo (cioè se a > 0) allora ammette come soluzione un unico valore positivo; 2. se il radicando a è negativo (cioè se a < 0) allora ammette come soluzione un unico valore negativo.

Riepilogo delle soluzioni

Riepilogando "a · Sen è pari allora a > 0 (due soluzioni) 0 (unica soluzione) "a = b; · Se n è dispari allora a < 0 (unica soluzione) <- a = - b;

Radicale aritmetico

Esiste un altro tipo di radicale che è il radicale aritmetico. Il radicale aritmetico " a (con a > 0) è invece il numero reale non negativo la cui potenza n-esima è uguale ad a . Attenzione: nelle radici aritmetiche il radicando si suppone sempre positivo (cioè a > 0 sempre). Pertanto la radice aritmetica n- esima di un numero a esiste ed è unica.

Precisazione sui radicali aritmetici

Piccola precisazione: in seguito si esamineranno molte proprietà dei radicali aritmetici, proprietà che non saranno, almeno in generale, estendibili ai radicali algebrici. I nostri radicandi saranno, quindi, sempre numeri non negativi e nel caso fossero rappresentati da espressioni letterali, sarà sempre sottinteso che alle lettere si potranno attribuire solo valori che rendano non negativi i valori assunti dalle espressioni stesse. Sotto queste condizioni saranno sempre valide le successive proprietà. Si ricorda, inoltre, che nel caso di radicando nullo si pone

PROPRIETA' INVARIANTIVA

Il valore di un radicale aritmetico non cambia se moltiplichiamo o dividiamo l'indice del radicale e l'esponente del radicando per uno stesso numero positivo (non nullo). In simboli abbiamo:

Formula della proprietà invariantiva

n a m = mp

Dimostrazione della proprietà invariantiva

Dimostrazione: Ricordando che se a" = b" si ha anche a = b allora si eleva alla np il 1° ed il 2° membro dell'uguaglianza e si avrà 1º MEMBRO: ("a" np = n n Va" m = p m 2° MEMBRO: ( np mp a np = amp Si è ottenuto lo stesso risultato e quindi la proprietà invariantiva è stata dimostrata. La proprietà invariantiva è molto importante in quanto trova notevoli applicazioni nel calcolo dei radicali.

Esempio di proprietà invariantiva

Esempio: Va3 = & a12 eleviamo i 2 membri alla ottava potenza 1° MEMBRO (Va) =(Va3)"= (Vas) ,74 =[a] =a12 2º MEMBRO (va12) =a12

SEMPLIFICAZIONE DI UN RADICALE

Un radicale si può semplificare quando è possibile dividere l'indice di radice e gli esponenti del radicando per uno stesso numero. Quando l'operazione non è possibile allora l'indice di radice e gli esponenti del radicando risultano primi fra loro ed il radicale si dice irriducibile.

Procedura per semplificare un radicale

Per semplificare un radicale si procede come segue: 1. Si decompone il radicando in fattori primi; 2. Si calcola il M. C. D. (Massimo Comune Divisore) fra l'indice del radicale e gli esponenti dei fattori del radicando; 3. Si divide per il M. C. D. trovato sia l'indice del radicale che gli esponenti dei fattori del radicando.

Esempio di semplificazione

Esempio: a2 (x+y)" il M. C. D. di 6 - 2 - 14 è = 2 si divide l'indice e gli esponenti e si ottiene a (x+y)' che è un radicale equivalente a quello di partenza. Se il M. C. D. = 1 allora il radicale, come si è già detto, si dice irriducibile.

RIDUZIONE DI RADICALI ALLO STESSO INDICE

Per ridurre 2 o più radicali (aritmetici) allo stesso indice si procede come segue: 1. si decompongono in fattori primi tutti i radicali; 2. si rendono irriducibili tutti i radicali; 3. si calcola il m. c. m. (minimo comune multiplo) fra gli indici di tutti i radicali e lo si assume come minimo comune indice per tutti i radicali; 4. si divide il m. c. m. per l'indice di ciascun radicale e si moltiplica il quoziente ottenuto per l'esponente di ogni fattore di ciascun radicando.

Esempio di riduzione

Esempio: 10/a4b6 ; Aa2+2ab+b2; ; ₹(b-5)2; 1° PASSAGGIO : ab 6 ; (a+b)2; ₹(b - 5)2; 2° PASSAGGIO : Va2b3 ; Na + b; ; &/(b - 5)2; 3º PASSAGGIO : m.c. m. (5, 2, 3) = 30; 4° PASSAGGIO : 30/a 12b 18 ; 30/(a + b)"; 30/(b - 5)20 . La riduzione di radicali allo stesso indice può essere utilizzata anche per mettere in ordine (crescente o decrescente) o per confrontare 2 o più radicali.

Esempio di ordinamento

Esempio: Mettiamo in ordine crescente i seguenti radicali V2; 27; 2/17; J3; allora il m. c. m. (2, 3, 6, 2) = 6 6/23; 6/72; 6/17; 6/33 = 6/8; 6/49; 6/17; 6/27 e visto che 8 < 17 <27 <49 si ha anche 28 << /17 < < /27 < 6/49 e quindi ritornando all'inizio V2 < 217 < 3 < < /17

MOLTIPLICAZIONE DI RADICALI

Il prodotto di 2 o più radicali aritmetici aventi lo stesso indice è un radicale aritmetico che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi. Quindi prima di procedere alla moltiplicazione, la prima operazione da fare se i radicali non hanno lo stesso indice è quella di ridurli allo stesso indice e solo allora eseguire la moltiplicazione. In simboli: "a . Vb = Wab oppure n ab2 .Na2b3 (ricordando la proprietà del prodotto di potenze aventi la stessa base a3 · a2 = a3+2 = a5) si ha n a'b

Dimostrazione della regola del prodotto

Dimostrazione della regola del prodotto: Eleviamo alla n-esima potenza il 1º ed il 2° membro dell'uguaglianza "a . "b = "ab si ha: 1° MEMBRO: (Wa ."b)" =("a)" .("b)= ab 2° MEMBRO: (Wab)" = ab Avendo ottenuto lo stesso risultato la regola è stata dimostrata. E' ovvio che se "a . "b = "ab allora sarà anche "ab = "a . "b

Esempio di moltiplicazione

Esempio: x 2 + 2 xy + y 2 9 ⋅ V x 2 + y 2 18 xy + 1 9 . 6 (x + y )2 9 = = 3 V (x+ y )" 9 ⋅ V x2 + y 2 + 2 x y 18 xy V 3 2 (x + y )2 = 3 2 (x + y )2 12.32 xy . 32 = V(x + y )2 3 4 = 6 . V(x + y )4 6 (x+ y )6 123.36 x3y3 6 V(x + y )2 32 = 3/4 V ( x + y )4 = 1 2 x y ( 23 . 36 × 3 y 3 ⋅ x + y ) 6 (x + y)2 2 = 6 = V2 1 x 3 y 3 6

QUOZIENTE DI RADICALI

Il quoziente tra 2 radicali aventi lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi. Da ciò si deduce che per dividere 2 radicali aventi indice diversi occorre ridurli preventivamente allo stesso indice. In simboli si ha quindi:

Formula del quoziente

n Va b n na Vb

Dimostrazione della regola del quoziente

Dimostrazione della regola del quoziente: Eleviamo alla n-esima potenza sia il 1° che il 2° membro. Si ha, applicando la proprietà fondamentale dei radicali e la regola del quoziente di potenze di stesso esponente 10 3 6 = 3 V (x + y )2n 1° MEMBRO: n a Nb n = n Va b n n n = a b 2° MEMBRO: a n \b n = a b Avendo ottenuto lo steso risultato la regola è dimostrata.

Esempio di quoziente

Esempio: 4 2 ×2 + 2 y 2 3 x y ÷ V (x + y ) - 2 xy 3 x 2 y = = 4 = = 4 1. V x2 + y2 3 x 2 y = (x2 + y2 ) = 4 2 3 × × ×3 (x2 + y2)2 y 2 4 6 x3 y = 4 Vx2 + y2 2 (x2 + y2 ) 3 x y 2 ( x2 + y2 ) 3 x y 2 ( x2 + y2 ) 3 x y (x + y2) 3 xy : x2 + y2 + 2 xy - 2 xy 3 x 2 y 2 V 3 2 x 4 y 2 4 ÷= Anche in questo caso, come si è già visto con il prodotto, applicando la proprietà simmetrica dell'uguaglianza si ha: Vb "/ b = n a

TRASPORTO DI UN FATTORE (POSITIVO) SOTTO IL SEGNO DI RADICE

Per portare un fattore positivo sotto il segno di radice è necessario moltiplicare l'esponente del fattore per l'indice della radice. Consideriamo il radicale a"b per portare sotto il segno di radice il fattore a (supposto positivo) si opera con la proprietà fondamentale dei radicali, cioè: a = "a" ed applicando la regola vista per la moltiplicazione a . "b = "a" . "b = "a"b Se il fattore da portare dentro il segno di radice è negativo, allora si porta dentro la radice il suo Valore Assoluto e si lascia fuori dalla radice il segno.

Esempi di trasporto sotto radice

Esempi: 4 V3 = V42 . 3 = ~ 48; 332/3 = &315.3 = 2316; 2 a3 b2 1/a2b = 2/23 a9 b6 a2b = 2/8a11b1 ; -2/2 = - V2.2 =~ ~ 23 =~ ~ 8; -33/3 =- &33.3 =- &/34 = - 2/81

TRASPORTO DI UN FATTORE FUORI DAL SEGNO DI RADICE

Per trasportare fuori dal segno di radice un fattore (avente un esponente maggiore dell'indice della radice) basta assegnargli come esponente il quoziente intero della divisione fra esponente (del fattore) ed indice della radice, mentre sotto il segno di radice resterà il fattore con esponente uguale al resto della divisione. Quindi, innanzitutto, per effettuare l'operazione è necessario che l'esponente del fattore sia maggiore dell'indice della radice.