Teoria della Probabilità: origini, interpretazioni e concetti fondamentali

Teoria della Probabilità

L'incertezza permea la nostra vita quotidiana e la realtà economica, sociale e scientifica che ci circonda. Il termine "aleatorio" deriva dal latino "aleatorius" ed indica il gioco dei dadi. La parola "azzardo" deriva dall'arabo, "az-zahr" e significa anch'essa dado.

La Teoria della Probabilità è una disciplina matematica che permette di descrivere e modellizzare situazioni di

Origini del Calcolo delle Probabilità

1Origini 3 10 27 00 1 13 36 24 Calcolo delle Probabilita e nato con i giochi d'azzardo? " Sin dalle origini della storia dell'uomo l'aleatorietà si é manifestata sia sotto l'aspetto ludico, con la pratica dei giochi d'azzardo e delle scommesse, che quello divinatorio, attraverso la consultazione del volere divino con il lancio degli astragali.

Introduzione alla Probabilità

2Introduzione alla Probabilità Nel linguaggio comune sentiamo spesso delle frasi . del tipo: n molto 'probabilmente" il prossimo fine settimana il tempo sarà buono; è "abbastanza improbabile" che riesca a vincere alla lotteria " ho "50% di probabilità" di ottenere quel posto . Le parole "molto probabile", "abbastanza improbabile", indicano qualitativamente la possibilità che un evento accada.

Calcolo delle Probabilità come Branca della Matematica

3Introduzione alla Probabilità n Il Calcolo delle Probabilità è una branca della matematica fornisce un metodo per quantizzare l'incertezza. In generale la probabilità di un evento è un valore n numerico che misura quanto è verosimile che un evento accada. Assegniamo alla probabilità una scala che va da 0 a 1, dove un valore molto basso indica estremamente improbabile, mentre un valore prossimo a 1 molto probabile. Nella seconda parte del corso tratteremo la Statistica di n cui il Calcolo delle Probabilità rappresenta uno strumento essenziale.

Interpretazioni della Probabilità

Probabilità Classica

4Interpretazioni della probabilità n Probabilità Classica. Nella definizione classica ogni evento è simmetrico, cioe' non c'è nessuna ragione per supporre che un evento sia più probabile di un altro. La probabilità classica è definita come il rapporto tra i casi favorevoli e tutti i casi possibili. Esempio: Lancio di una moneta. La probabilità classica trae spunto spesso dai n giochi d'azzardo. Uno strumento matematico utile per la probabilità classica è il Calcolo combinatorio.

Limiti della Probabilità Classica

5Probabilità classica La probabilità classica non e in grado di risolvere qualunque problema, in particolare le situazioni in cui non tutti gli esiti hanno la stessa "facilità a verificarsi"

Probabilità Frequentista

6Interpretazioni della probabilità Probabilità frequentista. Supponendo di ripetere un esperimento alle stesse condizione, al crescere del numero delle prove secondo una legge empirica, la frequenza relativa in cui compare un certo evento tende a "stabilizzarsi" intorno ad un valore che definiamo come probabilità dell'evento. Esempio: numero di volte in cui esce testa in n successivi lanci di una moneta.

Frequenza Relativa del Numero di Volte in cui Esce Testa

7Probabilità frequentista Frequenza relativa del numero di volte in cui esce Testa 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 100 200 300 400 500 numero prove

Difficoltà e Limiti della Probabilità Frequentista

8Interpretazioni della probabilità Le principali difficoltà e limiti della probabilità frequentista si manifestano ad esempio quando il fenomeno aleatorio da studiare non é "ripetibile", ad esempio nel caso di eventi estremi (terremoti, alluvioni, ecc.) Soggettiva. La probabilità di un evento è pari al grado di fiducia che l'osservatore ha nel verificarsi o meno di esso. Per esempio nelle scommesse si applica tale definizione.

Probabilità Assiomatica di Kolmogorov

9Interpretazioni della probabilità Probabilità Assiomatica di Kolmogorov. Prescinde da cosa sia la probabilità, e si basa su degli assiomi a cui la probabilità deve sottostare.

Spazio Campionario ed Eventi

10Spazio campionario ed eventi " Il termine esperimento è usato in questo contesto non solo per studi condotti nei laboratori, ma più in generale per osservazioni di un fenomeno che presenta variabilità nei suoi possibili risultati. Lo Spazio campionario S è l'insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento. Esso puo' essere discreto (Es .: Lancio di un dado) o continuo (Es .: Peso). Nel caso discreto ciascun elemento di S sarà chiamato evento elementare e sarà denotato con la lettera s.

Definizione di Eventi

11Eventi Nel caso discreto un evento è un sottoinsieme di S cioè è un esperimento che a priori può avere diversi esiti, non prevedibili con certezza. In particolare S è detto «evento certo» e Ø (insieme vuoto) è detto «evento impossibile». Esempio. Nel lancio di un dado, S = {1,2,3,4,5,6}, un evento elementare è un punto di S, ad esempio "Esce il numero 5". Un evento A è, ad esempio, A = «Il risultato del lancio è un numero pari», cioé A = {2,4,6} .Esempi . Esempi di spazi campionari discreti finiti: IS = {S1, S2}, successo/insuccesso, p.e. lancio di una moneta, S={T,C}; . S = {S1, S2, ... , Sn}, p.e. un nodo con n rami; · S = {0,1,2, ... }, numero di clienti ad uno sportello bancario in un giorno.

Eventi Composti: Unione e Intersezione

13Eventi composti L'unione di due eventi A1, A2 è l'evento che si verifica quando si verifica A1 0 A2. Essa si indicherà con A1 U A2. L' intersezione di due eventi A1, A2 è l'evento che si verifica quando si verificano contemporaneamente A e A Essa si indicherà con A1 0 A2.

Negazione o Complementare di un Evento

14Eventi composti La negazione o complementare di un evento A è l'evento che S1 verifica quando non si verifica A. Esso si indicherà con AC. Allora AC = S - A.

Diagrammi di Venn per Eventi

15Diagrammi di Venn S A A AC A1 U A2 A10 A2 A1 0 A2 A A2 Spesso per rappresentare gli eventi composti e lo spazio campionario si utilizzano i Diagrammi di Venn.

Proprietà degli Eventi

16Proprietà Identità: AUØ = A ANS= A Idempotenza: AUA = ANA = A Commutativa: AU B = BUA ANB = BOA Associativa: AU (BUC)= (AUB)UC An (BnC)= (ANB)NC Distributiva dell' unione rispetto all' intersezione: AU (BNC)= (AUB)n(AUC)

Proprietà Distributiva dell'Intersezione

17Proprietà Distributiva dell' intersezione rispetto all'unione: An (BUC)= (ANB)U(ANC)

Altre Proprietà degli Eventi

18Proprietà n Complementare del complementare: (AC)C = A · Prima Legge di De Morgan: (AUB)" = (AC NBC) n Seconda Legge di De Morgan: (ANB)C = (AC UBC ) n Principio del Terzo Escluso: AUAC = S n Principio di Non Contraddizione: ANA = Ø

Esempio di Eventi Composti

19Esempio Esempio 2. Sia A l'evento «Il Signor Rossi prende il primo treno» e A> l'evento «Il Signor Bianchi prende il primo treno». Allora: - l'evento A C= «Il Signor Rossi non prende il primo treno»; - l'evento A1 0 A2 = «I Signori Rossi e Bianchi prendono il primo treno», - l'evento A1 U A2= «Il Signor Rossi o il Signor Bianchi prende il primo treno»; - l'evento Af n Az C = « Né il Signor Rossi né il Signor Bianchi prendono il primo treno»;

Assiomi di Probabilità di Kolmogorov

20Assiomi di Probabilità di Kolmogorov n Assiomi di probabilità : La probabilità di un evento è un numero reale compreso tra 0 e 1 avente le seguenti proprietà (assiomi): 1. La probabilità dell'evento certo è 1 : P (S) = 1 2. La probabilità di un qualunque evento è positiva: P(A) ≥ 0 per ogni evento A S S. 3. La probabilità dell'unione di 2 eventi incompatibili A1, A2 è uguale alla somma delle probabilità di ciascun evento:

Estensione degli Assiomi di Probabilità

21Assiomi di Probabilità P(A1 U A2) = P(A1) + P(A2), A1 n A2 = Ø " Questo assioma può essere esteso ad n eventi A1, A2, ... , An a due a due incompatibili: P (A1 U A2 U ... U An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An), Ain Ai = Ø, per ogni i # j, con 1 ≤ i,j ≤n.

Proprietà della Probabilità

22Proprietà della Probabilità 1) P(A) = > eEA P (e), VACS; 2) P(AC) = 1 - P(A); 3) P(0) = 0 4) P(A U A2) = P(A) + P(A2) - P(A1 NA2)

Probabilità Classica e Spazio Campionario Finito

23Probabilità classica n Se lo spazio campionario S è finito con n elementi: S = {e1, e2, ... , en} e ogni evento elementare ha la stessa probabilità, allora: 1 P(ei) = , Vi E {1,2, ... , n} n La probabilità di un evento A C S è n P(A) = - n dove |A| è il numero di elementi di A. E' il rapporto tra numero di casi favorevoli diviso numero di casi possibili.

Esempi di Probabilità Classica

24Esempi Esempio 3: nel lancio di una moneta non truccata i possibili risultati sono T, «Esce Testa», e C, «Esce croce»: S = {T, C} e P(T) = P(C) =1/2. . Esempio 4: nel lancio di un dado non truccato i possibili risultati sono S = {1,2,3,4,5,6} e P(1) P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6 Sia A l'evento «Il risultato del lancio è un numero pari», allora P (A) 3 " = == . + 2 · Per tale definizione ci sono dei limiti: non tutti i fenomeni possono essere descritti da tale modello simmetrico.

Principio di Enumerazione

25Principio di enumerazione Dati due possibili esperimenti di cui il primo ha n possibili risultati e il secondo m possibili risultati, allora se si considerano entrambi gli esperimenti contemporaneamente complessivamente ci sono m . n possibili esiti. Esempio: in due lanci di un dado ci sono 6 . 6 = 36 possibili risultati. Ad esempio la probabilità che esca la coppia (2,5) è 1/36.

Probabilità Classica e Calcolo Combinatorio

26Probabilità classica e Calcolo Combinatorio n In quanti modi diversi si possono ordinare le lettere a, b, c? abc acb bac bca cab cba n possibili modi sono 6, perché possiamo scegliere il primo elemento in 3 modi diversi. Scelto il primo il secondo avrà 2 possibili scelte, e quindi una sola per il terzo. Il risultato è 6 = 3 . 2 . 1.

Permutazioni

27Permutazioni b C a C b a C b C a a b C b a

Calcolo delle Permutazioni

28Permutazioni In generale dati n elementi distinti il numero dei possibili ordinamenti si chiama permutazione è si indica con Pr n' Pn = n . (n - 1) ... . 3 . 2 . 1 Per convenzione si pone 0 != 1 Per calcolare il numero di permutazioni si potrebbe utilizzare la funzione PERMUTAZIONE di Excel, la quale richiede il numero totale di oggetti, e il numero degli oggetti del gruppo. In tal caso i due numeri devono essere uguali.

Crescita del Numero di Permutazioni

29Permutazioni Per avere un' idea di quanto cresca il numero delle permutazioni al variare del numero degli oggetti sono state calcolate le permutazioni per i primi 10 numeri: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n! 1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800

Esempi di Permutazioni

30Esempi n In quanti modi diversi si possono classificare in una corsa 5 partecipanti numerati da 1 a 5? 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 Infatti il primo posto potrebbe essere ottenuto da una delle 5 persone. Fissato il primo posto, il secondo potrebbe essere ottenuto dalle rimanenti 4 partecipanti ( 4 modi possibili) e così via fino all'ultimo posto che è determinato univocamente.

Disposizioni Semplici

31Disposizioni semplici - Se 7 i partecipanti alla corsa sono (numerati da 1 a 7) e vengono considerati solo i primi tre posti. Quanti sono i possibili piazzamenti nei primi 3 posti? Il primo posto potrebbe essere ottenuto da uno dei 7, quindi il secondo dai rimanenti 6 partecipanti e il terzo dai rimanenti 5. Quindi i possibili piazzamenti sono 7 . 6 . 5 = 210 7 6 5 32