Aprendizaje de los números y el cálculo numérico, Bachillerato

Introducció a l'aprenentatge de números i càlcul

TEMA 22 L'aprenentatge dels números i el càlcul numèric. Nombres naturals, enters, fraccionats i decimals. Sistemes de numeració. Relació entre els números. Operacions de calcul i procediments del mateix (calcul escrit, mental, estimació i calculadora). intervenció educativa.(LOMLOE)

1 .- Introducció

"L'essència de les matemàtiques no és fer les coses simples complicades, sinó fer les coses complicades simples" - S. Gudder.

L'aprenentatge de l'aritmética i les matemàtiques en general, s'han convertit sovint en una assignatura amb enormes dificultats per a superar. Hi ha principis i conceptes que a vegades arriben a comprendre's completament en l'edat adulta. Tot això pot arribar a ocasionar el fracàs escolar i el rebuig cap a les matemàtiques.

El mestre en ensenyar matemàtiques ha de considerar que aquests continguts són una creació humana basades en abstraccions, i que només poden abordar-se en la infância amb situacions concretes de la vida quotidiana i pròximes a l'ambient del nin.

Els aprenentatges de Matemàtiques dels nombres han d'estar contextualitzats i han de ser funcionals per acostar la realitat académica de l'alumnat a l'experiència quotidiana. Pretenent que l'alumnat calculi amb fluïdesa i faci estimacions raonables, tractant d'aconseguir un equilibri entre comprensió conceptual i competència en el càlcul.

Respecte a l'aritmètica, hem de considerar que abans d'ensenyar el concepte d'algorisme (conjunt ordenat d'operacions sistemàtiques que permet fer un calcul i trobar la solució d'una mena de problemes), l'alumne ha d'haver adquirit els següents aspectes:

• Concepte de número
• Correspondència un a un
• La combinació de números i el seu valor posicional

L'aprenentatge dels números i el càlcul numèric

2 .- L'aprenentatge dels números i el calcul numèric

El primer que s'ha de dir és que els números no existeixen a la vida real, a la naturalesa, a la societat. El concepte de número és un concepte abstracte, que només existeix a la nostra ment,encara que ho utilitzem per representar situacions de la vida real. És una propietat que associam als conjunts d'objectes, per referir aspectes quantitatius o ordinals.

Els números els podem classificar en nombres naturals, enters, fraccionaris i decimals, com veurem en la següent qüestió, així com també en ordinals (=ordre) i cardinals (=quantitat).

Pel que fa al càlcul numèric, dir que càlcul prové del llatí "calculus", que significa "comptar amb pedres". Les matemàtiques començaren a fer camí quan la humanitat va veure la necessitat de comptar objectes. D'acord amb Cid, Godino i Batanero (2004) "les tècniques de comptar són universals, i s'han trobat en totes les societats estudiades fins ara. Aquestes tècniques han donat origen al concepte de nombre i a l'Aritmética"

Número: és una entitat abstracta que representa una quantitat

Calcul: és la capacitat de les persones per raonar amb conceptes numèrics i matemàtics. Actualment es coneix amb el nom d'algoritme de calcul a tots els procediments o mètodes dels quals es poden fer ús per a calcular

Les funcions dels números són

• Informar del número d'objectes (cardinal)
• Senyalar lloc (ordinal)

Els principis que afecten a les tècniques de recompte i, per tant, al concepte de número són:

• Principi d'ordre estable: les paraules numériques un, dos, tres, etc han de recitar-se sempre en el mateix ordre, sense botar-se cap.
• Principi de la correspondència un a un: a cada element del conjunt se li ha d'assignar una paraula numèrica diferent i només una.
• Principi d'irrelevância de l'ordre: l'ordre en que es compten els elements del conjunt és irrellevant per a obtenir el cardinal del conjunt.
• Principi cardinal: la paraula adjudicada a l'últim element comptat del conjunt representa l'ordinal i cardinal del conjunt. Els conjunts de números són:
• Nombres naturals: Sorgeixen davant la necessitat per a poder comptar o enumerar elements.
• Nombres enters: Van sorgir davant les relacions de dèbit i comerç. Uns altres d'usos d'aquests números són per al temps, la temperatura, ..; i per a la resolució d'equacions la solució de les quals escapa dels nombres naturals.
• Nombres racionals o fraccionaris: Sorgeixen davant la necessitat de la partició d'un total en parts iguals i per a calculs percentuals.
• Nombres decimals: Sorgeixen a causa de criteris de mesurament i càlcul de magnituds escalars i donar explicació a determinats números com T = 3,1415 ...
• Nombres primers: Són els nombres naturals que únicament són divisibles per 1 i per si mateixos
• Números negatius: Són els nombres enters que estan per sota del 0.

Nombres naturals (N)

2.1 Nombres naturals (N)

Des d'un punt de vista matemàtic, la definició de número natural se sol fer atenent-se al seu aspecte cardinal o al seu aspecte ordinal.

Es parla de número cardinal quan informa de la quantitat d'elements que el componen. Es parla de número ordinal quan informa de la posició, ordre o lloc que ocupa en dit conjunt.

Els nombres naturals són aquells números positius i sense part decimal. Van des de l'1 fins a l'infinit. N= 1,2,3, ...

En el conjunt de nombres naturals són sempre possibles una sèrie d'operacions internes i altres no. Així, la suma i la multiplicació són sempre possibles, mentre que no ho són la resta i la divisió (ja que en qualque cas els resultats obtinguts no serien nombres naturals).

També tenen una altra utilitat, es poden emprar com a codis, sense tenir en compte el sentit cardinal, ordinal o algorítmic, com per exemple dni, número de telèfon ...

Nombres sencers (Z)

2.2 Nombres sencers (Z)

Consideram el conjunt dels nombres naturals N (que ara anomenam enters positius) a qui unim el nombre 0 i els números naturals amb signe negatiu (anomenats enters negatius). El conjunt unió detots aquests números és el conjunt Z de números enters, i es representa a la recta numèrica: Z= ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Els nombres negatius van a l'esquerra del 0 i els positius a la dreta.

És un conjunt infinit com els naturals, però a diferència d'aquests, no tenen elements primer o mínim. Per tant, les operacions internes al conjunt Z són la suma, la resta i la multiplicació. Per això, sempre que se suma, es resta o es multipliquen dos nombres enters, el resultat és un altre nombre enter.

No obstant això, quan dividim dos números enters no sempre el resultat és un altre nombre enter.

Els alumnes a EP adquiriran els següents coneixements d'aquests nombres sencers:

• El valor absolut d'un nombre enter
• La comparació de nombres enters positius i negatius
• Les diferents operacions que es poden fer amb els nombres enters: * , -, x, /- les regles dels signes

A la vida diària aquests nombres apareixen en diverses situacions: indiquen soterranis en els ascensors, mesurament d'altituds sobre o sota el nivell del mar, mesurar temperatura sobre o sota 0, etc Així, doncs, aquests nombres no són naturals (no existeixen - 2 peres), són nombres creats per referir-se a situacions en què es marca un origen (valor 0) que provoca un abans i un després, un al davant i un al darrera, un dalt i un sota, etc.

Nombres fraccionaris (F)

2.3 Nombres fraccionaris (F)

De la necessitat de resoldre el problema de la divisió sorgeix la noció del nombre fraccionari, de manera que la divisió de dos nombres enters, el resultat de la qual no sigui un nombre enter, forma un nombre fraccionari, exemple: 8/3.

L'aparició del nombre fraccionari m'obliga a definir el concepte de fracció. Es defineix la fracció com un parell ordenat de nombres enters, de manera que el segon terme de la parella (denominador) divideix el primer (numerador), segons Castro i Torralbo 2001

Amb els números fraccionaris es poden realitzar sumes, restes, multiplicacions i divisions. Les fraccions permeten la comparació de 2 quantitats de magnitud i expressar amb major exactitud la mesura. Per exemple: mig litre, tres quarts, la una i quart, la sisena part, etc.

A l'EP els alumnes hauran de sabre:

• Lectura i escriptura de fraccions
• Comparació de fraccions
• Operacions amb fraccions: +, -, x, /
• Relació entre les fraccions i els nombres mixtes
• Reducció de fraccions a comú denominador: mínim comú múltiple, etc

Nombres decimals

2.4 Nombres decimals

Partint de Castro (2001) definiré el nombre decimal en referencia al nombre fraccionari, de manera que s'entén per nombre decimal "aquell número fraccionari que té per denominador 10 o una potència de 10 (100, 1000, etc)"

Una altra forma de definir-lo seria a partir dels nombres racionals, dels que fins ara no havia parlat, doncs bé, el conjunt de nombres racionals inclou els fraccionaris amb divisió exacta i els fraccionaris amb divisió entera no exacta, donant lloc aquests darrers als nombres decimals.

Igual que passava amb els fraccionaris, amb els nombres decimals també podem realitzar les quatre operacions bàsiques.

Pel que fa a l'escriptura s'escriu a l'esquerra de la coma el nombre d'unitats senceres i a la dreta de la coma la part decimal, ex: 23'56

Els nombres decimals poden ser finits (tenen un número finit de decimals, 2'45) i infinit (tenen un nombre infinit de decimals o periòdics, ex: 7'33333333)

A la vida diària emprem els decimals, per exemple el disc dur d'un ordinador és de 2'1GB, alçada 1'85m, 25'23 euros, les composicions dels medicaments i aliments, etc

A l'EP els alumnes hauran de conèixer:

• Lectura i escriptura de nombres decimals
• Distinció entre desenes, centèsimes i mil lèsimes
• Relació entre nombre decimals i les fraccions
• Representació dels nombres decimals en la recta numèrica i comparació entre ells - arrodoniment de nombres decimals
• Operacions amb nombres decimals: +, -, x, /

Sistemes de numeració

3 .- Sistemes de numeració

Un sistema de numeració és un conjunt de regles i signes que s'empren per a expressar tots els números usant un numero finit de símbols. Els signes representen unitats i grups d'unitats. Així qualsevol quantitat es representa mitjançant combinacions dels signes . El nostre sistema de numeració (decimal) és de base 10 perquè té 10 símbols per a representar tots els números.

Tipus de sistemes de numeració:

• Additius: Són els sistemes que sumen símbols com l'egipci.
• Multiplicadors: Per exemple en el francès per a dir 80 és quatre-vingt, que traduït literalment és quatre- vint (4 x 20 = 80)
• Posicionals: On la posició del número indica el seu valor (unitats, desenes, centenes, ... ) .
• Mixtos: Combinació dels anteriors com ,per exemple, els números romans.
• Sexagesimal: Aquell la base de la qual és 60 com les unitats de temps (60 minuts, 60 segons ... ), la mesura dels angles, ...
• Per a canviar de sistema de numeració hem de dividir reiteradament entre el número de la base del sistema i prendre les restes.

Relació entre els nombres

4 .- Relació entre els nombres

La quantificació per estimar quantitats

4.1 La quantificació com a sistema per estimar quantitats per comptar de manera excata i aproximada

La noció de número, la construcció de la qual es durà a terme durant tota l'etapa, s'iniciarà al principi de la mateixa.

Els alumnes empraran diverses estratègies per estimar quantitats; en començar ho faran de forma aproximada, utilitzant quantificadors poc precisos: molts, pocs, qualcun ... Posteriorment aniran