Tassi di interesse e valutazione dei bond, Università degli Studi di Trento

Curve dei tassi

Le curve dei tassi

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La yield curve

• Costruzione con interpolazione
• ascisse: durata residua titoli
• ordinate: TRES corrispondente
• Serve per identificare sovra o sotto quotazioni
• attenzione al metodo di interpolazione
• Dovrebbe essere in equilibrio
• questa rappresentazione non tiene però conto di tutti i fattori dei titoli
• primo fra tutti la duration

Esempio di dati per la yield curve

Bond Maturity date Yield Time to maturity (y) BTp 4.25 01-Feb-2019 0.128 2.24 BTp 4.75 01-Sep-2028 1.857 11.83 BTp 3.25 01-Sep-2046 2.757 29.84 BTp 2.8 01-Mar-2067 3.184 50.35 F. Bazzana (UNITN) Bond pricing SID 3 / 17Curve dei tassi

I tassi spot e la term structure

• Definizione di tasso spot
• è il TRES di uno zero coupon bond
• La term structure
• è la curva dei tassi spot, è più precisa
• serve per la stima dei prezzi dei titoli
• I flussi di un titolo vengono attualizzati con gli spot
• si interpola sulle scadenze intermedie

Pts = ts ∑ n (1 + Sk)tk FK k=1

• viene poi identificato il TRES equivalente

n Pts = ∑ Fk k=1 (1 + TRESe)tk F. Bazzana (UNITN) Bond pricing SID 4/17Curve dei tassi

I tassi forward

• Sono i tassi per operazioni a termine
• vengono ricavati dalla term structure
• sono tassi impliciti

Esempio di calcolo dei tassi forward

• voglio calcolare il rendimento di un investimento di 100$ che farò fra un anno per la durata di due anni -> mi costruisco una posizione a flussi di cassa equivalenti
• chiedo 100$ a prestito per un anno al tasso s1 e lo investo per tre anni al tasso s3

100$ (1 + s1 ) (1 + f1,3)2 = 100$(1 + 53) 3 f1,3 = L 2 (1 + s1) (1 +53)3 1 -1

• per cui, generalizzando, si ottiene

(1+ Sk)k(1+fkt)t-k = (1+st) F. Bazzana (UNITN) Bond pricing SID 5/17Teorie

Teorie sulla struttura dei rendimenti

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La struttura dei rendimenti

• Qual'è lo scopo dell'individuazione della struttura dei rendimenti?
• come ragiona il mercato nella determinazione dei prezzi
• la struttura è coerente?
• ci sono delle evidenti imperfezioni di mercato che potrebbero essere utilizzate per fare trading?
• Quali sono i fattori rilevanti di tale struttura
• le aspettative di mercato sui tassi
• il grado di avversione al rischio
• le inefficienze del mercato

Esempio di imperfezioni

• mercato italiano dei corporate bond verso la fine del 2003
• fallimento della Parmalat
• 19 dicembre 2003: inesistenza dell'attivo di 3,95 mrd. di € di Bank of America

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Aspettative pure I

• Forma della term structure
• dipende solo dalle aspettative degli operatori
• i tassi a lunga sono calcolati dal breve più le aspettative
• nella parte lunga ci sono le aspettative a breve nel futuro
• Caratteristiche
• per un dato periodo di tempo, il mercato si aspetta di ottenere lo stesso tasso di rendimento su tutti i titoli, indipendentemente dalla loro scadenza
• questo vuol dire che (1 + s2)2 = (1 + s1)(1+ r1)
• dove ri è il tasso atteso per il secondo periodo che coincide con il tasso forward
• il rendimento di un titolo biperiodale s2 dipenderà dal rendimento s1 e dal rendimento previsto r1 per il futuro
• i rendimenti dei titolo a medio-lungo termine dipendono unicamente dalle aspettative

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Aspettative pure II

• Variabilità dei tassi
• i tassi a breve sono più volatili perché le aspettative a breve sono più volatili
• i tassi si aggiustano in maniera più rapida sulle nuove informazioni
• i tassi a lunga risentono meno delle nuove informazioni
• Indicazioni congiunturali
• curva crescente
• ci si aspetta una crescita futura dei tassi a breve
• il paese si trova ora in recessione o all'inizio della crescita
• curva decrescente
• ci si aspetta un calo dei tassi a breve
• il paese si trova ora verso la fine della fase di crescita

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Preferenza per la liquidità

• Si deve a John Maynard Keynes
• gli investitori preferiscono la liquidità
• l'offerta di titoli lunghi è sempre maggiore della domanda
• deve esistere un premio al rischio L1
• un premio per la liquidità sempre positivo e crescente
• allo stesso tasso
• è meglio comprare un titolo annuale
• rispetto a un titolo a due anni rivenduto dopo un anno
• questo può essere espresso in equilibrio come

(1 + s1) + L1= (1 + $2)2 (1 + r1)

• dove il secondo termine rappresenta il rendimento di un titolo a 2 anni rivenduto dopo il primo anno
• i premi al rischio sono crescenti 0 < L1 ≤ L2 ≤ · · · ≤ Lk

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Habitat preferenziale

• Gli operatori sono avversi al rischio
• di reinvestimento e di mercato
• scelgono i titoli sulla base del loro orizzonte operativo
• scelgono orizzonti di investimento diversi (sia maggiori, sia minori) solo se ricompensati da un premio
• altrimenti non sono disponibili ad uscire dal proprio habitat
• il premio al rischio sarà definito come nel caso precedente

L1 = (1 + $2)2 (1 + r1) -(1 + 51)

• ma Lk possono anche essere in relazione diversa
• Curva dei rendimenti
• può essere diversa rispetto a quella delle aspettative
• dipende dall'eccesso di domanda o di offerta in ogni habitat

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Metodi di estrazione dei tassi spot

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Metodo bootstrap

• Questo metodo estrae i tassi spot utilizzando gli strumenti presenti sul mercato
• gli ZCB fino alla scadenza più lontana
• i titoli con cedola per le scadenze successive
• si parte trovando i tassi spot degli ZCB
• si utilizzano i tassi così trovati per scontare le prime cedole dei BTp
• si ricava il tasso che fissa il prezzo di mercato
• il resto si trova per interpolazione

Esempio di bootstrap

• il primo BoT scadenza sei mesi e prezzo 99.10 da cui som = 100 ( 99.10 12 - 1 = 1.8%
• il primo BTp ha scadenza un anno, prezzo 98.74 e cedola 4% da cui 98.74 = c (1 + 56m )0.5 100 + c + (1 + Sly) = (1 + 0.018)0.5 2 + (1 + Sly) 102
• e così via per gli altri tassi

F. Bazzana (UNITN) Bond pricing = A v)4ca SID 13 /17Metodi

Metodo Nelson-Siegel I

• Il modello bootstrap è una semplice approssimazione dei dati di mercato e può risentire di eventuali imperfezioni
• sovrastima o sottostima dei tassi «veri»
• dipendenza stretta dai dati
• Nelson and Siegel (1987) e, in una versione riveduta, Diebold and Li (2006) hanno scelto un diverso approccio
• sono partiti da un modello teorico di derivazione dei tassi forward secondo un'equazione differenziale del second'ordine f + x1f + x2f = 0
• che risolta porta alla funzione Nelson-Siegel per la curva dei tassi forward ft(T) = Bot + Bite- NET + B2tdtTe-NET dove Bot, Bit, B2t e At sono parametri

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Metodo Nelson-Siegel II

• Per avere una funzione da utilizzare direttamente dobbiamo passare dalla curva dei tassi forward a quella dei tassi spot
• questo si può fare usando la formulazione di Nawalkha et al. (2005) rt(T) = = ft (u) du ·T T JO
• dove ft (u) è la curva dei tassi forward e rt (T) quella dei tassi spot
• se l'applichiamo alla funzione di Nelson-Siegel otteniamo la rt(T) = Bot + (Bit + B2t) 1-e-λtt - B2te ATT
• che può essere scritta in maniera più conveniente come rt (T) = at + bt 1-e-λtt + Cte - ATT

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Metodo Nelson-Siegel III

• Il risultato così ottenuto può essere facilmente utilizzato in un modello di regressione
• in quanto se fissiamo At il modello diventa lineare
• Diebold and Li (2006) utilizzano una diversa formulazione della curva dei tassi spot
• e fissano il valore  = 0.7173 per valori dei tassi espressi in anni rt (T) = Bot + Bit 1 - e-Ât λτ + B2t 1-e-λτ λτ e-ÎT - - e
• questo permette di formulare un'interpretazione economica dei parametri rispetto alla curva dei tassi spot
• Bot si può interpretare come il livello, level
• Bit si può interpretare come la pendenza, slope
• e ß2t si può interpretare come la curvatura, curvature

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Riferimenti bibliografici

Diebold, F. and Li, X. (2006). Forecasting the term structure of government bond yields. Journal of Econometrics, 130(2):337-364. Nawalkha, S. K., Soto, G. M., and Beliaeva, N. A. (2005). nterest rate risk modeling: the fixed income valuation course. John Wiley & Sons, New Jersey. Nelson, C. R. and Siegel, A. F. (1987). Parsinomious modeling of yield curves. Journal of Business, 60(4):473-489. F. Bazzana (UNITN) Bond pricing SID 17 / 17