Fisica Medica: dinamica dei fluidi e pompa cardiaca, Università Link

Dinamica dei fluidi

Come abbiamo visto per descrivere il moto di un fluido possiamo dividerlo in volumi infinitesimi, chiamati particelle di fluido, e seguirne il moto. Possiamo studiare il moto con due diversi approcci:

Approccio lagrangiano

Descrive il moto di un fluido pensandolo scomposto in elementi infinitesimali di volume (le particelle fluide) di cui si cerca di esprimere posizione e velocità in funzione del tempo. Diretta generalizzazione della meccanica del punto materiale. Procedimento estremamente complicato.CAMPUS

Approccio euleriano

Descrive il moto di un fluido esprimendo, in ogni punto dello spazio occupato dal fluido, la massa volumica e la velocità del fluido stesso in funzione del tempo. Approccio statistico molto più conveniente.

• Il moto del fluido viene trattato specificando la densità p( x, y, z, t ) e la velocità v (x, y, z, t) nel punto x, y, z, all'istante t.
• osserviamo ciò che avviene in un particolare punto nello spazio ad una certo istante, e non quello che accade a una particolare particella di fluido
• Il moto viene descritto in funzione di variabili intensive* come pressione, densità e velocità di ogni punto del fluido.CAMPUS

Dinamica dei Fluidi: casi semplificati

La dinamica dei fluidi è in generale molto complicata. Il fenomeno della turbolenza ne è la dimostrazione più vistosa. Solo in casi particolari e sotto assunzioni semplificatrici è possibile dare una descrizione semplice del moto di un fluido:

• Il fluido è considerato incomprimibile (Fluido Incomprimibile: la densità p di un fluido è costante, cioè indipendente da x, y, z, e t)
• Il moto del fluido è laminare, ovvero stazionario: la velocita del fluido in ogni punto rimane costante nel tempo
• Il moto del fluido e irrotazionale: non ci sono vortici o turbolenze, nel fluido in moto non c'è alcun elemento in rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa.
• Si trascura la viscosità (attrito interno al fluido) Fluido non Viscoso: un fluido che scorre senza dissipazione di energia a causa delle forze di tipo viscoso (attrito interno al fluido)LIXAUNIVERSITY

Moto stazionario e non stazionario

• Moto Stazionario:le variabili che descrivono il sistema si mantengono costanti nel tempo, in generale il valore di queste grandezze cambia da punto a punto, ma nello stesso punto non varia nel tempo, il moto stazionario è caratterizzato da basse velocità di flusso.
• Moto non Stazionario: le grandezze che caratterizzano il sistema variano in funzione del tempo.
• Moto Turbolento: le velocità variano in maniera casuale sia da punto a punto che in funzione del tempo. *variabile intensiva: il cui valore non dipende dalla quantità di materia o dalle dimensioni del campione, ma soltanto dalla sua natura e dalle condizioni nelle quali si trovaE CAM UNVERSITY

Regime stazionario: linee e tubi di flusso

• In regime di flusso stazionario la velocità V in un punto è costante.
• ogni particella che arriva in P passerà oltre con la stessa velocità e direzione. Quindi ogni particella che passa per P seguirà lo stesso percorso, chiamato linea di flusso. La velocità, tangente punto per punto alla traiettoria, varia percorrendo la traiettoria. E' un semplice esempio di campo vettoriale, ovvero un vettore associato ad ogni punto di una regione dello spazio.

In ciascun punto di una linea di flusso il vettore velocità risulta sempre tangente alla linea stessa.CAMPUS

Tubo di flusso

• Un fascio di linee di flusso forma un tubo di flusso. In linea di principio possiamo immaginare di tracciare una linea di flusso per ogni punto del fluido. Se il flusso è stazionario, possiamo considerare un numero finito di linee di corrente che formino una specie di cesto. Questa regione tubolare viene chiamata tubo di flusso.

• La velocità delle particelle di fluido è sempre tangente alle linee di corrente che costituiscono il contorno di questo tubo. Ne segue che le particelle di fluido non possono attraversare il contorno del tubo di flusso in cui si muovono: Il fluido che entra da una parte della conduttura deve uscire dall'altra.

Conservazione della massa

Se ragioniamo in funzione della conservazione della massa, Prendiamo in esame un liquido perfetto in moto stazionario in un tubo elementare di flusso, eventualmente coincidente con un condotto. Conside- riamo due sezioni di aree S, ed S2 rispettivamente, normali alle linee di flusso e di dimensioni tali che, all'interno di ciascuna di esse, la velocità del liquido abbia lo stesso valore. Indichiamo con vie v2 le relative velocità. La massa del liquido - o equivalentemente il suo volume per liquidi incompressibili -, compresa tra le sezioni Si ed S2, non varia nel tempo. Questa proprietà di conservazione della massa si traduce (in assenza di sor- genti o pozzi) nella condizione che la massa, che entra nel tempo di attra- verso SI, deve essere uguale alla massa che esce, nello stesso intervallo di tempo, dalla sezione S2 : per quanto detto precedentemente, è chiaro infatti che non possono esserci trasferimenti di massa attraverso la superficie tubolare esterna. La massa che entra attraverso Si è pari alla massa conte- nuta nel cilindro di base SI ed altezza v1 dt e cioè dm = p SI v) dt; analoga- mente, la massa che esce da S2 è pari alla massa contenuta nel cilindro di base S2 ed altezza v2 dt, e cioè dm = p S2 V2 dt. Dunque, per la conserva- zione della massa deve essere: p S1 v1 dt = p S2 V2 dt da cui, potendosi ripetere il ragionamento per ogni coppia di sezioni del tubo di flusso, si ricava: v S = invariante (equazione di continuità della massa)CAMPUS

Portata Q per liquidi incomprimibili

Per liquidi incomprimibili per cui la densità è costante definiamo la PORTATA Q Equazione di continuità: consideriamo un liquido incomprimibile in moto stazionario in un tubo. In un tempo At entra un volume A14x1 ed esce un volume A24x2 di fluido. Da qui: Conservazione della massa: equazione di continuità A1V1 = A202

• perchè i due volumi sono uguali.
• Il prodotto della sezione del tubo per la velocita del liquido è costante DEF. Flusso: volume di fluido che attraversa una superficie data per unità di tempo. Equivalente alla portata volumetrica. Si misura in m3/s.CAMPU

Portata volumica

Av = costante Per un fluido incomprimibile in regime stazionario la velocità di scorrimento in un tubo è inversamente proporzionale all'area della sezione trasversale del tubo stesso.

Ricordando che dV = A v dt è il volume di fluido che nel tempo dt attraversa la sezione trasversale di area A, allora, introducendo la cosiddetta portata volumica, si ha: R = dV dt = Av = costante Nel SI l'unità di misura della portata volumica è il m3/s.LIXAUNIVERSITY

Equazione di continuità

• Eq. Continuità: PAv = costante R = Av = costante Conservazione della massa: equazione di continuità

Teorema di Bernoulli

A sinistra la porzione di conduttura ha una sezione costante A1, è orizzontale ed è posta ad una quota y1sopra un livello di riferimento. La conduttura si allarga e si alza gradualmente per cui a destra ha una sezione A2 ed è posta Punto 1 ad un'altezza y2. Se chiamiamo sistema la parte di fluido tratteggiata, ne consideriamo il moto lungo la conduttura. Siano p1 la pressione e v1 la velocità in tutti i punti della parte più stretta; mentre p2 la pressione e v2 la velocità di tutti i punti nella parte più larga. Il teorema lavoro-energia stabilisce che il lavoro fatto dalla risultante delle forze agenti su un sistema è uguale alla variazione della sua energia cinetica. Se le forze viscose sono trascurabili, a sinistra fanno lavoro sul sistema le forze p1A1, dovute alla pressione p1, mentre a destra le forze p2A2, dovute alla pressione p2 e la forza di gravità. Il lavoro L fatto sul sistema dalla risultante delle forze agenti può essere calcolato nel modo seguente:

Teorema di Bernoulli: velocità, altezza e pressione

teorema di Bernoulli lega velocità, altezza e pressione in un fluido. A causa della differenza fra pressione P1 e P2 agente sul fluido dal lato sinistro e destro del tubo, un volume di fluido AV = A14x1 = A2Ax2 sale nel tubo in un tempo At. Applichiamo il teorema dell'energia cinetica fra gli istanti to e to + At, ricordandoci che il moto non varia nel tempo

Il lavoro compiuto dalle forze esterne (forze di pressione): AL = P1A14x1 - P2A24x2 = (P1 - P2)AV deve uguagliare la variazione di energia meccanica del liquido: AL = AE = AK + AU (le forze gravitazionali sono conservative)|LINKUNIVERSITY

Equazione di Bernoulli

Completiamo l'equazione. Variazione di energia cinetica: AK = = m202-m10} =PAV (v2-0}) 2 1 (vale m1 = m2 = pAV). Variazione di energia potenziale: AU = m2gy2 - migy1 = pAV g(32 - 31) da cui si ricava infine l'equazione di Bernoulli P1+ 5pvf + pgy1 = P2 + 5pv2 +pgy2 1 1 P 02 ovvero: P + 1 2' 1,2 + pgy =costante, o anche: pg + + y =costante 2g 1 1CAMPUS

Pressione in un fluido

P+ 1 2 2 + pgy =costante,

• La pressione in un fluido statico aumenta con la profondità: Bernoulli generalizza la legge di Stevino al caso di fluido in movimento. (V=0)
• La pressione in un fluido in movimento diminuisce all'aumentare della velocità del fluido

Effetto Venturi

Effetto Venturi: In un tubo di sezione A variabile, P diminuisce dove la sezione diminuisce (perché vA =costante per l'equazione di continuità). (notare che le linee di flusso sono più fitte dove la velocità è maggiore)CAMPUS

Aneurisma e stenosi

SIV1 = S2V2) Pı+=dv2=P2+=dv2 Nel caso dell'aneurisma si ha una dilatazione del lume di un'arteria, dovuta per esempio a un'alterazione della parete che riduce elasticità e resi- stenza e ne determina lo sfiancamento progressivo. Questa dilatazione del lume, per l'equazione di continuità, implica un abbassamento della velocità e quindi, per il teorema di Bernoulli, un aumento di pressione, che tende a dilatare ulteriormente l'arteria. Il fenomeno opposto avviene nel caso di stenosi.

Al contrario, nel caso della stenosi (costrizione localizzata di un'arteria) la diminuzione della sezione S2 < S1 in un punto del vaso comporta v2 > V1 per l'equazione di continuità e quindi p2 < p1 in quel punto per il teorema di Bernoulli, contribuendo a determinare, soprattutto in presenza di fattori quali l'aumentata coagulabilità del sangue a seguito di un rallentamento del flusso (la formazione di un coagulo riduce di per sé la sezione del lume vasa- le), un'ulteriore riduzione del lume del vaso.