Le funzioni economiche di una variabile: costo totale, medio e marginale

Le funzioni economiche di una variabile

Ogni bene che viene prodotto ha un costo che deriva dalla combinazione di diversi fattori: la mano d'opera, le materie prime, la gestione del magazzino, i macchinari, etc ... Una corretta valutazione dei costi è di grande importanza per la gestione di un'azienda, in quanto da essa si possono ricavare importanti informazioni e prendere opportune decisioni. Ci soffermeremo sugli aspetti matematici della teoria dei costi per stabilire dei legami tra costi, ricavi, profitti e prezzo. L'obiettivo principale di un'impresa è stabilire quale quantità di bene è opportuno produrre per raggiungere il massimo profitto, minimizzando i costi. Anche in questo caso verranno analizzati dei modelli matematici che ben rappresentano la situazione reale, pur se semplificati.La funzione del costo Nella produzione di un bene intervengono diversi fattori di costo come materie prime, mano d'opera, mezzi di produzione, ... La teoria di Marshall raggruppa i fattori di produzione di un bene in tre categorie: Terra - Lavoro - Capitale, che equivalgono, sostanzialmente, ai fattori indicati sopra

• Terra: materie prime.
• Lavoro: mano d'opera.
• Capitale: mezzi di produzione tra cui macchinari, energia elettrica, etc ...

Dal punto di vista matematico, quindi, la funzione dei costi dovrebbe essere funzione di più variabili. C = f (x1, X2, .... ) Nel modello semplificato, invece, si considera che in un dato lasso di tempo i fattori su indicati rimangano costanti (il numero dei dipendenti rimane fisso, il capitale a disposizione dell'azienda non cambia, ... ), pertanto possiamo costruire un modello in cui il costo totale di un bene dipenda solo dalla quantità prodotta. Si ipotizza, inoltre, che tutta la quantità prodotta sia anche venduta, ossia assenza di costi di magazzino.I costi totali di produzione I costi sostenuti dall'azienda per la produzione di un certo bene possono essere fissi o variabili, a seconda che dipendano o meno dalla quantità del bene prodotto. Per dirla in linguaggio matematico a seconda che siano «in funzione» della quantità prodotta, oppure rappresentino una costante. Possono ritenersi costi fissi quelli comunque sostenuti dall'impresa, come ad esempio il costo per l'affitto dei locali, il costo del personale amministrativo, gli ammortamenti, le assicurazioni sui fabbricati e sui macchinari, la pubblicità. Essi non variano, entro certi vincoli tecnici, al variare della quantità prodotta. Possono ritenersi costi variabili quelli che, invece, dipendono strettamente dalla quantità prodotta come l'acquisto di materie prime, consumo di energia ecc., ecc., e che sono proporzionali, altri invece possono variare in maniera non proporzionale come i salari e gli oneri previdenziali.I costi totali di produzione Il costo totale è espresso dalla funzione: y = C(x) C(x) = Cy(x) + Cf detta funzione dei costi totali con x ≥ 0 Cv(x) costi variabili dipendono dalla quantità prodotta x Cf costi fissi sono, entro certi vincoli tecnici, una costante C(x) costo totale relativo alla produzione della quantità x di un certo bene, ossia la funzione di costo totale è la composizione o somma delle due funzioni, costo fisso e costo variabile. La variabile x indica la quantità di bene prodotto (e venduto), pertanto sarà sempre positiva. Inoltre, a causa del vincolo di produzione, essa non potrà superare un certo valore massimo x. Pertanto: 0 ≤x ≤ xI costi totali di produzione La funzione dei costi fissi, essendo una funzione costante entro certi limiti di produzione, F non dipende dalla quantità prodotta, e sarà rappresentata da una retta parallela all'asse x COSTI FISSI I costi variabili, invece, possono essere rappresentati mediante diversi modelli matematici (lineare, parabolico, esponenziale, ad "S rovesciata") In ogni caso, sarà una funzione crescente della quantità prodotta, in quanto i costi tendono comunque ad aumentare al crescere della quantità di bene immessa sul mercato. costi quantità ! Il modello ad "S rovesciata" ben rappresenta l'andamento dei costi variabili. Esso mostra che in un primo periodo, quando la quantità prodotta è bassa, i costi variabili crescono rapidamente, in quanto i costi si ripartiscono su pochi beni prodotti. Col crescere della produzione, invece, i costi variabili tendono a crescere meno rapidamente, raggiungendo un valore minimo in corrispondenza di un valore ottimale di produzione x, per il quale i costi si distribuiscono su ogni unità di bene prodotto. (Punto di flesso).Col crescere ulteriore della quantità prodotta, però, i costi tendono nuovamente ad aumentare in modo repentino, in quanto per incrementare la produzione sarà necessario pagare straordinari ai dipendenti ecc ecc. La funzione dei costi si compone dalla somma delle due funzioni, costi fissi e costi variabili.

costi costi totali costi variabili A costi fissi 0 quantità prodotta Da un punto di vista analitico, una funzione ad S rovesciata può essere rappresentata da un polinomio del tipo: C(x) = ax3 - bx2 + cx +d Noi analizzeremo essenzialmente i modelli lineare e parabolico.La funzione dei costi totali - Modello Lineare (rappresentazione grafica) Funzione costi di tipo lineare: y = mx + q C(x) = Cy(x)+ Cf C(x) = y Cv = mx Cf = q con q>0 m >0 Possiamo rappresentare la funzione dei costi fissi, dei costi variabili e quella di costo totale

C Cf = q costi fissi 0 La funzione costo fisso è una funzione costante

C(x) costi variabili 0 x La funzione costo variabile è crescente, in funzione della quantità prodotta

C(x) costi variabili q costi fissi 0 Χ La funzione costo totale è ottenuta dalla somma delle due precedenti e tiene conto sia dei costi fissi che di quelli variabili per ogni livello di quantità prodotta xLa funzione dei costi totali - Modello Parabolico (rappresentazione grafica) Funzione costi di 2º grado: y = ax2 + bx + c C(x) = Cy(x) + Cf C(x) = y Cy = ax2 + bx Cf = C Possiamo rappresentare la funzione dei costi fissi, dei costi variabili e quella di costo totale

! costi variabili Cf = c costi fissi 0 ( La funzione costo fisso è una funzione costante

C(x)} C(x) costi variabili , costi fissi 0 ( La funzione costo variabile è un ramo di parabola, crescente in funzione della quantità prodotta

0 ( La funzione costo totale è ottenuta dalla somma delle due precedenti e tiene conto sia dei costi fissi che di quelli variabili per ogni livello di quantità prodotta xLa funzione dei costi totali - Modello Lineare (analisi matematica) Funzione costi di tipo lineare: y = mx + q C(x) = Cy(x) + Cf y = C(x) mx = Cy (x) q = Cf In questo modello il grafico della funzione è un segmento di retta. Sull'asse x la quantità prodotta per x = 0 risulta y = q q rappresenta la quota dei costi fissi sostenuta anche se la quantità prodotta fosse x = 0 x = x rappresenta la quantità limite di produzione dell'azienda, limite a partire dal quale sarebbe necessario modificare la capacità produttiva incidendo sulla «quota» dei costi fissi, e conseguentemente dei costi totali.

C(x) costi totali q 0 x x Affinché una funzione lineare possa rappresentare una funzione dei costi totali deve soddisfare alcune particolari caratteristiche: · Deve essere definita solo per valori di x compresi nell'intervallo 0 ≤ x ≤ x (dominio) · Deve assumere solo valori non negativi, ossia deve risultare y ≥ 0 per tutti i valori di x per cui è definita (codominio) · Deve essere crescente nel suo dominio, poiché al crescere della quantità prodotta (x) di un bene, i costi totali (y) tendono a crescere fino ad un certo limite (coefficiente angolare positivo, ossia m > 0).La funzione dei costi totali - Modello Parabolico (analisi matematica) Funzione costi di 2º grado: : y = ax2 + bx + c C(x) = Cv(x) + Cf y = C(x) ax2 + bx = Cp(x) c = Cf In questo modello il grafico della funzione è un ramo di parabola per x = 0 risulta y = c c rappresenta la quota dei costi fissi sostenuta anche se la quantità prodotta fosse x = 0 x = x rappresenta la quantità limite di produzione dell'azienda, limite a partire dal quale sarebbe necessario modificare la capacità produttiva incidendo sulla «quota» dei costi fissi, e conseguentemente dei costi totali.

C(x) costi totali C 0 x X Affinché una funzione di secondo grado possa rappresentare una funzione dei costi totali deve soddisfare alcune particolari caratteristiche, (rispettare i vincoli di segno o vincoli tecnic)i: . Deve essere definita solo per valori di x compresi nell'intervallo 0 ≤ x ≤ x (dominio) · Deve assumere solo valori non negativi, ossia deve risultare y ≥ 0 per tutti i valori di x per cui è definita (codominio) · Deve essere crescente nel suo dominio, poiché al crescere della quantità prodotta (x) di un bene, i costi totali (y) tendono a crescere fino ad un certo limite · Il parametro c deve essere positivo, c > 0, mentre il parametro a potrebbe essere sia positivo che negativo, ma in ogni caso va considerato solo il tratto in cui la curva sarà crescente.La funzione dei ricavi totali Il ricavo totale ottenuto dalla vendita della quantità x di un certo bene è il prodotto della quantità venduta per il prezzo di vendita. In un mercato di concorrenza perfetta il prezzo di vendita p è fisso, cioè una costante (prezzo di equilibrio tra domanda e offerta) perciò il ricavo è espresso dalla seguente funzione: y = R(x) R(x) = px detta funzione dei ricavi totali con x ≥ 0

R(x) Ricavi 0 ( Quindi la funzione ricavo risulta una funzione di proporzionalità diretta. Giusto per capire, in un mercato monopolistico, ossia un mercato in cui c'è un solo produttore e molti acquirenti (pensate ad un mercato in cui l'azienda detiene un brevetto) il prezzo viene fissato dal produttore in relazione alla quantità venduta; in tal caso sarà: p = f (x), quindi si avrà R(x) = f(x) . xLa funzione del profitto Qualunque azienda tende alla massimizzazione del profitto. L'obiettivo principale di un'azienda è sempre stabilire quale quantità di bene è opportuno produrre per raggiungere il massimo profitto, minimizzando i costi. Anche in questo caso verranno analizzati dei modelli matematici che ben rappresentano la situazione reale, pur se semplificati. Il profitto di un'azienda, semplificando le cose, dipende dalla quantità di merce venduta, dal prezzo applicato e dai costi sostenuti per la produzione. Si definisce funzione profitto o utile di un'azienda, e lo indicheremo con la lettera U, la differenza tra il ricavo totale e il costo totale. U(x) = R(x) - C(x) Diamo ora una interpretazione grafica di tale considerazione tramite il diagramma di reddittività, tenendo sempre in debito conto tutte le considerazioni e le restrizioni del modello di studio rispetto alla realtà. Consideriamo le seguenti funzioni di costi, ricavi e profitto: C(x) = 1,35x + 600 R(x) = 2,35x U(x) = 2,35x - (1,35x + 600) = 2,35x - 1,35x - 600 U(x) = x-600