Principi di galleggiamento ed equilibrio dei corpi rigidi e stabilità delle navi

INTRO

Definizione galleggiante

Definiamo la nave come un galleggiante cioè un corpo rigido in quiete, cioè in equilibrio (le forze e momenti esterni sono in equilibrio e non causano accelerazione). Quindi NON c'è ne velocità ne accelerazione.

ΣΕ = 0 EM = 0

EQUILIBRIO

Equilibrio stabile> se perturbo la condizione di equilibrio, l'oggetto perturbato torna nella condizione iniziale >>> associato ad un minimo di energia potenziale Equilibrio instabile> se perturbo la condizione di equilibrio, l'oggetto perturbato entra in una nuova condizione >>> associato ad un massimo di energia potenziale

Le forze che ci interessano sono: - la forza peso W - la spinta di Archimede che indichiamo come dislocamento 4 (dipende dal volume spostato dall'acqua, quindi la carena)

L'ambiente in cui ci troviamo è fatto da: -aria -acqua -fondale

aria H20 fondale

Galleggiante= oggetto che si trova tra i due fluidi (aria e acqua)

Il galleggiante è un corpo rigido perché non si deforma, ed è in equilibrio. Andiamo a definire le forze che agiscono su questo:

Definizione corpo rigido

Peso e centro di gravità

1) forza peso Immaginiamo il galleggiante composto da diversi pesetti W1, Wz, W3 Il peso totale è

N W= Z Wi [N]/ i = 1

Il peso è applicato nel baricentro. Ognuno dei pesi ha una sua posizione:

G W1 X141Z1 N È xi . wi 1w W2 X24ZZZ => XG = W3 X3 43 Z3 N ¿ wi i =1

Spinta e th di Archimede

2) spinta, dislocamento 1th di Archimede> un corpo immerso in acqua subisce una spinta pari al peso di fluido che ha spostato dislocamento x vp q . = 08 [N] volume di carena trascurabile Sarebbe in realtà A = V1(81) + V2/82 (troppo preciso)

acqua: -mare aria 1.2 Kg/m3 1.025 €/m3 -dolce 1.000 €/m3

2th di Archimede> la retta d'azione della risultante di tutte le pressioni che agiscono sulla superficie passa per il centro geometrico del volume immerso (=volume dislocato).

V2 G WEquilibrio per un corpo immerso (6gdl) L'equilibrio lungo l'asse x e y è sempre garantito (non abbiamo forze lungo questi assi).

9 Equilibrio traslazione in z: Il = 12| 14 B W = A = 80 Z

Rotazione attorno a x: X 4 A, w coppia di forze= due forze con stesso modulo e stessa direzione a Z TA B => generano un momento Myz > 4 Muz = Wbyz = Abuz Imponendo l'equilibrio: Myz = 0 => Puz =0 braccio tra le 2 forze significa che le 2 forze devono essere sulla stessa retta d'azione !!

2 casi 1 2

Dal pt di vista delle traslazioni l'equilibrio è indifferente (poiché la densità dell'acqua è considerata costante con la profondità). Anche dal pt di vista della rotazione attorno a z, l'equilibrio resta indifferente.

1 Rotazione attorno a x: Questa nuova coppia di forze da una nuova rotazione ulteriore: il momento che nasce una volta che ho eliminato la mia causa inclinante, continua a inclinare l'oggetto >>> equilibrio instabile

a => 3. buz W TA B B

2 => w / G W 9 Anche in questo caso la nuova coppia di forze genera un momento. Questa fa ruotare l'oggetto facendolo tornare come era inizialmente (prima della perturbazione) >>> equilibrio stabile

Osservazione: i sommergibili per poter navigare devono avere il baricentro al di sotto del centro di carena. LA NAVE NO !!

Z 0 3, 44 W/G

CARENE DIRITTE

Elementi geometrici delle carene diritte

Z AP AT > 4 X

Nel caso delle carene diritte, ciascuna delle carene di uno stesso galleggiante ha, rispetto al piano di galleggiamento, lo stesso angolo di inclinazione >>> isocline

Come conseguenza si ha che le carene diritte risultano essere parallele al piano di galleggiamento WL.

Sulla base dell'immersione T è possibile ricavare informazioni quali le caratteristiche di sezione, quelle di volume e le derivate.

Caratteristiche sezionali

4 41 dA F x = X1 Definiamo:

A WL = [ LA [3] Sx = [ 4 dA [m3] Sy = [ xdA [m3]

Da ciò ne deriva che XF = . 54 AWL coordinate del centro F Sx 4F = AWL

Si definiscono i seguenti momenti di inerzia I x 1 = 5 41 dA [4] trasversale I41 = / x12 LA [m ] longitudinale I x141 = JA x, 4, dA=0 [m 4]

Nel momento in cui i momenti sopra citati assumono rispettivamente il valore minimo e massimo rispetto agli assi centrali, questi ultimi sono detti principali.

24/02 Questa figura riporta la metà della figura di galleggiamento. F= centro della figura di galleggiamento y4 ,X1 = assi centrali passanti per F dA= elemento infinitesimo della figura di galleggiamento

Caratteristiche di volume

[m3] V = { do Seguono i momenti di volume Moxy = [ & dv =f2 ZA „ (z) dz WL MOUE = So x dv = S2 XF (2) A w2 (2) az = { sy(z) dz MOXE = SO 4 dv = 0 (Per simmetria) B= centro di carena XB Myz = D 48 = MXZ _ = 0 D ZB = Mx4

Caratteristiche derivate

• Dislocamento A=80 [ton ]
• Raggio metacentrico trasversale RT = I x1 [ m ] MT WL WLO RT B Bo V Per piccole variazioni di UT, angolo di inclinazione, B si sposta su una traiettoria circolare di raggio RT centrata in MT, centro metacentrico. Noto RT si può risalire a MT.
• Raggio metacentrico longitudinale RL = 141 [m] 1 RL Analogamente a RT, per piccole variazioni di UT, B si muove su una traiettoria di raggio circolare RL centrata in ML. WLO WL B BO

Dislocamento unitario

Du = AWL. 8 100 [ton ] dv = AWL . 1 100 1 1 cm Du = X. dv = 8 AWL 100

Momento unitario di assetto

Mul = ARL 100 LPP Forza da applicare alla nave per cambiare immersione di 1cm RLAine N Ritgre tigre = dT UT = LPP 100 Lpp 1 Mu = ARL = 100 LPp ARZ tgilz

Tavole delle carene

Le tavole delle carene diritte sono i grafici con cui rappresentiamo i valori delle carene diritte T RT RL AWL Au Mel V A XB max o min XF

Verticale integrale e diagramma di Bonjean

TABELLE DI BONJEAN

Immaginiamo che la nave sia inclinata solo longitudinalmente. Si divide la nave per sezione è le tabelle di BONJEAN ci fanno 2 valori: - area trasversale - momento statico trasversale

L { { [T(x)] > sono funzioni dell'immersione: l'immersione non è costante come nelle carene diritte, ma è a sua volta funzione di x -Up X Tac =immersione a dietro 1 Tav =immersione avanti

Lo rappresentiamo nel verticale integrale, ad esempio per l'area è una cosa di questo tipo: l'immersione sta sempre in ordinata

T poppa 7 A

Valutiamo qual è il volume immerso di una carena inclinata longitudinalmente: nota la Tad e la Tav, possiamo trovarci l'immersione ordinata per ordinata

TAV- TAD LPP Possiamo trovare qualunque immersione T(x) = TAD + x tq Let vi è positivo se la nave è appruata (in questo caso è appoppata quindi è negativo)

Noto T(x) possiamo entrare nelle tabelle A(x) e S(x). 1) troviamo volume V= ( * fore xaft ×fore AT (x) dx 2) troviamo momenti Moxy = [ ST (x) dx => XB = V xaft MOxy= (*fore xaft AT(x). xdx

1 Genericamente, data una f(x), per valutare un'area: f(x) 1 A2 · metodi dei trapezi +(x1)+f(x2) f(x1) f (x2) f(x3) A1 = AX 2 ×1 X2 X3 X · metodo Simpson A1= 5f(x1)+ 8f(x2)-frx3) AX 12 A1 Az = 5f(x3)+8f(x2)-f(x1) AX 12 A1+ AZ = +(x1)+4f(x2)+f(x3) AX 3 Muyz ZB = MOxy V 4B= 0 2103 prora

Elementi geometrici delle carene inclinate trasversalmente

CARENE INCLINATE TRASVERSALMENTE

Guardiamo cosa succede quando la carena di inclina solo trasversalmente sezione trasversale WL D Gi i TA WLb W · -Bo Bo 5 3 c'è anche uno spostamento di Bo in avanti (trascurabile oppure non crea problemi di stabilità) Bo si sposta lateralmente e verticalmente >> determina una coppia di forze

Quando la nave si inclina solo longitudinalmente, la carena anche se si inclina mantiene la propria simmetria e quindi il centro di carena rimane sullo stesso piano longitudinale. In questo caso il centro di carena non rimane sul piano trasversale iniziale, perché la carena NON è simmetrica trasversalmente (lo è solo longitudinalmente).

Guardiamo cosa succede al centro di carena in inclinazione trasversale:

WL WLO in funzione del volume V mp f(0) 1 B& B ZBO KE = BZ + ZBO . Ainzer Bo 1 in funzione di - UT - 0 volume (w = vr) K pt di riferimento comodo => KZ = f (UT, V) A parità di inclinazione ma con diversi volumi, come varia Kz?

WL KZ WLO TUT :201 ZBO_ Bb B ZBO - - - KE BO Kz' K BZ /4 braccio della proiezione della retta d'azione della spinta rispetto ad un asse passante per Bo (NB non collega Bo a B !! ) Kz proiezione sul piano trasversale passante per Bo della retta d'azione della spinta 21 > DQuando immergiamo troppo Kz è minimo K B (180) Are

Possiamo approssimare per piccoli angoli (in base al disegno a sx): dBt = RT due BZ tga = = = RT => a = RT b= 1 rad = 57° 1 7 b 9

Dati iniziali: Disp Volume 19000 t 18536.59 m^3 = 4 21471.05 8.242 5.031 4.290 18536.59 7.214 5.598 3.743 } valore interpolato

Da carene inclinate: valori interpolati

V [m^3] 18000 20000 18536.59

KZ [m] KZ [m] 5 0.819 0.812 0.817 10 1.648 1.631 1.643 15 2.495 2.464 2.487 20 3.364 3.316 3.351 20 3.351 1.280 2.071 25 4.238 1.582 2.656 30 5.050 1.871 3.178 35 5.706 2.147 3.560 40 6.217 2.406 3.811 45 6.677 6.374 6.596 50 6.940 6.655 6.864 55 7.107 6.843 7.036 60 7.190 6.954 7.127 60 7.127 3.241 3.885 65 7.197 6.993 7.142 65 7.142 3.392 3.750 70 7.135 6.967 7.090 70 7.090 3.517 3.573 75 7.013 6.878 6.977 80 6.827 6.730 6.801 80 6.801 3.686 3.115 85 6.584 6.528 6.569 89 6.353 6.329 6.347 89 6.347 3.742 2.604

Costruiamo il grafico per punti:

6.000 5.000 4.000 BZ [m] 3.000 RT 2.000 1.000 0.000 0 20 40 60 80 100

5 0.817 0.326 0.491 10 1.643 0.650 0.993 15 2.487 0.969 1.518 25 4.264 4.166 4.238 30 5.106 4.896 5.050 35 5.781 5.503 5.706 40 6.299 5.994 6.217 45 6.596 2.647 3.949 50 6.864 2.867 3.996 55 7.036 3.066 3.970 75 6.977 3.615 3.361 85 6.569 3.729 2.840

Da carene diritte: V [m^3] T [m] RT [m] ZB0 [m] 17850.47 6.974 5.73 3.615 dalle tabelle delle carene dritte

8 Curve BZ [m] KZ [m] ZBO sen 8 [m] BZ [m] 0 0.000 0.000 0.000 RT B Bo Kz ~50°/ 60° Le a RT ℮ [deg]

Come si muovono i centri di carena?

Teorema di Eulero

hp: - inclinazione isocarenica > quando la nave si inclina manteniamo l'equilibrio alla traslazione verticale - angoli infinitesimi

V = Vsovraimmersione+ Vsottoimmersione #0 AV= [ dv = { dA· dz = { dA. ydre = du / 4 dA = du. Sx İdz x 5x - d.V 4 dz = tgall ~ dul y deve essere o asse uscente => SX = 0 dz = y du A . Y = 0 · dA ×

Enunciato

Due piani isocarenici e infinitamente prossimi tra loro si intersecano lungo una retta che contiene i centri di entrambe le figuredi galleggiamento.

Angoli non infinitesimi

WL re WLO B BO 1 Bo = centro di carena WLO X 11x X/ WLO x = asse di inclinazione (uscente) V= W terna dx dassi 1 ₹ 1 WLO 8 4 /1 WLO B si muove: - in alto - a dx Come si muove lungo x? I piani di galleggiamento in cui passiamo sono tutti tra loro isocarenici e hanno lo stesso asse di inclinazione >>> abbiamo vincolato la nostra traiettoria (ne esiste solo una possibile !!!!!! )

Traiettoria di B

WL Per applicare Eulero devo considerare piani di galleggiamento prossimi. WLD A coppie i piani di galleggiamento si intersecano secondo il centro della figura di galleggiamento che piano piano si muove (retta della figura di galleggiamento). Abbiamo una serie di rette parallele unite uscenti che formano una superficie cilindrica> tutti i piani di galleggiamento sono tg alla superficie cilindrica che abbiamo appena creato Diedro= 2 piani che si intersecano x Costola del diedro= retta di intersezione tra due piani (uscente) Consideriamo un altro piano che è perpendicolare alla costola del diedro> questo piano é una sezione normale del nostro diedro 1. DIX UND 4 BOZ piano di inclinazione 3/03 x essere isocarepica