Sfasamenti e fasori: rappresentazione dei segnali sinusoidali in elettrotecnica

SFASAMENTI E FASORI

Quando si vuole rappresentare un generico segnale sinusoidale la notazione privilegiata usata in elettrotecnica è e(t ) = Asin( œot+¢) Questa formula deve essere seguita dall'unità di misura della grandezza che si vuole descrivere [V] [A] etc ..

Rappresentazione grafica della funzione e=e(t)

La rappresentazione grafica della funzione e=e(t) sarà la seguente

y 4 e(t) A A ¢ x 0=ot T Si vede come e(t)=y(t) è la rappresentazione al passare del tempo della proiezione ortogonale del segmento di lunghezza A rotante attorno all'origine del piano x-y sull'asse delle ordinate. Si tratta di un moto armonico : A=ampiezza dell'onda =fase iniziale [rad] @=27/T=2m.f= pulsazione [rad/s]

Rappresentazione di e(t) in funzione di 0=ot

rappresentazione di e(t) in funzione di 0=ot e:

90% y e(t)4 V 135° 3 1 180° 0° x 1 225° 270° 315° 360º 0=ot 09 90° 1350 /315° + 225° 270° -V essa è riconducibile alla posizione del punto terminale di un segmento di lunghezza costante V che mantiene un estremo, fisso nell'origine delle coordinate e ruota lungo il perimetro di una circonferenza, con velocità angolare @ . Da notare come il valore massimo del segnale elettrico e(t) sia V in corrispondenza di 90° mentre il minimo è -V in corrispondenza di 270°.

Corrispondenza tra gradi e radianti

45° 180º90° 2 135°=2x 45°=I 4 180°= T 0°=0 r x 7 315° === 2 225°= 270°=2x ovviamente essendo @ misurata in rad/sec occorre abituarsi a valutare gli angoli indifferentemente in radianti o in gradi sessagesimali. In figura è riportata la corrispondenza fra gradi e radianti per alcuni angoli principali. In ogni caso per effettuare le conversioni si il rapporto:

π rad 180 gradi rad =" _. gradi 180 per trovare i radianti partendo dai gradi 180 gradi =1 -. rad per trovare i gradi partendo dai radianti

Fase

La fase è una misura angolare che caratterizza la posizione del segmento V ad ogni istante della sua rotazione, Particolare importanza assume il valore della fase iniziale o :la fase che caratterizza il vettore all'istante t=0.

Esempi di sinusoide

A 0=ot +45º 1450 t Bsin(@t+45°) esempio di sinusoide in anticipo di fase di 45° rispetto alla sinusoide originaria di fase 0: Vsin(@ t).Bsin(@t-45°) 0=ot ₹-45° 1 45° esempio di sinusoide in ritardo di fase di 45° rispetto alla sinusoide originaria di fase 0: Vsin(@ t). Vsin(œt) 0=t Vcos(œt) 90° Vcos(ct)= Vsin(@t+90°) E' importante notare come sia indifferente usare la funzione seno o quella coseno per descrivere grandezze di questo tipo, data l'esistenza della relazione: sin(90°+a)=cosa e di altre.

Periodo e frequenza

A t (sec) periodo (T) ARA t (sec) 1ºciclo 2ºciclo 3ºciclo Il periodo di un'onda sinusoidale è il tempo impiegato dall'onda per compiere un intero ciclo, l'onda è caratterizzata dal fatto che compie lo stesso ciclo in modo ripetuto. Il ciclo di un'onda alternata si misura in secondi. Un altro importante parametro è la frequenza che è il numero di cicli compiuti nell'unità di tempo (in 1 secondo).[Hertz] [Hz]

Relazione tra frequenza, periodo e pulsazione

Mi 1 sec 1 sec in figura la sinusoide di destra compie un numero di cicli doppio rispetto alla sinusoide di sinistra: essa ha un periodo che è la metà della sinusoide di sinistra. Importante è la relazione fra frequenza, periodo e pulsazione: 0 = 2xf= T per le funzioni sinusoidali è rilevante anche il parametro: Vã- V if V 2 valore efficace della funzione, con V ampiezza (valore massimo) dell'onda si ricorda che il valore delle grandezze elettriche viene fornito sempre sotto forma di valore efficace.

Valore picco a picco

V t (sec) Vpp Più intuitiva è la nozione di valore 'picco a picco' di una sinusoide. V pp = 2Vp

Forma simbolica

L'elaborazione delle grandezze alternate sinusoidali è facilitata dalla teoria matematica dei numeri complessi.Forma simbolica

Im jb 0 Re a La grandezza elettrica, viene in questo caso rappresentata sul piano dei numeri complessi tramite un vettore V che ha il suo punto di applicazione nell'origine degli assi. Il vettore V può essere definito con le sue due proiezioni sugli assi cartesiani, scrivendo: V=a+ jb > IV1=1024bc dove j è l'operatore immaginario i=v-1 a viene chiamata la parte reale di V, mentre b è la parte immaginaria di V. Questa, viene detta forma binomiale del vettore V. Dobbiamo immaginare questa, come la posizione iniziale del vettore rotante, all'istante t=0.

Forma polare

Una forma alternativa a quella binomiale, è la forma polare: dove |V| è il modulo del vettore, cioè la sua lunghezza,0 è la fase iniziale del vettore ed e=2.718 .. è il numero di Neper. La forma binomiale e quella polare sono legate dalle relazioni: 0 = atg / |V|=Va2 +b2 00 2 mentre (per la trigonometria) a =V| cos0 b=|V| sin0 Da queste considerazioni si deduce che possiamo definire una grandezza alternata sinusoidale, attraverso almeno tre forme:

• forma sinusoidale: v(t)=V|.sin(@t+0)
• forma vettoriale binomiale: V=a+j.b=|V| cos(0)+ j|V|sin(0)
• forma vettoriale polare: V=|V|ejº

Resistenza

Se si applica una tensione sinusoidale ai capi di una resistenza, la corrente prodotta è sinusoidale ed è in fase con la tensione:

i i V R V v = V sin(@t+¢) i ==- sin(@t+¢)

Reattanza induttiva

Se si applica una tensione sinusoidale ai capi di un induttanza L, la corrente ottenuta è sinusoidale NA in ritardo di 90° rispetto alla tensione e la reattanza offerta dall'induttanza vale: XL=OL se la tensione applicata è v = V sin(@t+¢) i = V _V XL OOL -sin(œt+¢) usando i numeri complessi si scriverebbe: XL= jX 1 = jøL quindi:i V V L LA 22/ 1 V XL jXL JOL

Reattanza capacitiva

Se si applica una tensione sinusoidale ai capi di un condensatore C la corrente impressa è π sinusoidale, in anticipo di 90° 2 rispetto alla tensione e la reattanza del condensatore è: Xc= WC 1 se la tensione applicata è v = V sin(@t+¢) i= = 0CVsin(@t+¢) Xc usando i numeri complessi si avrebbe: 1_1 quindi: i V t V C 4 =- joCV Xc Xc =- jX1 =- j WC joc

Impedenza

1Impedenza Una volta acquisito che la reattanza offerta da un'induttanza e da un condensatore valgono XL = jX 1 = joL 1 Xc =- jXc =- j oC Si può risalire all'impedenza Z offerta da circuiti anche complessi. Alcuni esempi immediati sono i seguenti:

R W Z L 7 Z = R + jXL Z = VR2 + X2 0 = atg XL R R 3 Z C Z= R- jXc Z = 1R? + X2 0 = atg L Z C Z= jXL- jXc Z= XL-Xc 0=±90°