La legge di Hopkinson e la riluttanza nei circuiti magnetici per l'università

La legge di Hopkinson e la riluttanza dei circuiti magnetici

La legge di Hopkinson, la Riluttanza R dei circuiti magnetici.
Anche nei circuiti magnetici, come già detto, l'avvolgimento costituito da N spire, percorso
da una corrente elettrica I produce un campo magnetico H
H = N. 1 = 4
N . I
m
A · spire
S
L
-
I
o-
1
N
D
D

Flusso magnetico e lunghezza media del circuito

FLUSSO MAGNETICO
I
-
0
L
-
-
Per la particolare configurazione delle linee di campo magnetico H, indipendentemente
dal fatto che l'avvolgimento sia avvolto sull'intero nucleo magnetico o su una parte di esso,
la l che compare nella formula ** ,nel caso di un circuito magnetico, deve intendersi
sempre come la lunghezza media del circuito magnetico.
Il nucleo costituito da un materiale ferromagnetico con permeabilità relativa ur, disposto
nel campo magnetico H si magnetizza (induzione magnetica B) ed, in assenza di flussi
dispersi, in ciascuna sua sezione ortogonale S si ha lo stesso flusso magnetico $.
H = N = 4 .
N . I
A · spire
m
B = p . H = [ Tesla ]
+ = B · S = [ Weber ]
Il flusso magnetico + che si produce all'interno del nucleo ferromagnetico si può calcolare
con la seguente relazione che prende il nome di legge di Hopkinson:
$ = = [ W
N . I
Con il simbolo R si indica la Riluttanza del nucleo ferromagnetico e si misura in Henry -1.
/ LUNGHEZZA MEDIA
DEL CIRCUITO
MAGNETICOLa Riluttanza del nucleo ferromagnetico si calcola con la seguente relazione matematica:
= = [Henry -]
U.S
formula **
l = lunghezza media del nucleo ferromagnetico espressa in metri [m];
u = permeabilità assoluta del materiale ferromagnetico u = po . ur [Henry/metro];
S = Sezione del nucleo ferromagnetico espressa in [m2] .
La Riluttanza R tiene conto delle caratteristiche geometriche del nucleo ferromagnetico e
della qualità magnetica del materiale che costituisce il nucleo stesso.
La legge di Hopkinson che consente il calcolo del flusso magnetico:
N . I
D == [Weber]
mette in relazione gli elementi elettrici, magnetici e geometrici di un circuito magnetico;
il prodotto N · I, misurato in Amper · spire, si dice forza magnetomotrice (abbreviato
f.m.m.).
Analizzando la legge di Hopkinson si può osservare che a parità di forza magnetomotrice
prodotta dall'avvolgimento, si può ottenere un flusso magnetico + più elevato se la
riluttanza R del nucleo ferromagnetico è più bassa. Ciò implica di utilizzare materiali
ferromagnetici con permeabilità relativa ur più elevata.

Esercizio: calcolo del flusso magnetico

Esercizio
In un circuito magnetico chiuso, di materiale ferromagnetico omogeneo a sezione costante
si conosce:
il numero di spire N dell'avvolgimento N = 500, il valore della corrente elettrica I = 0,4 A, la
lunghezza media del circuito magnetico I = 40 cm e la sua sezione S = 10 cm2. E' noto il
valore della permeabilità relativa del materiale ferromagnetico ur = 2500. Si vuole
determinare il valore del flusso magnetico @ presente nel nucleo ferromagnetico.
5
= B
l lunghezza media
I
B-
0
N
I
-0-
. -
1Soluzione
Dalla legge di Hopkinson Q =~
N .I
R
per determinare il valore del flusso magnetico,
visto che sono noti i valori N e I, è necessario calcolare il valore della riluttanza R.
l = 40 cm = 0,4 m
S = 10 cm2 = 0,001 m2
=
l
1,256 - 10 -6 . 2500 . 0,001
0,4
= 127388 ,5 Henry -1
R =
l
u.s pour.S
=

Ø= =
N . I
127388,5
500 · 0,4
= 0,00157 Wb =1,57 mWbI circuiti magnetici

Esercizio: determinazione della forza magnetomotrice

Esercizio
In un circuito magnetico chiuso, di materiale ferromagnetico omogeneo a sezione costante
si conosce:
Il valore del flusso magnetico @ che si vuole ottenere nel nucleo ferromagnetico $ = 2
mWb;
la lunghezza media del circuito magnetico l = 30 cm;
la sezione del nucleo ferromagnetico S = 8 cm2.
Il valore della permeabilità relativa del materiale ferromagnetico con cui sono costruiti i
lamierini del nucleo ferromagnetico ur = 4000.
Si determini il valore della forza magnetomotrice N · I (f.m.m.) che deve essere in grado di
fornire l'avvolgimento montato sulla colonna del nucleo ferromagnetico.
Soluzione
Dalla legge di Hopkinson
=
N . I
per determinare il valore della f.m.m. bisogna
risalire al valore della Riluttanza R.
R
N . I = D . R
visto che sono noti i valori S e l medio che descrivono le dimensioni del nucleo
ferromagnetico e la permeabilità magnetica relativa ur del materiale ferromagnetico è
possibile calcolare il valore della Riluttanza del nucleo ferromagnetico:
R =
l
U.S
l = 30 cm = 0,3 m
S = 8 cm2 = 0,0008 m2
u = µo · ur = 1,256 . 10 -6 . 4000 = 0,005024 [Henry/metro]
R = -
=
0,3
= 74603,88 Henry -1
u . S
l
0,005024 · 0,0008
N . I = D . R = 2.10 -3 . 74603,88 =149,2 Ampèr · spire
La forza magnetomotrice N · I = 149,2 [A · spire] che deve produrre l'avvolgimento per
generare il flusso magnetico + del valore di 2mWb all'interno del nucleo ferromagneticopotrebbe essere prodotta ipotizzando un certo numero di spire N e un valore opportuno di
corrente elettrica I.
Per esempio supponendo un valore di corrente elettrica non troppo elevata I = 0,5 A
N · I = 149,2 Ampère · spire
Il valore del numero di spire N con cui formare l'avvolgimento è immediatamente
determinato:
N=
149,2 A· spire
0,5 A
=298,2 spire
Arrotondando N = 298 spire
I = 0,5 A corrente circolante nell'avvolgimento.
ur = 4000
1
Q=2mwb
I= 0,5A
l = 30 cm LUNGHEZZA
MEDIA DEL CIRCUITO
MAGNETICO
N=298
Spire
0 =2mWb
1
1
I= 0,5A
1
Q=2 m Wd
SEZIONE S = 8 cm2

Esercizio BIS: impatto della permeabilità relativa sul costo

Esercizio BIS
Il nucleo ferromagnetico descritto nell'esercizio precedente, lunghezza media del circuito
magnetico l = 30 cm, sezione S = 8 cm2 , essendo costruito con un materiale
ferromagnetico con permeabilità relativa ur = 4000 porta ad un eccessivo costo nella
realizzazione dell'intero circuito magnetico.
Si decide di voler ottenere sempre lo stesso flusso magnetico $ = 2 mWb ma di
risparmiare e cambiare materiale ferromagnetico con cui realizzare i lamierini del nucleo e
di scegliere un materiale con permeabilità relativa minore ur = 1800.
Questa nuova scelta come influirà sulle grandezze elettromagnetiche del circuito?
Risposta:
le dimensioni del nucleo non variano ma cambiando il valore della permeabilità relativa ur
del materiale la riluttanza R del nucleo ferromagnetico cambierà il suo valore:
l = 30 cm = 0,3 m
S = 8 cm2 = 0,0008 m2
= µo . ur = 1,256 . 10 -6 . 1800 = 0,00226 [Henry/metro]
=
0,3
R = -
u .S
l
0,00226 . 0,0008
= 165870 ,5 Henry -1
Rispetto all'esercizio precedente il valore della Riluttanza R aumenta in modo
considerevole.
Si vuole ottenere lo stesso valore di flusso magnetico all'interno del circuito magnetico.
N . I = D . R = 2 . 10 -3 . 165870 ,5 =331,74 Amper . spire
La forza magnetomotrice N . I = 331,74 [A · spire] che deve produrre l'avvolgimento,
percorso dalla corrente I, per generare il flusso magnetico ¢, potrebbe essere prodotta
ipotizzando di non variare il numero N di spire dell'avvolgimento, pertanto N = 298 spire.
N . I = 331,74 Ampère . spire
I=
331,74 A· spire
298 spire
=1,11 A
Il risultato ottenuto mostra che nell'utilizzare un materiale ferromagnetico con permeabilità
relativa ur minore implica fornire al circuito elettrico un valore d'intensità di corrente I più
elevato, a parità di numero N spire dell'avvolgimento e flusso magnetico ¢ richiesto.

Riflessioni sull'esercizio

Riflessioni sull'esercizio.Volendo utilizzare un materiale ferromagnetico con permeabilità magnetica relativa ur
minore:
- mantenendo immutate le dimensioni geometriche del nucleo ferromagnetico;
- mantenendo costante il numero di spire N dell'avvolgimento;
- volendo ottenere lo stesso valore del flusso magnetico ¢ all'interno del nucleo
ferromagnetico;
bisogna fornire all'avvolgimento una intensità di corrente I maggiore, ciò comporta un
assorbimento più elevato di potenza elettrica e di Energia nel tempo con un incremento
dei costi in termini energetici.
Il valore della Riluttanza R di un nucleo ferromagnetico "misura" l'opposizione ("la
Resistenza") che il materiale fornisce al transito di un flusso magnetico $ al suo interno.

Analogie tra circuiti elettrici e magnetici

Analogie tra circuiti elettrici e circuiti magnetici
Circuito Elettrico
I
0
+
Eg
R RESISTENZA [2]
0
-
I
Circuito magnetico
e
1
I
+
4
N
.m.m
NOI
Riluttanza
1
I
0

Confronto tra grandezze

ANALOGIE
Circuito Elettrico
Circuito magnetico

• Tensione generatore Eg
  [V]
  forza magneto motrice f.m.m. N . I [A . spire]
• Resistenza elettrica R
  [Ω]
  Riluttanza
  R [Henry -1]
• Intensità Corrente Elettrica I [A]
  Flusso magnetico
  ¢ [Weber]
• Legge di ohm
  Legge di Hopkinson
• Eg = R · I
  N · I = R · ¢

Traferro nei circuiti magnetici

Traferro nei circuiti magnetici
La legge di Hopkinson, formalmente identica alla legge di Ohm per i circuiti elettrici,
è di fondamentale importanza per lo studio dei circuiti magnetici. La legge è valida
anche se il circuito magnetico è costituito da tronchi a differente sezione S o di
materiali diversi a condizione che per R si intenda la somma delle riluttanze
calcolate separatamente per i vari tronchi ed è ancora valida anche quando un
tratto di circuito magnetico è costituito da materiale amagnetico (per esempio da
aria).
Il materiale amagnetico che fa parte di un circuito magnetico prende il nome di
traferro. Nei circuiti magnetici che presentano dei traferri la Riluttanza del circuito è
data dalla somma della Riluttanza del materiale ferro-magnetico o della Riluttanza
dei traferri.
SI
I
S2
0
P
TRAFERRO
N
ARIA
SEZIONE S2
S2
S1
SEZIONE S1
S2 > S1
RS1
RS2
f.m.m
l
N-I
R =
u . S
0
RTRA