Metodi Quantitativi: forza d'interesse e sconto in matematica finanziaria

Forza d'interesse e forza di sconto

I tassi nominali offrono un interessante spunto di riflessione. Poniamoci nel RIC, e consideriamo l'esempio numerico seguente:

TASSO EFFETTIVO ANNUO

m i=3% i=5% Annuale 3,0000% 5,0000% Semestrale 2,9780% 4,9390% Quadrimestrale 2,9700% 4,9190% Trimestrale 2,9670% 4,9090% Mensile 2,9600% 4,8890% Settimanale 2,9570% 4,8810% Giornaliero 2,9560% 4,8790% Al secondo 2,9560% 4,8790

Nella tabella sono stati presi a riferimento due tassi effettivi d'interesse su base temporale annuale, e, per ciascuno, abbiamo determinato i relativi valori del tasso d'interesse annuo nominale aumentandone man mano il frazionamento, ovvero le volte in cui tale tasso nominale viene convertito nell'anno. E' possibile notare che il tasso d'interesse nominale decresce al crescere di m fino a stabilizzarsi su un valore riferibile ad un frazionamento molto piccolo.

Forza d'interesse e forza di sconto: Comportamento formale

• Formalmente questo comportamento può essere così espresso:

im = (1 + i)1/m -1 ! [1 = (1+i)m -1 " 1 j(m) = m . ((1 + i)m - 1) m-8 m m " )= lim m . ((1 + i)m - 1) = ļim (1 + i)m -1 mo 1 = In(1 +i) dove il logaritmo è inteso in base naturale. La quantità 8 = In(1 +i) è il tasso d'interesse annuo nominale convertibile istante per istante nell'anno ed è detto forza d'interesse o intensità istantanea d'interesse nel RIC, in ipotesi di struttura dei tassi d'interesse piatta. Essa esprime l'intensità con la quale la legge di capitalizzazione a interesse composto accresce l'interesse per ogni istante di tempo che trascorre, dove l'istante di tempo è definito in termini infinitesimali, ossia l'ampiezza di ciascun sotto intervallo è molto piccola (il che equivale a dire che il numero di sotto intervalli nel quale suddividiamo l'operazione finanziaria è molto grande, cioè tende ad infinito.

Forza d'interesse e forza di sconto: Tasso effettivo

Da 8 = In(1 + i) è possibile ricavare il tasso d'interesse effettivo i nel caso in cui si conosca la forza d'interesse 8, cioè:

i = e8 - 1

Consideriamo ora il caso del tasso di sconto nominale. Sappiamo che il tasso di sconto convertibile m volte nel periodo è definito da p(m) = m · d1 e " ponendoci ancora nel RIC, il tasso d1 sarà ottenuto sulla base della seguente relazione di equivalenza tra tassi effettivi:

" 1 ! 1-d1 = (1-d)m => d1 = 1-(1 -d)m " " da cui poter esprimere il tasso nominale di sconto nel seguente modo:

p(m) = m . (1 - (1 -d)m)

1 Al crescere del frazionamento m si ottiene che:

lim p(m) = lim m . (1 - (1 - d)m ) = m->00 1 1-(1-d)m lim 1 m >0 1 m 1 =- In(1-d) ovvero il tasso di sconto tende a crescere al crescere di m.

Forza d'interesse e forza di sconto: Intensità istantanea

La quantità p = - In(1 - d) Prende il nome di forza di sconto o intensità istantanea di sconto nel RIC, in ipotesi di struttura piatta, ed esprime l'intensità con la quale la legge di attualizzazione composta accresce lo sconto istante per istante. La forza di sconto è pur sempre un tasso nominale convertibile m volte nel periodo ma con riferimento a conversioni su base temporale infinitesimale. Da p = - In(1 - d), avendo la conoscenza della forza di sconto è possibile ricavare il tasso di sconto effettivo d

d = 1 - e-P

Relazione tra Forza d'interesse e forza di sconto

E' interessante notare che, essendo il tasso d'interesse effettivo i legato al tasso di sconto effettivo d secondo la relazione fondamentale i = _d 1-d d -, sussiste una relazione tra la forza d'interesse e la forza di sconto. Analiticamente:

8 = In(1 + i) = In (1+ d 1 - d. = 1 = ln 1 - d) = In(1) - In(1-d) =- In(1 -d) risulta che p = - In(1 - d) , si ottiene:

8 = p

Pertanto, nel RIC la forza d'interesse risulta uguale alla forza di sconto.

Forza d'interesse e forza di sconto: Esempio

Esempio: Consideriamo un tasso d'interesse effettivo semestrale del 2% nel RIC. Calcoliamo:

a) La forza d'interesse su base semestrale:

8 = In (1 + 0,02) = 0,0198

b) La forza di sconto su base semestrale:

p = 8 = 0,0198

c) Il tasso effettivo di sconto semestrale:

d = 1 - e-0,0198 = 0,01961

Forza d'interesse e forza di sconto: Caso generale

Procediamo col generalizzare la definizione di forza d'interesse e forza di sconto per un regime finanziario qualsiasi. Consideriamo il caso di una generica operazione finanziaria sull'intervallo [to, tn] che consiste nell'investimento di un capitale iniziale unitario. Supponiamo di voler determinare l'interesse maturato in un intervallo di tempo [t, t + At], con to ≤t

I(t +At) = f(t+At) -f(t)

dividendo entrambi i membri per At si ottiene che:

I (t + At) = f(t+ At) -f(t) At At

Quest'ultima relazione è interpretabile come l'interesse mediamente prodotto in un intervallo di tempo di ampiezza At.

Forza d'interesse e forza di sconto: Intervallo infinitesimale

Se rendessimo tale intervallo di ampiezza infinitesimale, si avrebbe che:

lim At->0 I(t + At) At = lim At->0 f(t + At) - f(t) = f' (t) At

Ovvero definiamo la derivata prima della legge di capitalizzazione all'istante di tempo t, che definisce l'interesse che matura per variazioni molto piccole sull'asse temporale. Poiché la legge di capitalizzazione f (t) è continua e derivabile per ipotesi, allora possiamo ricorrere al differenziale della I(t + At) = f (t + At) - f(t) e, in accordo con I(t+At) = At Δt f(t+At)-f(t) , poter scrivere la relazione approssimata:

I(t + At) ~ f'(t) . At per At -> 0

Infine, moltiplicando e dividendo, per f(t), il secondo membro della I(t + At) ~ f'(t) · At si arriva alla seguente:

I(t + At) ~ f(t) f(t) f'(t) · At

Forza d'interesse e forza di sconto: Proporzionalità

Quest'ultima espressione stabilisce che l'interesse prodotto dalla legge di capitalizzazione in ogni intervallo di ampiezza infinitesimale è approssimativamente proporzionale:

• al capitale esigibile all'inizio del periodo, f (t);
• all'ampiezza dell'intervallo di tempo, At;
• ad una quantità, f'(t) dipendente dal tempo. f(t)'

In particolare, la quantità f'(t) 8(t) = = f(t) d log(f(t)) dt Prende il nome di forza d'interesse o intensità istantanea d'interesse associata alla legge di capitalizzazione f (t).

Forza d'interesse e forza di sconto: Reciprocità

Sfruttando la relazione di reciprocità tra fattore di capitalizzazione e fattore di sconto possiamo giungere alla forza di sconto. Infatti, posto f (t) = ¢(t) , si ha che:

f'(t) = - f'(t) $2(t)

Sostituendo f'(t) = - f'(t) ¢2(t) nella 8(t) = f'(t) = d log(f(t)) dt si ottiene che:

f'(t) f(t) = − +'(t) +2 (t) f(t) 1 = − +'(t) +2(t) +'(t) - ø(t) = d log(¢(t)) dt dove la quantità

p(t) = - +'(t) ¢(t) = − d log(+(t)) dt È detta forza di sconto o intensità istantanea di sconto, ed è tale per cui lo sconto che matura in un intervallo di tempo At, con At -> 0, può essere approssimativamente definito come:

D (t + At)~ o(t). - ¢(t) +'(t)' At f(t)

Forza d'interesse e forza di sconto: Coincidenza

E' necessario notare che la forza d'interesse e la forza di sconto, associate ad una medesima legge di capitalizzazione, coincidono. A conferma di ciò, considerando la 8(t) = ƒ'(t) f(t) d log(f(t)) dt e la p (t) = - ¢(t) ¢'(t) d log(¢(t)) per mezzo della relazione di reciprocità risulta che:

dt p(t) = - d log(¢(t)) ø(t). dt d log dt - 1 d(log(1)-log(f(t))) dt = 8(t)

Forza d'interesse e forza di sconto: Esempio con legge di capitalizzazione

Esempio: Data la legge di capitalizzazione f (t) = t + et, la corrispondente forza d'interesse è:

8(t) = d In(t +et) dt = 1 + et t + et da cui ricavare l'approssimazione dell'interesse che matura per ogni intervallo di tempo At:

I(t + At) ~ (ttet) (1 + et) (t + et) · At = (1 + et) · At

La forza di sconto risulta pari alla forza d'interesse. Infatti, posto ¢(t) = ttet " si ha:

p(t) = -: dt 1 t + et, d In = 1 + et t + et Da cui la relazione che approssima lo sconto per ogni intervallo di tempo At:

D(t + At) ~ (1+et) · At

Forza d'interesse e forza di sconto: Regimi finanziari

A questo punto, avendo raggiunto le espressioni della forza d'interesse e della forza di sconto per una generica legge finanziaria, procediamo a contestualizzarle nei regimi finanziari notevoli:

• Nel RIS, essendo f (t) = 1 + i · t si ha la seguente forza d'interesse:

8(t) = f'(t) f(t) = 1 +i.t i

• Nel RIA, essendo ø(t) = 1 - d · t si ha la seguente forza di sconto:

ø'(t) -d d p(t) = - ø(t) = − 1 -d . t = 1 -d.t

• Nel RIC, essendo f (t) = (1 + i) si avrà la seguente forza d'interesse:

8(t) = f(t) f'(t) = In(1 +i) . (1+i) (1 + i)t = In(1 +i)

Forza d'interesse e forza di sconto: Osservazione

Osservazione: La condizione 8(t) = ƒʹ(t) In(1+i).(1+i)t = In(1 + i) coincide con 8 = In(1 + i). f(t) (1+i)t E' da notare che la forza d'interesse, così come la forza di sconto in virtù della condizione 1 p(t) =_ din(ø(t) dt d In( ø(t) d(In(1)-In(f(t))) dt dt = 8(t), nel RIS e nel RIA dipendono dal tempo, cosa che non accade nel RIC

Caso generale con leggi finanziarie in due variabili

Il concetto di forza d'interesse e di sconto è estendibile al caso di leggi finanziarie in due variabili, ossia dipendenti sia dall'epoca iniziale, to, che di quella finale, tn, dell'operazione finanziaria. Sia f (to, tn) la legge di capitalizzazione. Consideriamo un'operazione finanziaria caratterizzata dall'investimento in to di un capitale unitario. L'interesse che matura nell'intervallo [tn, tn+Atn) è

I(tn, tn+Atn) ~ f(to,tn+Atn) - f(to,tn)

Detta condizione, assumendo che valgano le ipotesi di continuità e derivabilità della legge di capitalizzazione, può essere approssimata mediante il suo differenziale calcolando la derivata parziale rispetto all'epoca di scadenza:

df(to,tn) I(tn, tn +Atn) ~ f(to,tn) . atn . Atn f(to,tn) per Atn -> 0

A partire dalla condizione precedente, la quantità

df(to,tn) atn @ logf(to,tn) 8(to, tn) = f(to,tn) atn è la forza d'interesse associata alla legge in due variabili f (to, tn).