Diagrammi di stato: Piano Entropico e diagramma entalpico per la Fisica

Diagrammi di stato: Piano Entropico

Tra i diagrammi di Stato il Diagramma entropico (Diagramma di Gibbs) risulta tra i più importanti in quanto ampiamente impiegato nelle macchine a fluido come le macchine a vapore e le macchine frigorifere. Comprenderne la sua costruzione, ossia rappresentante tutti gli stati termodinamici di una sostanza pura, significa poter agevolmente muoversi all'interno del diagramma al fine di ottenere le informazioni utili per una qualsiasi trasformazione. Ricordando che il diagramma entropico ha come riferimento sulle ascisse l'entropia specifica della sostanza pura e sulle ordinate alla temperatura assoluta (gradi Kelvin), si sottolinea come gli stati termodinamici riportati sul diagramma siano quelli relativi a temperature superiori a quelle del punto triplo in quanto, come premesso, il diagramma è impiegato per macchine a fluido (stato della materia superiore al punto triplo). Pertanto è facile che lo zero delle temperature sia quello del punto triplo (Fig.1).L

T

GAS

dP= 0 P v dv = 0 T= Tc C P1 V1 LIQUIDO VAPORI SURRISCALDATI P0 VAPORI SATURI VO M N punto triplo A M' N' s

Fig. 1: Costruzione diagramma Entropico (T-s).

Per quanto concerne lo stato di riferimento dell'entropia si sottolinea come il suo impiego è associato a una variazione tra due stati termodinamici. Ne consegue che lo stato di rifermento può essere scelto arbitrariamente ma comunque necessario per poter definirne il valore assoluto in uno stato termodinamico. Tipicamente viene scelto quale punto di riferimento (entropia zero) nel punto triplo della sostanza con la sola presenza della fase liquida.

Il secondo passo necessario per disegnare un diagramma entropico è quello di individuare la campana di Andrews, ossia la zona dei vapori saturi. A tal fine bisogna disegnare la linea limite inferiore (linea di liquido saturo x=0) e la linea dei vapori saturi secchi (Linea x=1). La linea a titolo x = 0, può essere disegnata basandoci sul fatto che si può approssimare, per Temperature lontanedal punto critico, il calore specifico di un liquido a quello a pressione costante. Pertanto la quantità di calore elementare dq fornita al miscuglio è pari a:

dQ= rp dT (1) e allo stesso tempo: ds= dQ /T (2) Dal confronto delle (2) e (3) integrando e ponendo s = 0 per T = TA , si trova che l'entropia SM del generico punto M posto sulla linea limite è fornita dalla:

ds = Ve AT -> SM = JA YO dT = Yp In CM (3)

Tale relazione è meno rigorosa quando ci si avvicina al punto critico, ossia quando l'approssimazione del calore specifico del liquido al calore specifico a pressione costante comporta errori più significativi.

Linea limite x = 1

Se si disegna una linea isoterma orizzontale a partire da un punto M sulla linea x=0 fino ad intercettare la linea limite a x=1 si trova un punto N alla stessa temperatura di M. Per definizione di entropia, l'area sottesa dalla linea MN è pari al calore scambiato durante la trasformazione da M a N ossia al calore di trasformazione r(TM). Ma per la sua rappresentazione grafica la stessa area è data dal prodotto di MN*TM. Ne consegue che la lunghezza di MN è data da:

MN ="(TM) TM (4)

Generalizzando per diversi punti di partenza sulla linea limite x=0 si ottengono altrettanti punti appartenenti alla linea x=1. Interpolando quest'ultimi si perviene alla linea x=1.Linee principali all'interno della zona dei vapori saturi. All'interno della zona dei vapori saturi (campana di Andrews) , le isobare coincidono con le isoterme e sono quindi parallele all'asse delle entropie. Le linee a titolo costante si determinano suddividendo in parti eguali i vari segmenti di isoterma e congiungendo opportunamente i punti omologhi. Le line a volume specifico costante si possono disegnare per confronto con il diagramma di Clapeyron, mentre le linee isoentalpiche si ottengono per punti da confronto con diagramma entalpico.

Linee principali all'interno della zona dei gas

Le isobare possono essere disegnate impiegando le stesse relazioni riportate in equazione 1 e 2 per un gas perfetto. Partendo da un punto P0 a una determinata temperatura T(P0) e Entropia specifica s(P1) a pressione P si può andare a un altro punto P1 sull'isobara a pressione P costante di coordinate T(P1) S(P1) mediante:

SP1 - SPO = Yp In( Tp Tpo (5)

Analogamente si possono tracciare le isometriche partendo da un puto V0 a un punto generico Vı

Svi - Svo = Yp In ( Tvo (6)

Pertanto sia le isobare che le isometriche sono curve di tipo logaritmico: poiché rp > rv, la pendenza delle isometriche è maggiore. Generalizzando possiamo dire che la sottotangente di un punto di una trasformazione nel piano entropico è il calore specifico della sostanza nel punto.Infatti, in riferimento dal grafico di figura 1, la sottotangente RS1 in un punto A di una trasformazione sul piano entropico è uguale a AS diviso la tangente alla curva nel punto A.

RS = AS tang a T = 'TdS dT A = dT / A (G) = Y (7) T trasformazione - - A -T la R sottotangente S S

Fig.2: Significato della sottotangente nel piano Entropico. [4]

Per disegnare le isoentalpiche si ricorda come per i gas perfetti valga la relazione 8:

dh=rp dT (8)

1 Sottotangente è di una curva in un diagramma cartesiano relativamente ad un punto della curva è rappresentata da un segmento sull'asse delle ascisse determinato dalle due intersezioni con l'asse dell'ascisse, della verticale passante nel punto in questione e della tangente alla curva in quel punto. - dT ds ) ANe consegue che le trasformazioni isoterme sono anche isoentalpiche e nel diagramma T-s sono linee orizzontali.

Diagramma entalpico

Il diagramma Entalpico (o diagramma di Mollier) sono riportate l'entalpia specifica sull'asse delle ordinate e l'entropia specifica sull'asse delle ascisse. L'impiego di tali grandezze è sempre in termini di variazione, pertanto, anche in questo caso il riferimento dell'entalpia e dell'entropia può essere preso arbitrariamente. Il riferimento (Stato termodinamico per cui si ha un valore assoluto dell'entalpia pari a 0) è il punto triplo della sostanza quando è presente la sola fase liquida.

Il diagramma entalpico è molto impiegato per lo studio dei sistemi aperti in quanto, consente di calcolare il lavoro tecnico facilmente mediante una semplice differenza dei valori di entalpia lette nell'asse delle ordinate. Ricordando la relazione dell'entalpia in funzione dell'entropia (seconda equazione dell'entropia) per cui:

dh=Tds+pdv (9)

ne consegue che la costruzione della linea limite superiore (x=1) può essere effettuata a partire dalle corrispondenti linee-limite sui diagrammi P-v e T-s. Attribuendo incrementi finiti ad s ed a P si può, per mezzo dei diagrammi T-s e P-v, per passi discreti, calcolare il secondo membro della (8) e quindi tracciare, per punti, la linea limite sul piano h-s. Ricordando che la derivata parziale a pressione costante dell'entalpia rispetto all'entropia è uguale alla temperatura assoluta:

(25) = T (10)All'interno della campana dei vapori saturi le isoterme (isobare) sono rappresentate da delle rette di pendenza pari alla temperatura assoluta. Aumentando la Temperatura T aumenta la pendenza della retta, ossia le rette si aprono a ventaglio. In prossimità della linea limite a titolo =0 e lontano dalla temperatura critica il calore specifico si può considerare simile al calore specifico a pressione costante. Pertanto data la relazione 11:

dh=rpdT=Tds (11)

si può concludere che le rette isoterme nella campana dei vapori saturi siano tangenti alla curva limite inferiore.Ricordando, infine, che nella zona dei gas la variazione di entalpia è proporzionale alla variazione di temperatura (dh=rpdT) ne consegue che i comportamenti delle isobare, isocore e isoterme hanno un andamento analogo a quelle rappresentate nel diagramma entropico

dv=0 DIAGRAMMA ENTALPICO dP=0 dT=0 C h x=1 -dx=0 x = 0 dT=0 s

Fig.3: Costruzione diagramma Entalpico (h-s).

Diagramma frigorifero

Il diagramma frigorifero riporta sulle ordinate il logaritmo della pressione e sulle ascisse l'entalpia specifica del fluido in oggetto. Il diagramma è denominato frigorifero in quanto è ampiamente impiegato nell'analisi dei cicli frigoriferi ove salti entalpici a determinate pressioni in gioco sono strettamente correlati con il lavoro ed il calore scambiati all'interno dei diversi elementi caratterizzanti una macchina frigorifera. Le linee del diagramma possono essere costruite per interpolazione di punti discreti ottenuti dagli altri diagrammi (entropico, Clapeyron e Mollier). All'interno della campana dei vapori saturi le isoterme sono anche isobare, ne consegue che sono rappresentate da linee orizzontali e il punto critico è al vertice della campana. Le stesse isoterme fuori della zona dei gas sono linee verticali in quanto coincidono con le isoentalpiche. Infine si può notare come le trasformazioni isoentropiche siano delle rette con inclinazione pari al volume specifico della sostanza. Infatti ricordando che:

ah OP s 1 V = P

si deduce che all'aumentare della densità della sostanza aumenta l'inclinazione della retta associata alla trasformazione isoentropica. SI riporta in figura 8 il diagramma rigori fero del Refrigerante R407a, oggi ancora ampiamente impiegato elle macchine frigorifere.9000 7000 R-410A t[°℃] 5000 0,008 0,008 0,010 0,013 4000 3000 50 50 'SE' 0,020 40 0,025 2000 £-30 30 =0,030 20 20 0,040 Pressione, kPa -10 10 0,060 900 0,000 700 1 4-10 -10 500 0,130 400 -20 -20 - 300 -30 -30 1 0,250 200 0,300 1-40 0,400 1 -- 50 -50 0.600 90 70 0 100 200 300 400 500 Entalpia, KJ/kg Volume specifico = m3/kg 0,100- Entropia = 1,40 kj/(kg K) -0,050 8- 8-82 0,200 0,500