Numeri Naturali N: Proprietà e Operazioni Aritmetiche di Base

Numeri Naturali

I numeri naturali sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, . . . L'insieme dei numeri naturali è indicato con la lettera N. Si ha cioè: N = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6,7, . . . }. L'insieme dei naturali privato dello zero è indicato con No . L'insieme dei numeri naturali può essere rappresentato su una semiretta orientata.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Se due numeri naturali a e b occupano la stessa posizione nella rappresentazione sulla semiretta si dice che sono uguali e si scrive a = b . Se il numero a precede il numero b si dice che a è minore di b , e si scrive a < b . Se il numero a segue il numero b si dice che a è maggiore di b , e si scrive a > b . Il simbolo ≥ si legge maggiore o uguale. Il simbolo ≤ si legge minore o uguale.

Simbologia e Significato

Proprietà dei Numeri Naturali

Ogni numero naturale, escluso lo zero, ha uno e un solo successivo. L'insieme dei numeri naturali è infinito. Il che vuol dire che: "Preso un qualunque numero naturale n, esiste sempre uno maggiore: il suo successivo". L'insieme dei numeri naturali è un insieme ordinato. Il che vuol dire che: "Dati due numeri naturali è sempre possibile stabilire se l'uno è minore, uguale o maggiore dell'altro". L'insieme dei numeri naturali è un insieme discreto. Il che vuol dire che: "Tra due numeri naturali n e p , non successivi, c'è un numero finito di numeri naturali".

Operazioni con i Numeri Naturali

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Proprietà dell'Addizione

L'addizione è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali. (La somma di due numeri naturali qualsiasi è sempre un numero naturale) Vx, yEN x +yEN 2+3 = 5 EN

Proprietà Commutativa dell'Addizione

Scambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. a+b=b+a 2+3 =3 + 2

Proprietà Associativa dell'Addizione

La somma di tre numeri non cambia se si associano diversamente gli addendi, lasciando invariato il loro ordine. (a + b) +c =a+ (b+c) (2+ 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

Elemento Neutro dell'Addizione

a+ 0 = 0 + a = a 3+0=0+3=3

Proprietà di Cancellazione dell'Addizione

a+b=a+c + b = c 3+n=3+5 ⇔ n =5

Proprietà della Moltiplicazione

La moltiplicazione è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali (ovvero il prodotto di due numeri naturali qualsiasi è sempre un numero naturale). Vx, yEN x . yEN 3 .2 = 6 EN

Proprietà Commutativa della Moltiplicazione

Scambiando l'ordine degli fattori il prodotto non cambia. a · b = b · a 2 · 3 = 3·2

Proprietà Associativa della Moltiplicazione

Il prodotto di tre numeri non cambia se si associano diversamente i fattori, lasciando invariato il loro ordine. (a · b) · c = a . (b . c) (2 · 3) · 5 = 2 . (3 . 5)

Elemento Neutro della Moltiplicazione

a · 1 = 1 · a = a 3 . 1 = 1 . 3 = 3

Proprietà Distributiva della Moltiplicazione rispetto all'Addizione

a sinistra a · (b + c) = a · b+a.c 2 . (5 + 3) = 2 . 5 + 2 . 3 a destra (a + b) · c = a · c +b.c (5 + 3) . 2 = 5 . 2 + 3 . 2

Proprietà Distributiva della Moltiplicazione rispetto alla Sottrazione

a sinistra a · (b - c) = a · b - a· c 2 . (5 - 3) = 2 . 5 - 2 . 3 a destra (a - b) . c = a · c - b . c (5 - 3) · 2 = 5 . 2 - 3 . 2

Legge dell'Annullamento del Prodotto

a · b = 0 se e solo se (a = 0 oppure b = 0)

Cancellazione nella Moltiplicazione

Se a . b= a . c e a #0 = b=c 3 . n = 3 .5 n =5 Matematica www.mimmocorrado.it

Proprietà della Sottrazione

La sottrazione non è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali. (la differenza di due numeri naturali qualsiasi non è sempre un numero naturale) Non è vero che Vx , y EN x -yEN 3 - 5 non è eseguibile in N

Non Commutatività della Sottrazione

Non è commutativa a - b # b-a 5-33-5

Non Associatività della Sottrazione

Non è associativa (a - b) - c # a -(b-c) (10-6) - 2 # 10 - (6-2)

Proprietà Invariantiva della Sottrazione

La differenza tra due numeri naturali non cambia se ad entrambi si aggiunge o si sottrae uno stesso numero (purché la sottrazione sia possibile in N) a - b = (a+x) - (b+x) a - b = (a-x) - (b-x) 5-3 = (5+2) - (3+2) 7 -4 = (7-2) -(4-2)

Proprietà della Divisione

Esempi di Divisione

La divisione non è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali. (la divisione di due numeri naturali qualsiasi non è sempre un numero naturale). Non è vero che Vx , y EN x: y EN 3: 5 non è eseguibile in N

Non Commutatività della Divisione

Non è commutativa a : b # b :a 4:2 #2 :4

Non Associatività della Divisione

Non è associativa (a : b) : c # a : (b:c) (12:6) : 2 # 12 : (6 :2)

Proprietà Distributiva della Divisione rispetto all'Addizione

a sinistra NO a : (b+c) #a:b+a:c 30: (3 + 2) = 30 : 3 + 30 : 2 a destra SI (a+b) : c =a :c+b:c (6 + 4) : 2 = 6 : 2 + 4 : 2

Proprietà Distributiva della Divisione rispetto alla Sottrazione

a sinistra NO a : (b - c) # a : b -a:c 24 : (6 - 4) = 24 : 6 - 24 : 4 a destra SI (a - b) : c = a : c -b :c (6 - 4) : 2 = 6 : 2 - 4 : 2

Proprietà Invariantiva della Divisione

Il quoziente di due numeri naturali non cambia se il dividendo e il divisore vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero (purché la divisione sia possibile in N) . a : b = (a · x) : (b·x) a : b = (a :x) : (b:x) 20 : 4 = (20 . 5) : (4 . 5) 20 : 4 = (20 : 2) : (4 : 2)

Divisione con il Numero Zero

La divisione in cui il dividendo è zero e il divisore è diverso da zero è uguale a zero. VnEN - {0} 0 : n=0 0:3= 0 perchè 0 . 3 = 0 La divisione in cui il divisore è zero e il dividendo è diverso da zero è impossibile. 3 : 0 impossibile perchè An EN / n . 0 = 3 La divisione in cui il divisore e il dividendo sono entrambi nulli è una forma indeterminata. 0 : 0 forma indeterminata Inf perchè Vn EN n . 0 = 0 Matematica www.mimmocorrado.it

Potenza

Dati due numeri naturali a e n, la potenza di base a ed esponente n è il prodotto di n fattori uguali ad a. In simboli: an = a · a · a · a · · · · · a . n volte Esempio: 24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16 .

Proprietà delle Potenze

Prodotto di Potenze di Uguale Base

ax . ay = axty 24 . 23 = 24+3

Quoziente di Potenze di Uguale Base

ax : ay = ax-y 27 : 23 = 27-3

Prodotto di Potenze di Uguale Esponente

ax . bx = (a . b)" 23 . 53 = (2 . 5)3

Quoziente di Potenze di Uguale Esponente

ax : bx = (a :b)* 65 : 35 : (6 : 3)5

Potenza di una Potenza

(aX)y = ax.y (23)5 = 23.5

Casi Particolari delle Potenze

a1 = a 3 = 3 Va # 0 aº = 1 3º = 1 Infatti 1 = a5 : a5 = a5-5 = aº VnEN - {0} 0n = 0 03 = 0 L'espressione 0º non è definita.

Tabellina Pitagorica

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Espressioni Numeriche

Un'espressione numerica è una scrittura in cui compaiono numeri naturali legati fra loro dalle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza. Esempio {[(2 + 4 . 8): 17 + (48 + 3 . 25: 23) - (35 - 24:3) - 11] + (24 - 2 . 23) - 2} : 10 Per risolvere un'espressione numerica occorre rispettare il seguente ordine di svolgimento delle operazioni:

1. Se non ci sono parentesi occorre:
   1. applicare le proprietà delle potenze
   2. calcolare le potenze
   3. eseguire moltiplicazioni e divisioni nell'ordine in cui compaiono
   4. eseguire addizioni e sottrazioni nell'ordine in cui compaiono
2. Se ci sono parentesi occorre effettuare i calcoli nelle parentesi più interne (generalmente quelle tonde) e poi le operazioni nelle parentesi più esterne (generalmente quadre e graffe) rispettando l'ordine delle operazioni visto al punto 1.

Esempio di Espressione Numerica

Esempio {[(2 + 4 . 8) : 17 + (48 + 3 . 25: 23) - (35 - 24:3) - 11] + (24 - 2 -23) - 2} : 10 = = {[(2 + 32) : 17 + (48 +3 .25-3) - (35 -8) - 11] + (24 - 21+3) - 2} : 10 = = {[34 : 17+(48+3 .4) - 27 -11] + (24 -16) - 2} : 10 = = {[34 : 17+(48+12) -27-11] +8-2} : 10 = = {[34 : 17 + 60-27-11] +8-2} : 10 = = {[2 + 60-27-11] +8-2} : 10 = = {[62-27- 11] + 8 - 2} : 10 = = {[35-11] + 8-2} : 10 = = {24+8-2} : 10 = = {32 - 2} : 10 = = 30 : 10 = = 3 . è un errore fare 2 + 60 - 27 - 11 = = 62 - 16 = 46 anziché 24 Matematica www.mimmocorrado.it

Multipli e Divisori

Un numero naturale è multiplo di un altro se la divisione del primo per il secondo ha come resto zero. Per ottenere gli infiniti multipli di un numero naturale diverso da zero è sufficiente moltiplicare tale numero per tutti gli altri numeri naturali: 0, 1, 2, . . . Zero ha come unico multiplo se stesso. Un numero naturale diverso da zero è divisore di un altro numero naturale se la divisione fra quest'ultimo e il numero dato ha come resto zero. Esempio 12 è multiplo di 4. 4 è divisore di 12.

Criteri di Divisibilità

Un numero è divisibile per 2 se termina con zero o con cifra pari. Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3. Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4. Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5. Un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3. Un numero con più di due cifre è divisibile per 7 se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7. Esempio 95676 è divisibile per 7 se lo è il numero 9567 - 2 · 6 = 9555 ; 9555 è divisibile per 7 se lo è il numero 955 - 2 . 5 = 945 ; 945 è divisibile per 7 se lo è il numero 94 - 2 . 5 = 84 ; 84 è divisibile per 7, dunque anche il numero 95676 è divisibile per 7 . Un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se è divisibile per 8 il numero formato dalle sue ultime 3 cifre. Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9 . Un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0 . Un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa in valore assoluto), fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11 . Esempio 625834 è divisibile per 11 in quanto (2 + 8 + 4) - (6 + 5 + 3) = 14 - 14 = 0. Un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4 . Un numero con più di due cifre è divisibile per 13 se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13 o un multiplo di 13 . Esempio 7306 è divisibile per 13 se lo è il numero 730 + 4 · 6 = 754 ; 754 è divisibile per 13 in quanto 75 + 4 · 4 = 91 è multiplo di 13 . Un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza (presa in valore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17. Esempio 2584 è divisibile per 17 se lo è il numero 258 - 5 * 4 = 238 ; 238 è divisibile per 17 se lo è il numero 23 - 5 * 8 = 17 . Matematica www.mimmocorrado.it