Diplomado en Matemática: Conceptos Fundamentales de Números Reales

DIPLOMADO EN MATEMÁTICA

LA UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA LES DA LA CORDIAL BIENVENIDA A ESTE DIPLOMADOCONJUNTOS NUMERICOS

Número reales

Las principales características de los números reales.

• Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3,4 ...
• Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios vacíos, es decir, cada conjunto que dispone de un límite superior tiene un límite más pequeño.
• Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el lado negativo. Por eso su dominio está entre menos infinito y más infinito.
• Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión decimal infinita.

Clasificación de los números reales

• Números naturales. Son los números iguales o mayores que uno no decimales. El conjunto de los números naturales no tiene en cuenta el cero.
• Números enteros. Son los números positivos y negativos no decimales, incluyendo el cero. Es decir, los números naturales incluyendo los números negativos y el cero.
• Números racionales. Los que se pueden representar como el cociente de dos enteros con denominador diferente a cero. Son las fracciones que pueden crearse utilizando números naturales y enteros.
• Números irracionales. Aquellos que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador distinto a cero. Se trata de números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta, ni de manera periódica, siendo el número pi un ejemplo de este tipo de números.

Operaciones de los números reales

Las distintas operaciones de los números reales cumplen con una serie de propiedades:

• Propiedad Interna
• Cuando se suman dos números reales el resultado que se obtiene es otro numero real. Lo mismo ocurre con la multiplicación de números reales, que también da como resultado otro número real.

Propiedad Asociativa

El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no influye en el resultado de una suma. En el caso de una multiplicación tampoco importa la asociación pues el resultado será siempre el mismo

• a + (b + c) = (a + b) + c
• a x (b x c) = (a xb) xc
• Propiedad Conmutativa
• Tanto la suma como la multiplicación de números reales cumplen con la propiedad conmutativa que indica que el orden no varía el resultado.
• a + b = b + a
• ax b = bxa

Elemento neutro y elemento opuesto

• En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues cualquier número que se sume con el 0 va a dar como resultado el mismo número.
• a + 0 = a
• Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene cero se dice que esos números son opuestos (e - e = 0).
• En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro en los números reales es el 1, ya que cualquier número real que se multiplique por 1 da lugar al mismo número.
• ax1 = a
• 0.453 × 1 = 0.453
• En la multiplicación el inverso de un número es aquel que al multiplicarlo, da como resultado la unidad:
• a x 1/a = 1
• 3.4 x 1/3.4 = 1

Propiedad Distributiva

• El producto de un número real por una suma de números reales es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
• a x (b + c) = axb+axc
• Al proceso inverso de la propiedad distributiva se le conoce como sacar el factor común.
• a x b + ax c = ax (b+c)
• La gran mayoría de las situaciones físicas que tienen lugar se modelan con números reales por lo que son de suma importancia. El conjunto de los números reales está formado por otros números como los naturales, enteros, racionales e irracionales. Los números reales son infinitos y siguen un orden, pudiendo ser decimales y negativos.
• Es habitual que utilicemos los números naturales en el día a día y que sepamos mucho más de ellos de lo que pensamos, porque forman parte importante en nuestra sociedad para organizar, contar y realizar cálculos.

Números naturales

• Los números naturales son los primeros en aparecer en nuestra historia y que se utilizaban para ordenar y contar de manera simple. En la escuela lo primero que aprenden los niños en relación con las matemáticas es a contar; y para ello se utilizan los números naturales, pues es sencillo comprender cómo se usan para contar y organizar objetos, animales y cosas.
• El conjunto de los números naturales es el más próximo a la realidad humana empleando para operaciones básicas del día a día y para contar.
• Veamos qué son los números naturales y qué operaciones pueden realizarse con ellos.

Qué son los números naturales

• El conjunto de los números naturales se denota por N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }. El primer número natural es el uno y la progresión sigue de forma aritmética sumando uno a cada nuevo valor. Por esta característica los números naturales son ideales para contar y enumerar.
• Hay que tener en cuenta que el ordenamiento progresivo de la serie de números naturales es infinito.
• El cero no pertenece a los números naturales, así como tampoco pertenecen los números negativos como el -1, -2. - 3, ... El cero, junto a los números negativos, y a los números naturales, forman el conjunto de los números enteros.
• En algunas áreas de la ciencia se define el cero entre los números naturales como puede ser en la teoría de números o la divisibilidad. Al conjunto de los números naturales donde el cero pertenece a este conjunto se le denomina conjunto de los números cardinales.

Características de los números naturales

Las principales características que definen el conjunto de los números naturales son:

• Los números naturales siguen un orden creciente.
• La cantidad de números naturales que existe entre dos números naturales es finita.
• Siempre existe un número natural mayor (porque la serie es infinitas).
• Entre un número natural y el siguiente en su serie, no existe ningún número natural.
• El uno es el primer número natural.

Operaciones con números enteros

En el conjunto de los números naturales se pueden definir distintas operaciones como la suma (adición), la resta (sustracción), la división y la multiplicación. También se pueden establecer relaciones de orden como son mayor que, igual que, o menor que.

• La suma y la multiplicación dan siempre como resultado un número natural por lo que se consideran como sus operaciones matemáticas.

Operaciones de suma y resta

La suma es una operación que siempre va a dar como resultado un número natural, por lo tanto, es una operación propia de este tipo de números. En una suma de números naturales la adición de los sumandos da como resultado una suma que también pertenece al conjunto de los números naturales.

Por el contrario, la resta puede dar como resultado un número que no sea natural. Si por ejemplo, a 2 le restamos 4, obtenemos un número negativo, el -2. Este número negativo no pertenece al conjunto de los números naturales. Para poder considerar la operación resta con resultado de números naturales se considera un conjunto Z de números enteros que se pueden restar entre ellos.

• Operaciones de división y multiplicación
• Al multiplicar números naturales se obtiene en todos los casos otro número natural. Sin embargo, en la división de números naturales no sucede lo mismo, ya que el resultado puede dar números decimales.

Relaciones de orden

Los números naturales sirven para establecer relaciones de orden del tipo mayor que, menor que o igual que.

Tanto la suma como la multiplicación de números naturales son operaciones que cumplen las propiedades conmutativa y asociativa. Es decir, el orden de los números naturales en una suma o multiplicación no alteran el producto obtenido (a + b = b + a y a x b = b x a).

• También se cumple que para sumar o multiplicar más de dos números naturales, no es necesario agruparlos de una forma determinada; Por ejemplo, (a + b) + c = a + (b + c) = a +b + c.

En las matemáticas y la ciencia se utilizan los números naturales para tres propósitos principales

• escribir la posición de un elemento en una sucesión o secuencia.
• Para determinar el tamaño de un conjunto finito.
• Construir los números enteros (los números naturales, más los números negativos, más el cero).
• El conjunto de los números naturales comienza con el uno y sigue una progresión aritmética donde a cada nuevo valor se le suma uno. Los números naturales se utilizan en el día a día para contar y enumerar cosas, así como para cálculos simples relacionados.
• En las matemáticas, los números naturales permiten definir otros números, especificar el tamaño de un conjunto finito y describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada.

Los números naturales se han utilizado a lo largo de la historia para contar y organizar, pero no fue hasta el siglo XIX cuando se definieron de forma precisa.

• En las matemáticas, los números naturales permiten definir otros números, especificar el tamaño de un conjunto finito y describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada.
• Los números naturales se han utilizado a lo largo de la historia para contar y organizar, pero no fue hasta el siglo XIX cuando se definieron de forma precisa.

Ejercicios

a. (-2)-(+7)-(-12)+(+5) b. -10-(+2)+(-5)+(+4)-(-20) c. +15-(-15) - (+15) + (-15) a. (-2)(+7)(-12)(+5) b. -10(+2)(-5) (+4) (-20) c. [+15-(-15)] (+15) + (-15) d. [+15-(-15)] [(+15) + (-15)] a. (-1)20 b. (-1) 33 b. (-3)5 (+2)4 [(-4)2+(-2)] (-3)3 (+7)2 a. (-4)2+ (-2) a. (-2) 1+2 + 2] b. [2 +3 +2] [1 + 3 + 2] c. (-3) |2 + 2] [2 + 2]