Limiti di funzioni di una variabile, Università eCampus

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS

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CAP 10 10 - LIMITI di funzioni di 1 variabile c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TA.+H

Introduzione al Concetto di Limite

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Introduciamo con questa lezione quello che forse è il concetto più importante ed utilizzato in tutti i rami dell'analisi, quello di limite. In termini qualitativi, quando si parla di limite, ci si chiede a quale valore tenda la variabile dipendente quando la variabile indipendente x tende ad un punto di accumulazione, al finito o all'infinito, del dominio della funzione stessa.

Abbiamo già accennato precedentemente, studiando nel dettaglio la funzione esponenziale, la 'necessità' di andare ad esplorare quali valori assuma la funzione sempre più vicino a valori di x ove non è definita. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TA.+H

Studio del Limite e Paradosso di Zenone

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Abbiamo quindi 'intuito' ( come Zenone nel paradosso della tartaruga e del piè veloce Achille) che abbiamo un potente strumento per studiare aree di piano altrimenti 'off limits'.

Diremo che stiamo studiando il limite per la funzione (cioè che valore assume y) per x che tende a ...

In matematica sarebbe una eresia dire 'limite uguale a qualcosa perché in quel punto la funzione non esiste . c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TA.+H

Definizione Formale di Limite

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Sia una funzione f (x) definita in un insieme X f : X -> R e sia Xo un punto accumulazione per X Si scrive lim f(x) =l x->x0 Limite per x che tende ad Xo di f(x) uguale ad elle.

Si possono incontrare diversi tipi di limiti e per ognuno daremo la corretta definizione formale c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TA.+H

Tipi di Limiti

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1. limite di f(x) per x che tende a un valore finito che da un risultato finito; lim f(x) = c.
2. limite di f(x) per x che tende a un valore finito che da un risultato infinito; lim f(x) = ±00
3. limite di f(x) per x che tende a infinito che da un risultato finito; lim f(x) = c
4. limite di f(x) per x che tende a infinito che da un risultato infinito. lim f(x) = ±00 1→±o

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Limite Finito per X tendente a Valore Finito

Definizione Formale

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10 - 1 LIMITE FINITO PER X->VALORE FINITO - 4 - × Diamo la definizione formale spiegandola poi nel dettaglio c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TA.+H

Spiegazione della Definizione di Limite

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Prendiamo una funzione f : R -> R. y = f(x) e un punto To. Diciamo che per x tendente a To la funzione f(x) tende al valore c, e scriviamo lim f(x) = c se per ogni valore e > 0) esiste un valore d(E) > 0, che dipende dall' s precedentemente scelto, tale che ogni volta che prendo 0 < x - 20|< 8 risulta che |f(x) -c| <= In simboli lim f(x) = c se Ve > 0, 38(e) > 0 tale che se |x - x0] < 8 allora risulta che |f(x) -c| <€ c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TA.+H

Analisi degli Infinitesimi nella Definizione

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Analizziamo pezzo per pezzo la definizione formale. Si hanno due infinitesimi , ε e O , il primo opera con l'incognita indipendente x e il secondo di conseguenza opera sulla variabile dipendente y.

8>0 per qualsivoglia & si vada a scegliere deve essere positivo e piccolo a piacere, cioè per quanto piccolo si possa immaginarlo , lo si deve rimpicciolire ancora e ancora .....: è un infinitesimo.

E (Ricordate il paradosso di Zenone che calcolava la distanza tra Achille che arranca dietro alla tartaruga ma in teoria la distanza che li separa può sempre essere divisa per due? Diventa appunto un infinitesimo ma non si azzera mai) c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TA.+H

Relazione tra Delta ed Epsilon

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38(€)>0 ... tale.che Ad ogni & deve essere associato un 8 sempre maggiore di zero ma funzione della scelta di Etale che ..... Questo significa 8(€) .

8 , a differenza di & , non può essere scelto a piacere. E' funzione di & , come d'altra parte tutte le incognite y sono funzioni della scelta di x. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TA.+H

Intervallo di Xo

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Se x-x < allora ... Sappiamo che il modulo si sviluppa come segue V x 0 Quindi descrive un intervallo di Xo che comprende tutti i punti che gli distano, sia a destra che a sinistra, meno di 0 c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TA.+H

Relazione tra f(x) e il Limite c

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allora f(x)-c<& dove C è il limite.

Quindi questa relazione ci dice che , sempre ricordando il significato del modulo, c-&<f(x)<c+& cioè avremo una ordinata per f(x) che dista da c meno di c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TA.+H

Rappresentazione Grafica della Definizione di Limite

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I 4 passaggi di spiegazione precedente si possono ben riassumere osservando il grafico seguente:

c +8 y=f(x) c+8 C c-8 0,-€ x0 -S Xo xo + 8 c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TA.+H

Comprensione del Limite tramite il Grafico

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Appoggiandoci al grafico la definizione è sicuramente più comprensibile. La funzione si muove intorno al punto Xo, in un rettangolo che ha: - due lati dati dall'intervallo determinato intorno al valore limite C da & - gli altri due lati dati dall'intervallo conseguente intorno al valore Xo e di ampiezza Riducendo sempre di più & , si riduce anche l'intervallo che contiene Xo, e quindi il rettangolo intorno alla funzione f(X0). c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TA.+H

Andamento al Limite e Rettangolo Intorno al Valore Limite

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L'andamento al limite consente riducendo sempre di più E di restringere sempre di più il rettangolo intorno al valore limite c, cioè , in generale, di avvicinarci sempre di più all'andamento della funzione in Xo. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TA.+H

Approfondimento: Limite Finito e Continuità

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Attività 2 - Approfondimento Abbiamo esaminato il caso di limite finito per x tendente ad un valore finito. Questo è un caso particolare di limite. In questo caso nel punto Xo in effetti la funzione è CONTINUA. Approfondiremo il concetto basilare di continuità nelle prossime lezioni. Per ora anticipiamo che una funzione continua in un punto ha proprio la caratteristica di avere limite nel punto che coincide con il valore che la funzione assume nel punto stesso. E' ovvio che in questo caso , per sapere cosa succede alla funzione nel punto, non occorrerebbe scomodare il limite. Basta sostituire Xo nella funzione stessa. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TA