Geometria delle masse: baricentro, momenti statici e d'inerzia per Architettura

GEOMETRIA DELLE MASSE

Dispensa ad uso degli studenti del corso C di Statica corso di laurea in Architettura A.A. 2015-2016

Avvertenza: La presente dispensa serve di supporto agli studenti per l'individuazione delle parti di programma essenziali a sostenere l'esame. È necessario l'uso parallelo di testi già riportati nella bibliografia generale del corso.

BARICENTRO E MOMENTI STATICI

Definizioni di baricentro

Dato un sistema di masse concentrate (punti materiali) complanari, definiamo un versore r ortogonale al piano ed associamo ad ogni massa mi, nel punto Pi, un vettore Vi di modulo mi e versore r. Si ottiene un sistema di vettori paralleli, ovvero un sistema di vettori ad invariante scalare nullo. L'asse centrale di questo sistema di vettori, anch'esso di versore r, è quindi caratterizzato dal fatto che il momento risultante dei vettori rispetto a qualsiasi polo appartenente ad esso, è uguale a zero. Il baricentro del sistema di masse è la traccia dell'asse centrale sul piano delle masse. Scriviamo quindi la definizione di baricentro: deve essere nullo il momento risultante M del sistema di vettori rispetto al baricentro G.

M(G) =>(P; - G) A Vi =0 i

Ovvero, assunto un sistema di riferimento ortogonale con assi x e y sul piano delle masse, posto che Pi (Xi, yi, 0) e G (XG, YG, 0):

j 0 k i E(x ;- XG) (y ;- yG) 0 =i_ m(y ;- yG)-j_ m(x ;- xG) =0 i i 0 i i

Questa equazione vettoriale diviene le due equazioni scalari riportate sotto:

Em yi-YG Em = 0 i Em xi -xG m = 0 i i i

Dalle quali si ricava la definizione di baricentro di un sistema di masse concentrate:

Im x, XG= m i i y G Em y; i Em i

1Si definisce momento statico del sistema di masse rispetto alla retta x la quantità:

Sx = Em yi i

Equivalentemente, per la retta y:

Sy = Em x; i

Quindi le coordinate del baricentro si possono esprimere in termini di momenti statici:

XG Sy Mtot y G M. S x Itot

Proprietà del baricentro

• Il baricentro è unico; infatti l'asse centrale di un sistema di vettori è unico.
• Il baricentro di due masse concentrate sta sulla retta che le congiunge.
• Il baricentro di due masse concentrate si colloca rispetto ad esse ad una distanza inversamente proporzionale alle messe stesse.
• Vale la proprietà "associativa", ovvero si possono valutare i baricentri per sottosistemi.
• Se esiste un asse di simmetria per il sistema di masse (simmetria ortogonale od obliqua) il baricentro sta su tale asse.

Come conseguenza del teorema di Varignon, la massa totale di un sistema di masse, concentrata nel baricentro del sistema, produce il momento statico del sistema stesso, rispetto a qualsiasi retta. Ovvero, se una retta passa per il baricentro del sistema di masse, allora il momento statico del sistema rispetto a quella retta è nullo.

Sy = XG . M tot Sx = yG . M tot

Quanto definito sopra si può estendere a sistemi di masse distribuite su superfici piane.

2y m_ m K Y2 m3 μ ΔΑ. y1 y 3 V -> yi V x

Basterà sostituire alla sommatoria il segno di integrale. Ponendo per la densità di massa u(x,y) il valore costante unitario, si avrà:

S =lim 100 Zy; dA ;= fy dA i A

Il momento statico riportato sopra si misura in unità di lunghezza alla terza potenza. Si dice anche momento del primo ordine, poiché la distanza dalla retta compare elevata alla prima potenza.

Applicazioni dei momenti statici

> Determinare il momento statico rispetto alle rette x ed y del sistema dei seguenti punti dotati di massa:

• P1 (-1; 1) di massa m
• P2 (3; 3) di massa 3m
• P3 (4; - 1) di massa 2m

Svolgimento del calcolo del momento statico

Si può procedere direttamente a calcolare il momento statico oppure si può calcolare il baricentro e poi sostituire l'intera massa nel baricentro. In questo caso sarà:

XG = Sy/Emi= [m (-1) + 3m (3) + 2m (4)]/6m = 8/3 yG = Sy/Emi = [m (1) + 3m (3) - 2m (1)]/6m = 4/3

Quindi:

Sx = 6m 4/3 = 8m

y 0 m y 4 4 x

3Sy = 6m 8/3 = 16m

> Esercizi 3 e 4 a pag. 11 e 12 del libro di Bigoni, Di Tommaso, Gei, Laudiero, Zaccaria, "Geometria delle masse", Ed. Progetto Leonardo, Bologna.

Determinazione del baricentro di un triangolo rettangolo

Svolgimento per il baricentro del triangolo

Per l'ascissa del baricentro vale la seguente formula:

Sy XG= A

Calcoliamo quindi il momento statico Sy:

Sy = [x dA A

Secondo lo schema riportato nel disegno, dA = y(x) dx. La funzione y(x) è l'equazione di una retta con coefficiente angolare -b/a e termine noto b:

y A b y(x) d A VV x a x

y = - (b/a) x +b dA = dx [-(b/a) x +b] a S,=Jx·(b-bx)dx=ba2 6 0

4XG= Sv _ ba2 2 a 6 ba 3

Allo stesso modo si procede per valutare yG.

MOMENTI DEL SECONDO ORDINE

Definizioni dei momenti del secondo ordine

Momento di inerzia assiale

Sia dato un sistema di masse concentrate giacenti su di un piano, ed una retta x; assegniamo una seconda retta (ortogonale alla prima) per la valutazione delle distanze dalla prima. Si definisce momento di inerzia del sistema rispetto alla retta x:

1x= Em y.2 Equivalentemente: ly = Em, x2 i

Nella definizione di momento di inerzia assiale la coordinata delle masse compare alla seconda potenza; per questo motivo Ix è rappresentato da un numero sempre positivo. Si chiama raggio giratore di inerzia il numero:

Px = Vi I VM x

e rappresenta la distanza alla quale è necessario concentrare la massa totale del sistema per ottenere il valore di momento di inerzia assiale. Per distribuzioni continue e di densità di massa unitaria si ha:

1x = [u.dA . y2 = fy2 dA A ly = [M.dA . x2 = [x2 dA A A A

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Momento di inerzia polare

Si dice momento di inerzia polare rispetto al polo O(0;0) la quantità:

( = Em.d2 =[m -x2+y,2) =Emx.2 +Emy2 =15 +1 Dove d rappresenta la distanza delle masse dal polo, punto di intersezione delle rette x e y. Per sistemi di masse distribuite di densità unitaria:

Ip = [r2 dA A

Dove r è il vettore distanza del punto generico dal polo. Anche Ip è una quantità sempre positiva.

Momento centrifugo

Si dice momento centrifugo del sistema di masse rispetto alle rette x e y la quantità:

Ixy = Em x; yi i

Per sistemi di masse distribuite di densità unitaria si ha:

Ixy = [x y dA A

Proprietà del momento centrifugo

Come si può intuire, il momento centrifugo può assumere valori tanto positivi che negativi, ad assume il valore nullo se una delle due rette rappresenta un asse di simmetria per il sistema di masse.

Teoremi di trasporto

Vogliamo costruire la legge che associa al momento di inerzia rispetto alla retta x, il momento di inerzia rispetto alla retta x0 baricentrica e parallela alla X. Scriviamo il momento di inerzia rispetto alla retta x ed esprimiamo l'ordinata yi rispetto al nuovo riferimento.

1x= [my2 = [m(yoi+yG)2 = Emyon2 +yG Imyoi+yGEm i

6Il primo termine rappresenta il momento di inerzia rispetto alla retta Xo; il secondo termine è uguale a zero, perché è il prodotto della yG per il momento statico rispetto alla retta Xo (baricentrica); il terzo termine è il termine di trasporto.

lx = Ixo + YG2 Mtot (*)

y +™1 + mi < G m X m 4 + + yi y0 > x

Osservazione sui momenti di inerzia

Tra tutte le rette parallele, il momento di inerzia è minimo rispetto a quella baricentrica; infatti al momento di inerzia baricentrico si aggiunge una quantità sempre positiva. Il teorema può essere formulato anche per altre grandezze inerziali. Sostituendo nella (*) Ix = M px2 , si ottiene ad esempio:

Px2 = Px02 + yG2

Usando il metodo già impiegato per dimostrare il primo teorema del trasporto, scriviamo Ixy in funzione delle coordinate rispetto al sistema baricentrico:

lxy = Emx,y, = Em,(x): +X0).(yoi+yG)=Ixoyo +M.yo' i

7 X yoi

dove i termini misti si annullano perché contengono i momenti statici Sx0 e Sy0. Scriviamo infine Ip in funzione di Ix e Iy ed esprimiamo questi ultimi tramite Ix0 e Iy0:

p =\x +ly = lxo +lyo +M.(y.2 +X62)=100 + M.r.2

In sintesi le proprietà inerziali di un sistema di masse in un assegnato sistema di riferimento possono essere rappresentate mediante il tensore d'inerzia:

J I. -1 x xy - I xy y

la cui traccia è appunto il momento d'inerzia polare.

Applicazioni dei momenti del secondo ordine

• Esercizio 9 a pag. 26 del libro di Bigoni, Di Tommaso, Gei, Laudiero, Zaccaria, "Geometria delle masse", Ed. Progetto Leonardo, Bologna.
• Esercizio 13 a pag. 32 del libro di cui al punto precedente.

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LEGGI DI VARIAZIONE DEI MOMENTI DEL SECONDO ORDINE AL RUOTARE DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO

Una volta noti i momenti di inerzia assiali e centrifugo di un dato sistema di masse rispetto ad un assegnato sistema di riferimento, ci si chiede se sia possibile valutare in modo diretto i valori dei momenti del secondo ordine rispetto ad un sistema di riferimento avente la stessa origine ma che sia orientato diversamente. Affrontiamo questo problema in relazione ad un sistema di masse discreto.

y1 y X; m. 1 xt i i y, x1 8 1 x

Supponiamo che il nuovo sistema di riferimento x1 y1 sia ruotato di un angolo positivo a rispetto al vecchio. Ricordiamo che le nuove coordinate del punto si esprimono rispetto alle vecchie come segue:

x1 = X; cosa + y; sena y} =- x; sen a + y; cosa

ovvero

L x i ył 1 = COS & - sen & sen & cos a y i X¡

Scriviamo adesso la definizione di momento di inerzia assiale e centrifugo per un sistema discreto di masse.

9= [m(-x; sena+y, cosa)2 =[mx, sen2 a+ Emy, cos2 a-2· Emx,y, sen a cosa = i = ly sen2 x+Ix cos2 x-2 Ixy sen a cosa ly = Em(X; cosa + y; sena)2 = >mx,2 cos2 a + _my,2sen2 a +2. Emx;y; sena cosa = i i =ly cos2 a +1x sen2 a + 2 lxy sena cosa Ixy1 = Em(-x; sena + y; cosa)(x; cosa + y; sena) =- >mx, sena cosa + i i i +_my,2 sena cosa - Emx y; sen2 a + Emx,y; cos2 a = =(lx-ly) sena cosa + lxy (cos2 a - sen2 a)

i i

Le formule ora scritte rappresentano le leggi di variazione, quadratiche nei coseni direttori di a, dei momenti del secondo ordine al variare dell'orientamento del sistema di riferimento. È evidente che il momento di inerzia polare, essendo definito come prodotto delle masse per il quadrato del modulo del vettore posizione rispetto all'origine del sistema di riferimento, non varia al variare di questo (traccia della matrice di inerzia). Se voglio valutare l'esistenza di un sistema di riferimento privilegiato, tra tutti quelli che hanno la stessa origine, rispetto al quale i momenti di inerzia attingono valori massimi o minimi, devo derivare le leggi di variazione ora ottenuta rispetto alla variabile a ed eguagliare a zero tale derivata (condizione di stazionarietà). Ad esempio per Ix si ha:

×1 _ d [y sen2 a +ly cos2 a - 2 lyy sena cosa) = 2 ly sena cosa - 2 lysena cosa + da da +2 lxy (sen2 a-cos2 a)

Questa espressione è identica alla legge di variazione del momento centrifugo che abbiamo scritto sopra, a meno di un fattore -2. Se si calcola la derivata di ly rispetto alla variabile a, si otterrà lo stesso risultato, ma di segno opposto. Possiamo concludere che i momenti di inerzia assiali attingono valori estremanti per quei valori di a che annullano il momento centrifugo. Se ricordiamo che la somma dei due momenti di inerzia assiali rispetto ad assi ortogonali rappresenta il momento di inerzia polare, che non varia al ruotare del sistema di riferimento, è evidente che quando l'angolo a individua un sistema di riferimento rispetto al quale il momento centrifugo è nullo, allora i due momenti di inerzia assiali rispetto agli assi ortogonali saranno uno massimo e l'altro minimo.

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