Meccanica del punto e dei corpi estesi, Dipartimento Matfis

Meccanica del punto e dei corpi estesi

G. Salamanna, Dipartimento MatFis giuseppe.salamanna@uniroma3.it stanza 39, PT, via della vasca navale, 84

Tuesday, 10 November 20 1Meccanica

• La meccanica descrive e spiega il moto dei corpi, liberi o sottoposti ad una sollecitazione = forza
• Si compone di due "branche": cinematica e dinamica cinematica: come si muove? dinamica: perche' si muove?
• descrizione del moto con il linguaggio matematico
• grandezze: posizione, tempo, velocita', accelerazione
• sistema di riferimento
• relazione tra variazione del moto e forze applicate
• principi della dinamica
• sistemi di riferimento inerziali
• grandezze: forza applicata, attriti

Tuesday, 10 November 20 2Cinematica

cinematica Parte della meccanica, talvolta detta anche geometria del movimento, in cui si analizzano i movimenti indipendentemente dalle cause che li provocano e mantengono. A seconda che il corpo in movimento si rappresenti come punto materiale, come sistema rigido, come sistema deformabile ecc., si ha una c. del punto, dei sistemi rigidi, dei sistemi deformabili ecc. Per la c. del punto e dei sistemi rigidi -> moto. https://www.treccani.it/enciclopedia/cinematica/ Z Traiettoria della particella 2 r O y 1 / y x La posizione della particella che segue una traiettoria è individuata dal vettore posizione r, che ha componenti lungo gli assi x, y e z. Sono messi in evidenza anche i tre versori cartesiani i, j e k. (Da Resnick, Halliday, Krane)

• Relazioni matematiche volte a specificare la posizione del corpo in funzione del tempo
• La posizione non e' assoluta, ma sempre relativa ad un punto O => sistema di riferimento
• In un mondo 3-D la posizione e' data, in ogni istante t, dal vettore r = (x, y, z)
• Cinematica: come varia r(t) (legge oraria) NB: r(t) = costante e' possibile
• Vuol dire che il corpo e' in quiete rispetto ad O

Tuesday, 10 November 20 3 j /Sempre 3-D? 0 Esempio: se vogliamo informare qualcuno su quanti siamo alti, basta dire: "sono alto 180 cm", non serve aggiungere altro, poiché l'altezza è una grandezza scalare. Se invece vogliamo informarlo sulla nostra posizione nello spazio un numero potrebbe non essere sufficiente, poiché la posizione è un VETTORE O Di quanti numeri (o COMPONENTI) è composto un vettore ? Dipende dalla dimensione dello spazio in cui si muove il punto Un vettore è sempre definito rispetto ad un sistema di riferimento specifico, ovvero un sistema di assi cartesiani una dimensione x 2 dimensioni 3 dimensioni K 1 3 Jackson & GOVE Washington St + - Embarcadero Hyatı R Center San Fra -W One Merket Embarcadero 1 Halleck St BART I Federal Tadich Grill ba 5 Reserve Bank - arage Cansome S. Market St deale Se Main St Nanigomary svenson St Fremont St Boake St. Fowsom St x el:20ib Gpog15 - Map data @2010 Googlei. Tepre of bea Report & x https://people.unica.it/alessiofilippetti/files/2018/10/Vettori-e-Cinematica.pdf

• Si puo' sempre pensare ad una grandezza scalare come ad una singola componente di un vettore
• ad es. altezza = 180 cm (omettendo larghezza = 0 cm, profondita' = 0 cm)

Tuesday, 10 November 20 4 Z 1000 11 St BART The Embarcadero ASistemi di riferimento

• Tutti i sistemi di riferimento sono equivalenti per la descrizione della cinematica
• La posizione varia col tempo in maniera diversa se espressa rispetto a due punti di riferimento O ed O' in quiete tra loro
• Quello che non cambia e' lo spostamento, cioe' la variazione della posizione col tempo y -> S è il vettore che sommato -> -> ar1 dà ľ2 -> B S A -> -> > S = 12 - r1. -> -> r1 r2 ’ r2 = n' - ri' rı O' O

Tuesday, 10 November 20 5 X = posizione finale - posizione iniziale ’Posizione nel tempo: la velocita'

• Dato un sistema di riferimento, quanto o meno repentina e' la variazione della posizione rispetto all'intervallo di tempo considerato e' dato dalla velocita' Si consideri un moto unidimensionale, nel quale un punto P è in posizione x = 0 all'istante iniziale t = 0, e raggiunge x =5 m all'istante t = 2 s P 0 At = 2s > 5 P x(m) v In un intervallo di tempo 4t =2 s il corpo ha effettuato uno spostamento 4x =5 m Il segno positivo dello spostamento dice che è stato realizzato nel verso concorde alla freccia. La direzione è quella della retta v Definiamo velocità all'istante t=0 il rapporto tra lo spazio percorso ed il tempo impiegato V= At 5m 2s nel S.I. la velocità si misura in metri al secondo (m/s) v = =2.5 -= 2.5×3600x S m 10-3 Km h = 9 Km h

Tuesday, 10 November 20 https://people.unica.it/alessiofilippetti/files/2018/10/Vettori-e-Cinematica.pdf 6Velocita' e moto rettilineo uniforme

• https://www.geogebra.org/m/abfgy/vi
• Moto rettilineo uniforme: il corpo si muove su una retta con velocita' uniforme = costante nel tempo
• La velocita' e' un vettore, con direzione, verso e modulo v=(Vx,Vy)= (AY, Ay At' At t(s) x(m) Vx(m/s) y(m) VY(m/s) 0 0 100 5 250 50 200 20 10 500 50 300 20 15 750 50 400 20 Vx = 50 m/s = ?? km/h? Vy = 20 m/s = ?? km/h? VTOT = ?? m/s = ?? km/h? 700 600 500 P3 400 P2 300 P1 200 PO 1000 -600 -500 -400 300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 -100 f -200 -300 >

Tuesday, 10 November 20 7LA COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ Un corpo soggetto a due movimenti simultanei, il primo con velocità vị e il secondo con velocità v2, ha una velocità complessiva Vtot data dalla somma vettoriale di v1 e V2: Viat = V1 + V2 A Una ragazza in canoa rema in di- rezione perpendicolare alle rive di un fiume con velocità v1. Se il fiume è fermo, come tra gli argini di una diga, la canoa si trova sem- pre in linea con l'albero. VI B Se non è tenuta dagli argini di una diga, l'acqua del fiume scorre parallelamente alle rive, con un movimento descritto dal vettore velocità v2. C La velocità reale della canoa è allora Viot = V1 + V2 : dopo pochi colpi di remo si trova di fronte a un nuovo tratto di riva e non è più come prima in li- nea con l'albero. VI V2 Per ripassare come si scompone un vettore nelle sue componenti, torna alla lezione 2. In presenza della corrente, se la ragazza volesse muoversi perpendicolar- mente alla riva, dovrebbe dirigere la canoa in una direzione obliqua, in modo che la somma vettoriale della sua velocità v1 e della velocità della corrente v2 sia nella direzione voluta. La legge di composizione delle velocità ha però un ambito di validità limitato e non vale per velocità vicine a quella della luce nel vuoto. Vtot v1 V2

Tuesday, 10 November 20 8Velocita' istantanea e accelerazione y P 1 1 I 1 / AS -x + - 1 / 1 ds I + v(t) = ds dt d =

• Se calcolo banalmente la velocita' come v = sbaglio di grosso. As At
• Lo spazio percorso e' molto piu' grande della distanza rettilinea OP.
• La velocita' in generale cambia sia in direzione che in modulo
• Ma posso approssimare la curva come tanti piccoli segmenti rettilinei percorsi in istanti di tempo successivi
• e definire una velocita' "costante" su ciascuno
• v(t) variera' in direzione (e modulo?) col tempo => la variazione di velocita' nel tempo si chiama accelerazione (vettore)

Tuesday, 10 November 20 x 9Accelerazione e moto uniformemente accelerato Moto rettilineo uniforme

• velocita' costante nel tempo in modulo, direzione e verso
• accelerazione nulla A=0 Moto uniformemente accelerato
• accelerazione costante nel tempo in modulo, direzione e verso
• la velocita' cambia costantemente nel tempo in modulo, direz, verso Av = à At As = vAt s (m) Velocit? S S v= t= s = vt 3 2 [0] = spazio] tempo = [+] = [$][-] -3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 t (s) -1 Se la velocit? ? costante esiste una proporzionalit? diretta tra spazio (y) e tempo (x) m = 1.5 Muovi lo slider. Cosa cambia, variando m? Cosa ? m? Quale relazione esiste tra ?m? e la velocit ?? 1 -0.6 -0.4 0.4 0.6 12 1.4 1.6 1.8 2 22 2. 2.6 28 3.4 3.6 3.8 4 42 4.4 -7 As = vAt = 1/2 a (At)2 10 4 t. La velocit? di un corpo ? il rapporto tra lo spazio percorso da esso e il tempo impiegato a percorrerlo. L'unit? di misura della velocit? ? metri al secondo. a = 1.5 -2 -1 RIFLETTI -6

Tuesday, 10 November 20 10s = vt moto uniforme velocità > s = vt 0 t istante moto uniforme con to = So = 0: s = vt s = 1/2 a t2 moto uniformemente accelerato V velocità 1 S=vt 2 t istante moto unif. accelerato con vo = 0: v = at s = 1/2 a t2 s = area della superficie compresa tra il grafico e l'asse dei tempi

Tuesday, 10 November 20 Dalle slides dello scorso anno del Prof. G. Casa 11Moto parabolico

1. Il moto parabolico è un moto uniformemente accelerato. Esempio: un cannone posto ad un'altezza h dal livello del mare spara palle di ferro con velocità vx parallela al suolo; il proiettile è sottoposto all'azione della forza di gravità che imprime un'accelerazione uniforme in direzione verticale rivolta verso il basso, uguale in modulo all'accelerazione di gravità g
2. La velocità orizzontale resta uguale a vx lungo tutto il tragitto, mentre la velocità verticale orientata verso il basso vy aumenta secondo la legge: Vy = g.t
3. La traiettoria percorsa dall'oggetto è la parabola blu in figura V x a = g h Vy =- gt

Tuesday, 10 November 20 https://people.unica.it/alessiofilippetti/files/2018/10/Vettori-e-Cinematica.pdf 12Dalle slides dello scorso anno del Prof. G. Casa La legge oraria del moto di caduta libera

• Giovanni Battista Benedetti (1530-1590) per dimostrare l'indipendenza della velocità di caduta di un grave dal suo peso, secondo Lucio Russo forse già nota ad introdusse un famoso argomento logico basato esperimento ideale: proprio come libro e foglio di carta
• "Se si lasciano cadere insieme due corpi eguali adiacenti, essi evidentemente cadono allo stesso modo, rimanendo adiacenti. Se ora li si pensa a come costituenti un unico corpo di peso doppio, la velocità di caduta non può per questo mutare: ne segue che un corpo cade allo stesso modo di una sua metà."
• L'indipendenza della velocità di caduta dal peso divenne un argomento accettato dagli studiosi. http://www.treccani.it/enciclopedia/statica %28Enciclopedia-Italiana%29/
• Dall'intuizione di tipo logico di Benedetti parte la sperimentazione di Galileo (~1620), cui non e' attribuibile una "illuminazione": la scienza e' un processo continuo con piccoli e grandi passi
• Galileo vuole provare che il tempo di arrivo (= v(t) = a) e' lo stesso indipendentemente dalla massa del corpo

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